Tài liệu Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục ánh xạ đối ngẫu trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO MỸ HẠNH ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO MỸ HẠNH ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học. Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Xuân Hòa, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018 Đào Mỹ Hạnh 1 LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Luận văn không trùng lặp với các đề tài khác. Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2018 Tác giả Đào Mỹ Hạnh 2 Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 LỜI CAM ĐOAN 2 LỜI MỞ ĐẦU 4 1 ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI VI PHÂN 6 1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hàm lồi . . . . . 6 1.2 Dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi 1.3 Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach 1.5 Ánh xạ đối ngẫu dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . 22 2 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ LỚP CÁC KHÔNG GIAN BANACH BỞI ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU 31 2.1 Không gian Banach lồi chặt và lồi đều . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach phản xạ . . . . . 43 2.3 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Lp . . . . . . . . . . . . 47 KẾT LUẬN 51 Tài liệu tham khảo 52 3 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm phi tuyến là một nhánh của giải tích toán học nghiên cứu về các ánh xạ phi tuyến. Trong toán học và trong khoa học vật lý, hệ phi tuyến là một hệ mà sự thay đổi của dữ liệu đầu ra không tỷ lệ với sự thay đổi của dữ liệu đầu vào. Các bài toán phi tuyến nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, vật lý, kỹ thuật và các nhà khoa học khác bởi hầu hết các hệ thống trong tự nhiên đều là phi tuyến. Tích vô hướng có một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu những vấn đề và hiện tượng diễn ra trong không gian Hilbert. Một trong những vai trò chính của tích vô hướng là giúp biểu diễn một phần tử x ∈ H như là một phiếm hàm x∗ trong H , tức là một phần tử trong không gian đối ngẫu H ∗ . Tuy nhiên, nhiều đối tượng và mô hình không xuất hiện một cách tự nhiên trong không gian Hilbert. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trên không gian Banach X , là ánh xạ đa trị định nghĩa bởi J : X −→ {x∗ ∈ X ∗ : kx∗ k2 = kxk2 = hx∗ , xi} được dùng như một sự thay thế phép đẳng cấu H ∼ = H ∗ trong không gian Banach. Tổng quát hơn, ta cũng xem xét các ánh xạ đối ngẫu được liên kết với một hàm trọng. Một sự lựa chọn (không cần liên tục) j của J , nghĩa là, ánh xạ J : X −→ X ∗ sao cho kxk2 = kjxk2 = hjx, xi cũng được coi là một ánh xạ đối ngẫu. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa đã trở thành một trong những công cụ toán học quan trọng nhất trong giải tích hàm phi tuyến, đặc biệt đối với các 4 vấn đề liên quan tới các toán tử phi tuyến đơn điệu, tăng dần và phân tán. Hiện nay, chủ đề này tiếp tục thu hút sự chú ý của các nhà toán học trên thế giới. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đề tài “Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach” để thực hiện luận văn của mình. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một số tính chất của ánh xạ đối ngẫu và đặc trưng của một số lớp các không gian Banach bởi ánh xạ đối ngẫu. Qua đó, thấy được tầm quan trọng của những kiến thức đã học và những ứng dụng của chúng. Với nội dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương. Chương 1. Ánh xạ đối ngẫu và dưới vi phân. Trong chương này, luận văn phần đầu trình bày những kiến thức cần thiết về giải tích lồi và giải tích hàm. Sau đó, luận văn trình bày về không gian Banach trơn và ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach cũng như ánh xạ đối ngẫu dương. Chương 2. Đặc trưng của một số lớp các không gian Banach bởi ánh xạ đối ngẫu. Chương này, luận văn trình bày đặc trưng của một số lớp các không gian Banach, trong đó bao gồm các không gian lồi chặt, lồi đều và các không gian Banach phản xạ thông qua các tính chất của ánh xạ đối ngẫu. Cuối chương, luận văn trình bày về các ánh xạ đối ngẫu trong không gian Lp , trong đó ta quan tâm đến Định lý Clarkson và ứng dụng của Định lý Asplund. 5 Chương 1 ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI VI PHÂN Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số khái niệm, định nghĩa và các kết quả cần thiết về giải tích lồi và giải tích hàm như hàm lồi, dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi. Tiếp nữa, luận văn trình bày về không gian Banach trơn. Và sau cùng, luận văn quan tâm đến ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach cũng như ánh xạ đối ngẫu dương. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [1], [4] và [8]. 1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hàm lồi e = ] − ∞, +∞] với X là một không Định nghĩa 1.1.1 Cho f : X −→ R gian tôpô tuyến tính. Ta ký hiệu tập domf := {x ∈ X | f (x) < +∞} là miền hữu hiệu (effective domain) của f . Tập epif := {(x, t) ∈ X × R | f (x) ≤ t} được gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f . Ngoài ra, hàm f được gọi là chính thường (proper ) nếu domf 6= ∅. e là một hàm lồi nếu Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Ta nói f : X −→ R f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]. 6 Hơn nữa, f được gọi là một hàm lồi chặt trên X nếu f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1). Chú ý 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2, ta có chú ý sau: f là hàm lồi nếu và chỉ nếu với mỗi λ1 , · · · , λk ∈ [0, 1], (1) Pk i=1 λi =1 và x1 , · · · , xk ∈ X , ta có f k X  λi xi ≤ i=1 k X λi f (xi ); (1.1) i=1 Cho f : R −→ R là một hàm lồi. Khi đó, ta có (2) f (b) − f (a) f (c) − f (a) f (c) − f (b) ≤ ≤ , b−a c−a c−b (1.2) với mọi số thực a < b < c; (3) Với một hàm lồi f , ta có domf là tập lồi. Ví dụ 1.1.4 Cho C là một tập trong X . Ta đặt ( 0 nếu x ∈ C, δC (x) := +∞ nếu x ∈ / C. Khi đó, domδC = C và tập C là lồi nếu và chỉ nếu δC là một hàm lồi. Hàm này có tên là hàm chỉ. e là lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị Mệnh đề 1.1.5 Một hàm f : X −→ R của nó là một tập lồi trên X × R. Chứng minh. Giả sử f là một hàm lồi và [x, a], [y, b] ∈ epif . Khi đó, ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λa + (1 − λ)b, với mọi λ ∈ [0, 1]. Từ đó, [λx + (1 − λ)y, λa + (1 − λ)b] ∈ epif. 7 Ngược lại, giả sử epif là lồi. Từ [x, f (x)], [y, f (y)] ∈ epif ∀x, y ∈ domf, ta suy ra λ[x, f (x)] + (1 − λ)[y, f (y)] ∈ epif với mọi λ ∈ [0, 1]. Do đó, ta có hàm f là lồi trên domf . Mệnh đề được chứng minh. e được gọi là nửa liên tục dưới Định nghĩa 1.1.6 Một hàm f : X −→ R (lower-semi continuous) (viết gọn là lsc) tại x0 ∈ X nếu f (x0 ) = lim inf f (x) = sup inf f (x), x−→x0 V ∈Vx0 x∈V trong đó Vx0 là tập tất cả các lân cận của điểm x0 . e các khẳng định sau là tương tương: Mệnh đề 1.1.7 Với f : X −→ R, (a) f là nửa liên tục dưới trên X ; (b) Với mọi số thực α, tập mức dưới {x ∈ X | f (x) ≤ α} là một tập đóng trong X ; (c) Trên đồ thị của hàm f là một tập đóng trong X × R. Hệ quả 1.1.8 (1) Mọi hàm nửa liên tục dưới f trên một không gian tôpô compact thì bị chặn dưới và đạt cận dưới lớn nhất của nó trên X . (2) Bất kỳ hàm lồi trên một không gian lồi địa phương là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục dưới yếu. e là một hàm lồi bị chặn trên trên một Định lý 1.1.9 Cho f : X −→ R lân cận của một điểm trong x0 ∈ domf . Khi đó, f liên tục trên domf . Chứng minh. Trước tiên, ta sẽ đi chứng minh tính liên tục của f tại x0 . Lấy V ∈ Vx0 và M > 0 sao cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ V . Chuyển qua nếu cần lân cận V ∩ (−V ), ta có thể giả thiết V đối xứng. Ta cũng có thể giả sử rằng x0 = 0 và f (x0 ) = 0. Thật vậy, f là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu hàm F (x) = f (x + x0 ) − f (x0 ) liên tục tại gốc với mọi x ∈ X ; hơn nữa F (0) = 0 và F là hàm lồi. 8 Với mỗi ε ∈ (0, 1) và x ∈ εV , ta có  x  x f (x) = f ε · + (1 − ε) · 0 ≤ εf ≤ ε · M. ε ε Mặt khác, ta có   1 1  1  ·x+ 1− − x 0 = f (0) = f 1+ε 1+ε ε  1  1 ε ≤ f (x) + f − x , 1+ε 1+ε ε  1  tức là f (x) ≥ −ε · f − x ≥ −ε · M . Do đó, |f (x)| ≤ εM với x ∈ εV . ε Suy ra f liên tục tại 0. Để kết thúc phần chứng minh, ta còn chỉ ra rằng với mọi y ∈ domf , tồn tại một lân cận mà trên đó f bị chặn trên. Lấy ρ > 1 sao cho ρy ∈ domf  V là lân cận gốc được sử dụng ở trên, thì  . 1Nếu V có thể được viết như sau bất kỳ x ∈ Vy = y + 1 − ρ   1 1 1 x = y + 1 − z = (ρy) + 1 − z, ρ ρ ρ với z ∈ V nào đó. Vì domf là lồi, ta có x ∈ domf và suy ra Vy ⊆ domf . Cuối cùng, tính lồi của f suy ra   1 1 1 1 f (x) ≤ f (ρy) + 1 − f (z) ≤ f (ρy) + 1 − M, ∀x ∈ Vy . ρ ρ ρ ρ Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.1.10 Mọi hàm lồi chính thường trên một không gian hữu hạn chiều X đều liên tục trên domf . Trong phần còn lại của mục này, ta quy ước X và Y là các không gian Banach thực; X ∗ , Y ∗ lần lượt là các đối ngẫu định chuẩn của X và Y ; L(X, Y ) là không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X đến Y. Định nghĩa 1.1.11 ([1], [2]) (1) Cho D ⊆ X là một tập mở, F : D −→ Y và x ∈ D. Nếu giới hạn lim+ t→0 F (x + ty) − F (x) = F+0 (x, y) t 9 tồn tại, thì ta nói F+0 (x, y) là đạo hàm theo hướng y ∈ X của F tại x. (2) Nếu tồn tại một toán tử trong L(X, Y ), được ký hiệu bởi F 0 (x) sao cho F (x + ty) − F (x) = F 0 (x)y với mọi y ∈ X, t→0 t thì ta nói rằng F là khả vi Gateaux (hay G-khả vi) tại x. (Đôi khi F 0 (x) lim còn được gọi là gradient của F tại x.) (3) Ta nói rằng F : D −→ Y là khả vi Fréchet (F -khả vi) tại x nếu nó là G-khả vi tại x và F (x + ty) − F (x) 0 = 0. − F (x)y lim sup t→0 kyk=1 t Định lý 1.1.12 Cho X, Y, Z là các không gian Banach và f : X −→ Y, g : Y −→ Z là các khả vi Fréchet tương ứng trên X và trên Y . Khi đó, g ◦ f : X −→ Z khả vi Fréchet trên X và ta có (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x), x ∈ X. Chú ý 1.1.13 (1) Nếu F là G-khả vi tại x ∈ D, thì F có các đạo hàm theo hướng tại x với mọi hướng y ∈ X và ta có F+0 (x, y) = F+0 (x, −y), ∀y ∈ X. Nói chung, vì hai véc tơ ở trên là phân biệt, nên ta có thể đặt F−0 (x, y) = −F+0 (x, −y). (2) Xét f : D ⊆ X −→ R, G-khả vi tại x ∈ D. Khi đó, f 0 (x) ∈ X ∗ và hf 0 (x), yi = d f (x + ty)|t=0 , ∀y ∈ X. dt Nếu f là G-khả vi hai lần trên D (nghĩa là f 0 (x) tồn tại, ∀x ∈ D và f 0 : D ⊆ X −→ X ∗ là G-khả vi), thì f 00 (x) ∈ L(X, X ∗ ) và ta có d2 hf (x)y, yi = 2 f (x + ty)|t=0 , ∀x ∈ D, y ∈ X. dt 00 10 e là một hàm lồi. Khi đó, ϕ có đạo hàm Bổ đề 1.1.14 Cho ϕ : R −→ R một phía tại bất kỳ t ∈ intdomϕ và ϕ0− (t) ≤ ϕ0+ (t). (1.3) Hơn nữa, với mọi t1 , t2 ∈ intdomϕ sao cho t1 < t2 ; t1 , t2 ∈ intdomϕ, ta có ϕ0+ (t1 ) ≤ ϕ(t2 ) − ϕ(t1 ) ≤ ϕ0− (t2 ). t2 − t1 (1.4) Chú ý 1.1.15 Trong (1.4) bất đẳng thức đầu tiên thỏa mãn khi t1 ∈ intdomϕ và với mọi t2 ∈ R, trong đó t1 < t2 . e là một hàm lồi chính thường. Định lý 1.1.16 ([4]) Cho f : X −→ R Khi đó, với mỗi x ∈ intdomf , đạo hàm theo hướng f+0 (x, y) tồn tại với mọi hướng y ∈ X ; hàm y 7→ f+0 (x, y) là lồi, thuần nhất dương và thỏa mãn f−0 (x, y) ≤ f+0 (x, y), ∀y ∈ X. (1.5) Hơn nữa, nếu f là liên tục tại một điểm trong x0 của miền hữu hiệu của nó, thì y 7→ f+0 (x0 , y) là liên tục trên X . Chứng minh. Cho x ∈ intdomf , y ∈ X và ta định nghĩa ϕ(t) = f (x + ty). Khi đó, ϕ là lồi và 0 ∈ intdomϕ. Do đó, theo Bổ đề 1.1.14, ta có ϕ0+ (0) và ϕ0− (0) tồn tại và ϕ0− (0) ≤ ϕ0+ (0). Mặt khác, ta có ϕ0+ (0) = f+0 (x, y) và ϕ0− (0) = f−0 (x, y), vì thế (1.5) thỏa mãn. Hiển nhiên, với λ > 0, ta có f+0 (x, λy) = λf+0 (x, y). 11 Ta sẽ chỉ ra y 7→ f+0 (x, y) là hàm dưới cộng tính và từ đó ta suy ra tính lồi của nó. Với y1 , y2 ∈ X , ta có   t f x + (y1 + y2 ) − f (x) 2 f+0 (x, y1 + y2 ) = lim t t→0+ 2   x + ty1 x + ty2 + − 2f (x) 2f 2 2 = lim t→0+ t f (x + ty1 ) − f (x) f (x + ty2 ) − f (x) ≤ lim + lim t→0+ t→0+ t t = f+0 (x, y1 ) + f+0 (x, y2 ). Bây giờ, ta giả sử rằng f liên tục tại x0 ∈ intdomf và cho ε > 0, M > 0 sao cho B(x0 ) = {x ∈ X : kx − x0 k ≤ ε} ⊂ intdomf và |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x0 ). Xét hàm ϕ(t) = f (x0 + ty), với mọi y ∈ X . Khi đó,   ε ε − , ⊆ intdomϕ. kyk kyk Tiếp theo, ta sử dụng bất đẳng thức (1.4) của Bổ đề 1.1.14 với t1 = 0, t2 = ε , ta thu được kyk   ε − ϕ(0) ϕ kyk 0 0 f+ (x0 , y) = ϕ+ (0) ≤ ε kyk   f x0 + = ≤ 2M kyk. ε 12 ε y − f (x0 ) kyk kyk ε Tương tự, ta cũng có  ε ϕ(0) − ϕ kyk 0 0 0 f+ (x0 , y) ≥ f− (x0 , y) = ϕ− (0) ≥ kyk ε   ε y f (x0 ) − f x0 + kyk = kyk ε 2M kyk. ≥− ε  Do đó, ta có |f+0 (x0 , y)| ≤ 2M kyk, ∀y ∈ X. ε Điều này có nghĩa là y 7→ f+0 (x0 , y) là liên tục tại y = 0. Từ đó, theo Định lý 1.1.9, hàm y 7→ f+0 (x0 , y) liên tục với mọi điểm y ∈ X . Định lý được chứng minh. Từ Định lý 1.1.16, ta có một đặc trưng sau: Hệ quả 1.1.17 Một hàm liên tục lồi là G-khả vi tại x ∈ intdomf nếu và chỉ nếu f+0 (x, y) = f−0 (x, y), ∀y ∈ X . 1.2 Dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi Trong mục này, ta sẽ xét X là một không gian Banach thực. e là khả dưới vi Định nghĩa 1.2.1 ([2], [4]) Ta nó rằng f : X −→ R phân (subdifferentiable) tại một điểm x ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ , gọi là dưới gradient (subgradient) của f tại x, sao cho f (y) − f (x) ≥ hx∗ , y − xi, ∀y ∈ X. (1.6) Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được ký hiệu là ∂f (x) và ánh xạ ∗ ∂f : X −→ 2X được gọi là dưới vi phân (subdifferential ) của f . Chú ý 1.2.2 Từ định nghĩa trên, ta có các khẳng định sau là đúng. (1) ∂f (x) là một tập con lồi đóng yếu* (weak*-closed) của X ∗ ; 13 (2) f có một giá trị cực tiểu tại x nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (x); (3) Nếu f là chính thường và ∂f (x) 6= ∅, thì x ∈ domf . Định nghĩa 1.2.3 (1) Một siêu phẳng đóng trong X × R có dạng: H = {(x, t) ∈ X × R | ; hx∗ , xi + αt = β}, với α, β ∈ R nào đó và x∗ ∈ X ∗ . (2) Nếu α 6= 0, thì siêu phẳng được gọi là siêu phẳng không thẳng đứng và có dạng: H = {(x, t) ∈ X × R | hx∗ , xi + α = t}, với α ∈ R nào đó và x∗ ∈ X ∗ . (3) Một siêu phẳng không thẳng đứng H trong X × R được gọi là siêu phẳng tựa với trên đồ thị của hàm f tại điểm (x0 , f (x0 )) nếu (x0 , f (x0 )) ∈ H và trên đồ thị của hàm f được giới hạn bởi một trong hai mặt phẳng con đóng xác định bởi H . Trong trường hợp này, H có dạng: H = {(x, t) ∈ X × R | hx∗ , x − x0 i + f (x0 ) = t}, (1.7) ngoài ra, ta có epif ⊆ {(x, t) ∈ X × R | hx∗ , x − x0 i + f (x0 ) ≤ t}. (1.8) Chú ý 1.2.4 (1) (x, t) ∈ epif dẫn đến (x, t+n) ∈ epif , với mọi n ∈ N. Do đó, với mọi (x, t) ∈ epif , không thể xảy ra bất đẳng thức hx∗ , x − x0 i + f (x0 ) ≥ t. (2) ∂f (x0 ) 6= ∅ ⇐⇒ tồn tại một siêu phẳng tựa với epif tại (x0 , f (x0 )). e là một hàm lồi chính thường và Mệnh đề 1.2.5 Cho f : X −→ R x ∈ intdomf . Khi đó, x∗ ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếu f−0 (x, y) ≤ hx∗ , yi ≤ f+0 (x, y), ∀y ∈ X. 14 (1.9) Chứng minh. (=⇒). Giả sử x∗ ∈ ∂f (x). Khi đó, với mỗi y ∈ X , ta có f (x) − f (x − ty) f (x + ty) − f (x) ≤ hx∗ , yi ≤ , ∀t > 0. t t Bây giờ, qua giới hạn khi t −→ 0+ , ta thu được (1.9). (⇐=). Cho y ∈ X, z = y − x và ϕ(t) = f (x + tz), t ∈ R. Khi đó, theo Bổ đề 1.1.14, với t1 = 0, t2 = 1, ta thu được ϕ0+ (0) ≤ ϕ(1) − ϕ(0) . 1−0 Mặt khác, (1.9) cho ta f (x + z) − f (x) ≥ f+0 (x, y) ≥ hx∗ , zi, hay f (y) − f (x) ≥ hx∗ , y − xi. Từ đó, suy ra x∗ ∈ ∂f (x). Mệnh đề được chứng minh. Định lý 1.2.6 Các khẳng định sau là đúng: (1) Một hàm khả dưới vi phân f là lồi và nửa liên tục dưới trên mọi tập lồi mở D ⊂ domf . (2) Một hàm nửa liên tục dưới lồi, chính thường là khả dưới vi phân trên intdomf . Hệ quả 1.2.7 Một hàm lồi, liên tục, chính thường f là G-khả vi tại x ∈ intdomf nếu và chỉ nếu nó có duy nhất một dưới gradient tại x; trong trường hợp này ta có ∂f (x) = f 0 (x). Định lý 1.2.8 Giả sử f1 , f2 là hai hàm lồi trên X sao cho tồn tại một điểm x0 ∈ domf1 ∩ domf2 , trong đó f1 liên tục. Khi đó, ta có ∂(f1 + f2 )(x) = ∂(f1 )(x) + ∂(f2 )(x), ∀x ∈ X. 1 Ví dụ 1.2.9 Cho f (x) = kxk2 . Khi đó, với mọi x 6= 0, ta có 2  ∂f (x) = x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , xi = kxk2 = kx∗ k2 . 15 Thật vậy, nếu x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn hx∗ , xi = kxk2 = kx∗ k2 , thì với mọi y ∈ X , ta có hx∗ , y − xi = hx∗ , yi − kxk2 ≤ kxkkyk − kxk2
1 kyk2 − kxk2 = f (y) − f (x), ≤ 2 nghĩa là x∗ ∈ ∂f (x). Ngược lại, nếu x∗ ∈ ∂f (x), thì hx∗ , y − xi ≤
1 kyk2 − kxk2 , 2 ∀y ∈ X. Chọn y = x + kz, k ∈ R, z ∈ X , từ bất đẳng thức trên ta thu được khx∗ , zi ≤
1 2
1 kx + kzk2 − kxk2 ≤ k kzk2 + 2|k|kxkkzk . 2 2 (1.10) Qua giới hạn khi k −→ 0+ , ta có hx∗ , zi ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X . Do đó, |hx∗ , zi| ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X . Khi đó, cho z = x, ta được |hx∗ , xi| ≤ kxk2 và kx∗ k ≤ kxk. (1.11) Tiếp theo, trong bất đẳng thức đầu tiên của (1.10), ta cho z = x và k < 0. Khi đó, ta nhận được hx∗ , xi ≥ k+2 kxk2 . 2 Cuối cùng, cho qua giới hạn khi k −→ 0− , đồng thời kết hợp với (1.11), ta thu được hx∗ , xi = kxk2 = kx∗ k2 . Tiếp theo, trong mục này ta sẽ quan tâm đến các hàm lồi liên hợp và song liên hợp. e hàm f ∗ : X ∗ −→ R = Định nghĩa 1.2.10 ([4]) Cho f : X −→ R, [−∞, +∞] được định nghĩa bởi f ∗ (x∗ ) = sup (hx∗ , xi − f ∗ (x∗ )) x∗ ∈X ∗ được gọi là hàm liên hợp của f . 16 Một hàm song liên hợp (biconjugate function) của f , f ∗∗ : X −→ R được định nghĩa như sau: f ∗∗ (x) = sup (hx∗ , xi − f ∗ (x∗ )). x∗ ∈X ∗ Mệnh đề 1.2.11 (Tính chất của các hàm liên hợp và song liên hợp) Các tính chất dưới đây được suy ra từ định nghĩa trên: (1) f ∗ (0) = − inf x∈X f (x). (2) f ≤ g =⇒ f ∗ ≥ g ∗ . (3) (inf i∈I fi )∗ = supi∈I fi∗ . (4) (λf )∗ (x)∗ = λf ∗ (x∗ /λ), λ > 0. (5) (f + λ)∗ = f ∗ − λ, λ ∈ R. (6) (τy f )∗ (x∗ ) = f ∗ (x∗ ) + hx∗ , yi, y ∈ X , với (τy f )(x) = f (x − y), với mọi x ∈ X . (7) f ∗∗ ≤ f . (8) f ∗ là hàm lồi trên domf ∗ . e là hàm lồi, chính thường và nửa liên Mệnh đề 1.2.12 Nếu f : X −→ R tục dưới, thì f ∗ cũng là hàm chính thường. Chứng minh. Với mọi x0 ∈ domf và ε > 0, ta có (x0 , f (x0 )−ε) ∈ / epif . Vì trên đồ thị của hàm f là một tập con lồi đóng trong X × R, nên tồn tại (x∗0 , α) ∈ X ∗ × R sao cho sup (hx∗0 , xi + αt) < hx∗0 , x0 i + α(f (x0 ) − ε). (1.12) (x,t)∈epif Từ x0 ∈ domf , nên α 6= 0. Hơn nữa, ta có α < 0. (Vì nếu α > 0 thì vế trái của (1.12) là +∞). Bây giờ, ta có thể giả sử rằng α = −1. Do (x, f (x)) ∈ epif , nên theo (1.12), ta có f ∗ (x∗0 ) = sup (hx∗0 , xi − f (x)) ≤ hx∗0 , x0 i − f (x0 ) + ε, x∈domf 17 điều này có nghĩa là x∗0 ∈ domf ∗ . Mệnh đề được chứng minh. e là hàm chính thường. Khi đó, x∗ ∈ Mệnh đề 1.2.13 Cho f : X −→ R ∂f (x) nếu và chỉ nếu f (x) + f ∗ (x∗ ) = hx∗ , xi. Bổ đề 1.2.14 (Tính đối ngẫu Fenchel ) Cho hai hàm lồi f, g : X −→ R. Khi đó, nếu g là liên tục, thì ta có inf [f (x) + g(x)] = max [−f ∗ (x∗ ) − g ∗ (−x∗ )]. ∗ ∗ x ∈X x∈X Định lý 1.2.15 Giả sử f1 , f2 : X −→ R là các hàm lồi và f1 là hàm liên tục. Khi đó, ta có (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = min [f1∗ (x∗ − z ∗ ) + f2∗ (z ∗ )]. ∗ ∗ z ∈X Chứng minh. Ta cố định x∗ ∈ X ∗ và định nghĩa trên X các hàm f (x) = f2 (x) và g(x) = f1 (x) − hx∗ , xi. Khi đó, g là hàm lồi và liên tục. Hơn nữa, ta có −g ∗ (−z ∗ ) = − sup[h−z ∗ , xi + hx∗ , xi − f1 (x)] = −f1∗ (x∗ − z ∗ ). x∈X Từ đó, bằng cách sử dụng Bổ đề 1.2.14, ta thu được (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = − inf [f1 (x) + f2 (x) − hx∗ , xi] − max [−f ∗ (z ∗ ) − g ∗ (−z ∗ )] ∗ ∗ z ∈X x∈X = − max [−f1∗ (x∗ − z ∗ ) − f2∗ (z ∗ )] ∗ ∗ z ∈X = min [f1∗ (x∗ − z ∗ ) + f2∗ (z ∗ )]. ∗ ∗ z ∈X Định lý được chứng minh. Từ Hệ quả 1.1.8 (2) và Mệnh đề 1.2.12, ta suy ra định lý sau: e là một hàm chính thường. Khi đó, Định lý 1.2.16 Cho f : X −→ R f ∗∗ = f nếu và chỉ nếu f là lồi và nửa liên tục dưới. 18