Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục bài toán ổn định hoá nghiệm dừng cho hệ leray α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Mạnh Tới HÀ NỘI, 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Mạnh Tới. Các kết quả được phát biểu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. Hà Nội, tháng 08 năm 2018 Tác giả Dương Thị Thanh Huyền Lời cảm ơn Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em được hoàn thành khoá học. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô trong nhà trường đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình em học tập tại trường và đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Toán giải Tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn của mình. Em xin được gửi lời cảm ơn Ban lãnh đạo trường Cao đẳng Giao thông vận tải Trung ương I đã tạo điều kiện để em được tham gia học tập và hoàn thành tốt khóa học cao học này. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo TS. Vũ Mạnh Tới, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp, những người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình. Hà Nội, tháng 08 năm 2018 Tác giả Dương Thị Thanh Huyền Mục lục Trang Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Giới thiệu về hệ Leray-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Toán tử và đánh giá số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . 7 1.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Một số bất đẳng thức thường sử dụng . . . . . . . . . . . . 9 1.6. Một số định lí và bổ đề thường dùng . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Ổn định hóa cho nghiệm dừng của hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Sự tồn tại và ổn định của nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Sự tồn tại và ổn định hóa của nghiệm cho hệ Leray-α ba chiều bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Các α-mô hình trong cơ học chất lỏng được coi như là các chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes được đề xuất trong quá trình nghiên cứu hệ Navier-Stokes ba chiều. Các kết quả nghiên cứu cho α-mô hình trong cơ học chất lỏng được nhiều nhà toán học nghiên cứu (có thể xem [1] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Một trong các α-mô hình trong cơ học chất lỏng được nghiên cứu gần đây bởi nhiều nhà toán học là mô hình Leray-α (xem [11])      ∂t v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f (x), v = u − α2 ∆u, (0.1)     ∇ · u = ∇ · v = 0, Trong những năm gần đây, sự tồn tại, tính trơn và dáng điệu tiệm cận nghiệm theo thời gian cho hệ (0.1) đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học (xem [3, 7, 8, 9, 11]). Gần đây, Azouani và Titi trong [5] đề xuất một kiểu điều khiển phản hồi mới cho điều khiển các phương trình tiến hóa tiêu hao tổng quát bằng cách sử dụng hữu hạn tham số (modes, nodes, volume elements,...) mà không cần yêu cầu sự có mặt của sự phân tách thang không gian, tức là không 2 cần giả thiết tồn tại của đa tạp quán tính. Sau đó các tác giả đã áp dụng nó ổn định hóa cho các phương trình phản ứng khuếch tán phi tuyến bằng cách sử dụng các điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. Kết quả cũng được nghiên cứu cho các phương trình truyền sóng phi tuyến tắt dần (xem [10]), nghiên cứu tính toán cho thuật toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều [12]. Bài toán ổn định cho nghiệm dừng của (0.1) được miêu tả như sau: Với nghiệm dừng v ∗ của hệ (0.1), ta chỉ ra điều kiện đủ của hệ số nhớt ν (thường là đủ lớn, tức là ngoại lực đủ nhỏ), sao cho với bất kì nghiệm v của hệ (0.1) đều tiến đến v ∗ theo tốc độ mũ khi thời gian t → +∞ Bài toán ổn định hóa cho nghiệm dừng của (0.1) được miêu tả như sau: Khi điều kiện đủ để ổn định nghiệm dừng không thỏa mãn (hệ số ν nhỏ, tức là ngoại lực đủ lớn), thì nghiệm dừng v ∗ của (0.1) có thể không ổn định. Khi đó ta tìm điều khiển phù hợp vào (0.1) để sao cho hệ đó có nghiệm duy nhất và nghiệm đó tiến đến nghiệm dừng v ∗ của (0.1) theo tốc độ mũ theo thời gian t → +∞. Ở đây dựa trên ý tưởng của bài báo [5] ta sử dụng điều khiển dạng phản hồi Ih (xem [2]), dạng hữu hạn tham số liên quan đến phần tử thể tích hữu hạn hoặc hữu hạn Fourier modes, để đi ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều. Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả chính trong [4] về bài toán ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số cho hệ Leray-α ba chiều. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều khi không có/có điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Chỉ ra sự tồn tại nghiệm dừng cho hệ Leray-α và đưa ra một điều kiện đủ để nghiệm dừng đó ổn định. • Khi điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định không thỏa mãn (nghiệm dừng có thể không ổn định) thì ta đi ổn định hóa nghiệm dừng đó bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Leray-α ba chiều trong miền hình hộp với điều kiện biên tuần hoàn. • Phạm vi nghiên cứu: Bài toán ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều; lí thuyết ổn định hóa. 6. Đóng góp của đề tài • Trình bày được sự tồn tại ít nhất một nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều và chỉ ra một điều kiện đủ để nghiệm dừng đó ổn định. • Trình bày được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Leray-α ba chiều với ngoại lực dạng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. Đồng thời chỉ ra khi điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định không thỏa mãn (nghiệm dừng có thể không ổn định) thì ta có thể ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. 4 7. Cấu trúc luận văn Ngoài các phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo thì nội dung luận văn "Bài toán ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số" gồm 2 chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu nội dung chương sau bao gồm: Giới thiệu hệ Leray-α ba chiều; không gian hàm và toán tử; kết quả sự tồn tại và duy nhất nghiệm; một số bất đẳng thức thường sử dụng; một số định lí và bổ đề thường dùng. • Chương 2: Ổn định hóa cho nghiệm dừng của hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. Chương này trình bày: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều; Sự tồn tại và ổn định hóa của nghiệm cho hệ Leray-α ba chiều bằng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết để nghiên cứu nội dung chương sau, bao gồm: Giới thiệu hệ Leray-α ba chiều; không gian hàm và toán tử; kết quả sự tồn tại và duy nhất nghiệm; một số bất đẳng thức thường sử dụng; một số định lí và bổ đề thường dùng. 1.1. Giới thiệu về hệ Leray-α Giả sử Ω = [0, L]3 , L > 0, là miền hình hộp tuần hoàn trong R3 . Xét {ej }3j=1 là cơ sở tự nhiên của R3 , tức là e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T , e3 = (0, 0, 1)T . Ta xét hệ Leray-α ba chiều sau      ∂t v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f (x), v = u − α2 ∆u, (1.1)     ∇ · u = ∇ · v = 0, ở đó (x, t) ∈ Ω × (0, ∞), với điều kiện biên tuần hoàn v(x, t) = v(x + Lej , t), t > 0, (1.2) 6 và điều kiện ban đầu v(x, 0) = v 0 (x), x ∈ Ω, (1.3) ở đó u = u(x, t) là hàm vectơ vận tốc và p = p(x, t) là hàm áp suất, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng. Khi α = 0 ta thu được hệ phương trình Navier-Stokes với điều kiện biên tuần hoàn. 1.2. Không gian hàm • Với Ω là miền bị chặn trong R3 , 1 ≤ p < ∞, ta xét (Lp (Ω))3 gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn kukLp := Z p |u| dx 1/p . Ω • Không gian (H 1 (Ω))3 là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ (L2 (Ω))3 mà có đạo hàm suy rộng thuôc (L2 (Ω))3 và có chuẩn được xác định bởi kukH 1 := Z 2 2 1/2 (|u| + |∇u| )dx . Ω • Không gian (H 2 (Ω))3 bao gồm tất cả các hàm u ∈ (L2 (Ω))3 có đạo hàm suy rộng Dγ u ∈ (L2 (Ω))3 , γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) ∈ N3 , và chuẩn xác định bởi  kukH 2 :=  Z X 2 1/2 |Dγ u|2 dx . Ω |γ|=0 • Với X là không gian Banach với đối ngẫu là X 0 với cặp đối ngẫu giữa X và X 0 là h., .iX 0 ,X , khi đó 7 +) C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn kukC([0,T ];X) := max ku(t)kX . 0≤t≤T +) Với p ≥ 1, ta định nghĩa Lp (0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u : (0, T ) → X với chuẩn kukLp (0,T ;X) := Z !1/p T ku(t)kpX dt < +∞. 0 +) L∞ (0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u : (0, T ) → X với chuẩn kukL∞ (0,T ;X) := esssupku(t)kX < +∞. 0≤t≤T • Không gian H, V : Với V là tập hợp tất cả các hàm véc tơ với giá trị là các đa thức lượng giác được xác định trong Ω với ∇ · u = 0 và R Ω u(x)dx = 0. Kí hiệu H và V tương ứng là các không gian hàm của V trong (L2 (Ω))3 và trong (H 1 (Ω))3 . Kí hiệu (·, ·) và | · | tích vô hướng và chuẩn của H với (u, v) = 3 Z X j=1 uj · vj dx và |u| = (u, u)1/2 . Ω Kí hiệu ((·, ·)) = (∇·, ∇·) và k · k = |∇ · | là tích vô hướng và chuẩn của V với ((∇u, ∇v)) = 3 X j=1 (∇uj , ∇vj ) = 3 Z X j=1 ∇uj ·∇vj dx và kuk = ((u, u))1/2 . Ω Không gian đối ngẫu của V kí hiệu là V 0 , với chuẩn k · kV 0 . 1.3. Toán tử và đánh giá số hạng phi tuyến • Toán tử A: Cho P là phép chiếu trực giao từ (L2 (Ω))3 lên không gian H. Kí hiệu A = −P ∆ theo các kí hiệu D(A) = (H 2 (Ω))3 ∩ V . 8 Chú ý, với điều kiện biên tuần hoàn A = −∆ và A là toán tử xác định dương liên hợp với nghịch đảo là compact. Do đó, tồn tại một dãy hàm đặc trưng trực giao và đầy đủ {wj }∞ j=1 ⊂ H do đó Awj = λj wj với (2π/L)2 = λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λj → ∞. Hơn nữa, trên thực tế các giá trị riêng của A có dạng (2π|k|/L)2 với k ∈ Z3 \ {0}. Ta có bất đẳng thức Poincaré sau kuk2 ≥ λ1 |u|2 với mọi u ∈ V. (1.4) Với v = u + α2 Au, ta có |v|2 = |u|2 + 2α2 kuk2 + α4 |Au|2 . (1.5) Thật vậy, sử dụng tích phân từng phần ta có: |v|2 = (u + α2 Au, u + α2 Au) = (u, u) + 2α2 (u, Au) + (Au, Au) = (u, u) + 2α2 ((u, u)) + (Au, Au) = |u|2 + 2α2 kuk2 + |Au|2 . Với I là toán tử đồng nhất, khi đó với α > 0 và toán tử A ở trên thì I + α2 A là toán tử có nghịch đảo (I + α2 A)−1 compact. • Toán tử B: Ta xét toán tử B(u, v) = P (u · ∇)v, ∀u, v ∈ V, với hB(u, v), wiV 0 ,V = 3 Z X i,j=1 Ω ui ∂vj wj dx. ∂xi Từ định nghĩa B, ta có hB(u, v), wiV 0 ,V = − hB(u, w), viV 0 ,V với mọi u, v, w ∈ V, (1.6) và nói riêng thì hB(u, v), viV 0 ,V = 0 với mọi u, v ∈ V. (1.7) 9 Ta có đánh giá (có thể xem [14]), với hằng số dương c0 :     hB(u, v), wiV 0 ,V  ≤ c0 |u|1/2 kuk1/2 kvk kwk, ∀u, v, w ∈ V,     hB(u, v), wiV 0 ,V  ≤ c0 kuk kvk |w|1/2 kwk1/2 , 1.4. ∀u, v, w ∈ V. (1.8) (1.9) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Chiếu P lên hệ (1.1) ta có (1.1)-(1.3) tương đương d v + νAv + B(u, v) = P f, v = u + α2 Au, dt (1.10) với điều kiện ban đầu v(0) = v 0 . Ta có kết quả sau về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ Leray-α: Định lí 1.4.1. [7] Với mọi T > 0. Khi đó nếu f ∈ V 0 và v 0 ∈ H, khi đó hệ (1.10) tồn tại duy nhất nghiệm yếu v trên (0, T ) thỏa mãn dv ∈ L2 (0, T ; V 0 ) dt v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; V ), sao cho   dv ,φ dt V 0 ,V +ν((u, φ))+hB(u, v), φiV 0 ,V = hf, φiV 0 ,V hầu khắp t ∈ (0, T ), với mọi φ ∈ V , trong đó u = (I + α2 A)−1 v, và v(0) = v 0 . 1.5. Một số bất đẳng thức thường sử dụng • Bất đẳng thức Cauchy: ab ≤ a2 2 2 + b2 . • Bất đẳng thức Cauchy với : ab ≤ a2 + b2 4ε , ( > 0). 10 • Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, T ] và thỏa mãn dx ≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t, dt trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0, T ]. Khi đó: x(t) ≤ x(0)e Rt 0 g(s)ds Z + t e Rt s g(τ )dτ h(s)ds, 0 với 0 ≤ t ≤ T . Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và dx dt ≤ ax + b, thì a b x(t) ≤ (x(0) + )eat − . b a • Bất đẳng thức Hölder: Giả thiết p, q > 1, p1 + 1 q = 1. Khi đó nếu u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) thì ta có: Z |uv|dx ≤ kukLp (Ω) kvkLq (Ω) . Ω 1.6. Một số định lí và bổ đề thường dùng Định lí 1.6.1 (Định lí Peano). [13, Chương 1] Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương, tức là với mọi tập bị chặn B trong R, tồn tại L(B) > 0 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ L(B)|x − y|, với mọi x, y ∈ B. Khi đó tồn tại T = T (x0 ) > 0 sao cho phương trình dx = f (x), dt x(0) = x0 , có duy nhất một nghiệm x = x(t), t ∈ [0, T ]. Định lí 1.6.2 (Định lí điểm bất động Brouwer). Giả sử ϕ : B(0, 1) → B(0, 1) là liên tục, với B(0, 1) là hình cầu đơn vị đóng trong RN . Khi đó ϕ có điểm bất động. 11 Bổ đề 1.6.3 (Bổ đề Aubin-Lions). [14] Cho E1 , E, E0 là các không gian Banach. Giả sử E1 nhúng compact vào trong E và E nhúng liên tục trong E0 . Với p ≥ 1, q > 1, khi đó các phép nhúng sau là compact: a) Lp (0, T ; E1 ) ∩ {ϕ : ∂t ϕ ∈ Lq (0, T ; E0 )} ,→ Lp (0, T ; E). b) L∞ (0, T ; E1 ) ∩ {ϕ : ∂t ϕ ∈ Lq (0, T ; E0 )} ,→ C([0, T ]; E). 12 Chương 2 Ổn định hóa cho nghiệm dừng của hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả chính của luận văn. Đầu tiên chúng tôi chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của nghiệm dừng yếu cho hệ Leray-α ba chiều (1.10). Sau đó chúng tôi chỉ ra một điều kiện đủ để nghiệm dừng đó là ổn định. Tiếp theo chúng tôi xét trường hợp điều kiện đủ đó không thỏa mãn, tức là nghiệm dừng đó có thể không ổn định, chúng tôi đi ổn định hóa nghiệm dừng đó khi đấy bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số, dựa trên sự xác định các modes, thể tích hữu hạn. 13 2.1. Sự tồn tại và ổn định của nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều Hệ dừng cho hệ (1.10) được cho bởi νAv + B(u, v) = P f, v = u + α2 Au. (2.1) Định nghĩa 2.1.1. Với f ∈ V 0 , khi đó v ∗ là nghiệm dừng yếu của (2.1) nếu v ∗ ∈ V và thỏa mãn ν((v ∗ , ϕ)) + hB(u∗ , v ∗ ), ϕiV 0 ,V = hP f, ϕiV 0 ,V , ∀ϕ ∈ V, ở đó u∗ = (I + α2 A)−1 v ∗ . Trong phần này chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại duy nhất nghiệm dừng và chỉ ra một điều kiện đủ để ổn định của nghiệm dừng yếu của (2.1). Định lí 2.1.2. Với giả thiết f ∈ V 0 , tồn tại ít nhất một nghiệm dừng yếu v ∗ của (2.1) thỏa mãn 1 kv ∗ k ≤ kf kV 0 . ν Hơn nữa, nếu f đủ nhỏ thỏa mãn c0 ν 2 > 3/4 kf kV 0 , 2 (αλ1 )1/2 (2.2) (2.3) khi đó v ∗ là nghiệm dừng duy nhất và ổn định mũ, tức đối với bất kỳ nghiệm v của bài toán (1.10), ta có |v(t) − v ∗ |2 ≤ |v 0 − v ∗ |2 e−d0 t , với mọi t > 0, ở đó  c0 d0 = 2λ1 ν − 3/4 kf kV 0 > 0 2 (αλ1 )1/2 ν do điều kiện (2.3).  (2.4) 14 Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm dừng của hệ (1.1)-(1.3) bằng việc sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Cho {wj }∞ j=1 là một cơ sở trực giao của H bao gồm các hàm đặc trưng của toán tử A. Với mọi m ∈ N∗ , ta kí hiệu Hm = span{w1 , . . . , wm } và Pm là phép chiếu từ không gian H lên Hm . Phương pháp xấp xỉ Galerkin áp dụng cho hệ (2.1) ta được phương trình νAvm + Pm B (um , vm ) = Pm f, vm = um + α2 Aum . (2.5) Để chứng minh sự tồn tại của vm , ta xét Rm : Hm → Hm kí hiệu: [Rm (v), w] := ν hAv, wiV 0 ,V + hB(u, v), wiV 0 ,V − hPm f, wiV 0 ,V , với mọi v, w ∈ Hm , và v = u + α2 Au. Chúng ta nhận thấy rằng sự tồn tại của vm của (2.5) tương đương với sự tồn tại của vm sao cho Rm (vm ) = 0. Với mọi v ∈ Hm sao cho v = u + α2 Au, sử dụng định nghĩa của Rm và (1.7), ta có: [Rm (v), v] = ν hAv, viV 0 ,V + hB(u, v), viV 0 ,V − hPm f, viV 0 ,V = νkvk2 − hPm f, viV 0 ,V ≥ νkvk2 − kf kV 0 kvk. Ở đây, ta đã sử dụng đánh giá: hPm f, viV 0 ,V ≤ kf kV 0 kvk. Lấy β > kf kV 0 , ν (2.6) ta kết luận rằng [Rm (v), v] > 0 với mọi v ∈ Hm sao cho kvk = β. Khi đó, bởi một hệ quả của định lí điểm bất động Brouwer 15 (xem [Chương 1, Định lí 1.6.2]), với mỗi m ∈ N∗ tồn tại vm ∈ Hm sao cho Rm (vm ) = 0. Bây giờ nhân (2.5) với vm và sử dụng (1.7), ta được νkvm k2 = hPm f, vm iV 0 ,V . Đánh giá vế phải như (2.6), ta nhận được ước lượng sau 1 kvm k ≤ kf kV 0 . ν Do đó, ta có thể trích ra một dãy con {vm } , sao cho vm * v ∗ trong V. Do tính compact của phép nhúng V ,→ H, ta có vm → v ∗ trong H, (2.7) Do đó um = (I + α2 A)−1 vm → u∗ = (I + α2 A)−1 v ∗ trong D(A). (2.8) Sử dụng (1.6), (1.8) và (1.9), với mọi w ∈ V ,     ∗ ∗ hB(um , vm ), wiV 0 ,V − hB(u , v ), wiV 0 ,V          ≤ hB (um − u∗ , vm ) , wiV 0 ,V  + hB (u∗ , vm − v ∗ ) , wiV 0 ,V          ∗ ∗ ∗ = hB (um − u , vm ) , wiV 0 ,V  + hB (u , w) , vm − v iV 0 ,V  (2.9) ≤ c0 |um − u∗ |1/2 kum − u∗ k1/2 kvm kkwk + c0 ku∗ kkwk|vm − v ∗ |1/2 kvm − v ∗ k1/2 . Từ (2.7) và (2.8) với vm , vm − v ∗ bị chặn đều theo m trong V , chúng ta suy ra từ (2.9) rằng với mọi w ∈ V , hB(um , vm ), wiV 0 ,V → hB(u∗ , v ∗ ), wiV 0 ,V .