Tài liệu Làm đầy một không gian định chuẩn

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học.Trứơc sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học,em đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, đã giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận này. Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện để em có cơ hội tập dược với việc nghiên cứu khoa học. Xuân Hoà, tháng 5 năm 2007 Sinh viên Đồng Thị Chinh Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả đề tài :"Làm đầy một không gian định chuẩn"đảm bảo tính chính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Xuân Hoà, tháng 5 năm 2007 Sinh viên Đồng Thị Chinh Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời mở đầu Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ XX, đây là ngành giải tích Toán học. Nội dung của nó là sự hợp nhất của lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích và đại số. Trong đó điều đáng chú ý nhất là tác giả của các đối tượng đang được khảo sát giống như không gian thực tại trong các mối quan hệ này hay các mối quan hệ khác. Đến nay giải tích hàm đã đạt được một số nội dung hết sức quan trọng: - Lý thuyết về các không gian trừu tượng - Lý thuyết về toán tử tuyến tính - Lý thuyết về nội suy toán tử - Lý thuyết về giải tích hàm suy tuyến, giải gần đúng phương trình tuyến tính Phương pháp của giải tích hàm là tiên đề hoá những tính chất đặc trưng của tập số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề cơ bản của giải tích cổ điển vào những không gian đó. Giải tích hàm có ý nghĩa quan trọng bởi sự ứng dụng của nó trong vật lí lí thuyết hiện đại, đặc biệt trong cơ học lượng tử. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về môn này và là bước đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Làm đây không gian định chuẩn”. Trong khoá luận này em đã trình bày nội dung sau: Chương 1. Không gian định chuẩn CL[a,b] Chương 2. Làm đầy không gian định chuẩn Để hoàn thành bản khoá luận này, mặc dù em đã hết sức cố gắng song do còn hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn bè. CHƢƠNG 1 : KHÔNG GIAN địNH CHUẩN Cl  a, b l 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn C  a, b 1.1.1. Định nghĩa 1.1.1: (Không gian tuyến tính ) Giả sử P là trường số thực R hay trường số phức  .Tập X   cùng với hai ánh xạ ( gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng ).  Phép cộng: X X  X (x,y) (  x,y X )  x+y  Phép nhân vô hướng : P  X (  .x)  X   .x (    P,  x  X) Gọi là một không gian tuyến tính ,nếu các tiên đề sau thoả mãn: 10: (  x,y  X) : x+y=y+x ; 20: (  x,y,z  X): (x+y)+z =x+(y+z); 30: (    X )(  x  X) x+ =x ; (  gọi là phần tử không của X) 40: (  x X) (  -x X) x+(-x)=  ; ( -x gọi là phần tử đối của x ) 50: (  x,y  X)(    P)  .(x+y )=  x+  y ; 60: (  x X)(   ,   P) (  +  ).x =  x +  x ; 70: (  x X) (   ,   P) : (  .  ).x=  .(  x) 80 : (  x X) ; 1.x=x ; Nếu P= R thì X gọi là không gian tuyến tính thực Nếu P=  thì X gọi là không gian tuyến tính phức Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l 1.1.2. Xây dựng không gian tuyến tính C  a, b Cl  a, b =  x= x(t): x(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a,b]  l a) Đưa vào tập C  a, b hai phép toán :  y=y(t)  C  a, b ,    R : l l  x=x(t)  C  a, b , Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y ,kí hiệu x+y x+ y=x(t)+y(t) Ta gọi tích của phần tử x với số  ,kí hiệu  .x  .x =  .x(t) l b) Các phép toán trên đóng kín trong C  a, b . l Thật vậy:  x=x(t)  C  a, b l ,  y=y(t)  C  a, b ,  R. Khi đó theo tính chất các hàm số liên tục ta có x(t)+y(t);  .x(t) đều là các hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Do đó x+y  C  a, b ;  .x  C  a, b l l l Suy ra các phép toán xây dựng trên đómg kín trong C  a, b l c) C  a, b cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính. Thật vậy:  Kiểm tra tiên đề 1 0 l l  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b .Ta có Với mỗi t  [a,b] ,thì x(t), y(t)  R nên x(t)+y(t) =y(t)+x(t). Suy ra x+y=y+x Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy tiên đề 10 được thoả mãn .  Kiểm tra tiên đề 2 0 l l l  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b ,  z=z(t) C  a, b Với mỗi t [a,b] thì x(t), y(t), z(t)  R nên ( x(t)+y(t) )+ z(t) = x(t)+(y(t) + z(t))  ( x+y) +z =x+( y+z ). Vậy tiên đề 20 được thoả mãn . 0  Kiểm tra tiên đề 3 : Xét  =  (t)=0 ,  t [a,b] Hiển nhiên   C  a, b ,  x=x(t)  C  a, b , ta có: l l Với mỗi t  [a,b] thì x(t)  R nên : x(t) +0 =0+ x(t)= x(t)  x+  = +x=x . Vậy tiên đề 30 được thoả mãn , và phần tử  được gọi là l phần tử không của C  a, b . 0  Kiểm tra tiên đề 4 : l l  x=x(t)  C  a, b ,đặt y=-x(t) . Rõ ràng y  C  a, b Với mỗi t [a,b] thì x(t)  R và -x(t)  R ,nên x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0  x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 ,  t [a,b] .  x+y =  . Phần tử y được gọi là phần tử đối của x , kí hiệu –x Vậy tiên đề 40 được thoả mãn 0  Kiểm tra tiên đề 5 :  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b ,    R ta l Đồng Thị Chinh l 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp có : Với mỗi t  [a,b] thì x(t) ,y(t)  R , nên :   .( x(t)+y(t) )=  .x(t)+  .y(t). Vậy tiên đề 50 được thoả mãn 0  Kiểm tra tiên đề 6 :  x=x(t)  C  a, b ,   ,   R , ta có : l Với mỗi t [a,b] thì x(t)  R nên : (  +  ).x(t) =  .x(t)+  .x(t)  (  +  ).x=  .x+  .x . Vậy tiên đề 60 thoả mãn . 0  Kiểm tra tiên đề 7 :  x=x(t)  C  a, b ,   ,   R , ta có : l Với mỗi t [a,b] thì x(t)  R nên :  (  .x( t ) )=(  .  ). x(t)   (  x)=(  .  .)x , Vậy tiên đề 70 được thoả mãn. 0  Kiểm tra tiên đề 8 : l  x=x(t)  C  a, b , ta có: Với mỗi t [a,b] thì x(t)  R nên :  1.x(t) =x(t) ,  1.x =x. Vậy tiên đề 80 được thoả mãn. l Vậy C  a, b cùng với hai phép toán trên lập thảnh một không gian tuyến tính trên trường số thực R . Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l 1.2 Không Gian Định Chuẩn C  a, b 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 (Không gian định chuẩn ). Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính đ cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập R ,kí hiệu là  .  và đọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau: 1o : (  x  X) : x  0  x  =0  x=  (ký hiệu phần tử không của X là ) 20: (  x  X) (    P):  .x  =  .  x ; 30 : (  x,y  X)  x  y  x  y ; Số  x  đọc là chuẩn của vectơ x Các tiên đê 10 ,20, 30 gọi là hệ tiên đề chuẩn Kí hiệu không gian định chuẩn : X hay (X,  .  ); l 1.2.2. Xây dựng không gian định chuẩn C  a, b l a) Ta đưa vào không gian tuyến tính C  a, b chuẩn của phẩn l tử x=x(t)  C  a, b , kí hiệu  x  xác định b   x = x(t ) dt (1) a l Dễ thấy quy tắc cho bởi (1) là một ánh xạ từ C  a, b vào R l b) Chứng minh ánh xạ từ C  a, b vào R xác định bởi (1) thoả mãn hệ tiên đề chuẩn Thật vậy: x  t   CL   x  t   CL    x a,b  a,b    Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp o  Kiểm tra tiên đề 1 : l  x=x(t)  C  a, b do x(t )  0  t [a,b]. nên b Bây giờ ta chỉ ra  x(t ) dt =0  x(t )  0 ,  t[a,b]. a Thật vậy ,chiều ngược lại là hiển nhiên. b  x(t ) dt =0 (*) và giả sử t   a.b  sao cho Nếu 0 a x(t0)  0.Khi đó , c, d    a, b , t0   c, d  sao cho x(t )  0, t   c, d  .Từ đó và từ: b  d x(t ) dt   x(t ) dt  0 ( mâu thuẫn với (*) ). Vậy x(t )  0, t   a, b  c a Từ đó và từ tính liên tục của hàm x(t ) ,  x(t )  0, t   a, b  . b Vậy  x(t ) dt =0  x(t )  0 ,  t[a,b]. a Hay x(t )  0  x(t )  0, t  a, b Vậy tiên đề 10 thoả mãn. 0  Kiểm tra tiên đề 2 :  x=x(t)  C  a, b ,    R ,Ta có :  .x=  .x(t); l b b  b    .x  =  .x(t ) dt =  x(t ) dt =  . x(t ) dt =   x  a a a   .x  =   x . Vậy tiên đề 20 thoả mãn 0  Kiểm tra tiên đề 3 : Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp l l  x=x(t)  C  a, b ,  y=y(t)  C  a, b , l x+y=x(t)+y(t)  C  a, b , b b b b a a a a  x  y =  x(t )  y(t ) dt    x(t )  y(t ) dt =  x(t ) dt +  y (t ) dt =  x +  y  xy  x  y Vậy tiên đề 30 thoả mãn l Kết luận : (C  a, b ,  .  ) là không gian định chuẩn. l 1.3.Định lí :Không gian định chuẩn C  a, b không đầy. 1.3.1.Các khái niệm cơ bản : Định nghĩa 1.3.1: Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x X nếu lim  x  x  =0 .Kí hiệu lim xn=x hay xn  x ( n   ) n n n Định nghĩa 1.3.2 : Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu lim xn  xm . =0. n , m Định nghĩa 1.3.3: Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ . 1.3.2.Chứng minh định lí: Thật vậy: Trong không gian CL  ta xét dãy ( xn (t )) như sau:  a ,b  1 Đồng Thị Chinh với a  t  10 ab , 2 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp ab 1 ab  t 2 2 2n 1+(a+b)n-2nt với xn(t) = với 0 ab 1 tb  2 2n (n  * ) . a) Ta chứng minh xn(t)  CLa ,b Thật vậy :  Với t  [a;  Với t ( ( ab ; 2 ab 2 ) thì xn(t) =1 nên xn(t) liên tục trên [a; ab ab ; 2 2 + ab 2 ) 1 ) thì xn(t) nên xn(t)=1+(a+b)n-2nt liên tục trên 2n ab 1 + ) 2n 2 (  Với t  Tại t= ab 2 ab 2 ab 1 1 ;b] thì xn(t) =0 nên xn(t) liên tục trên ( + ;1]. 2n 2n 2 + ta có xn( ab 2 )=1 , lim xn(t) = lim (1+(a+b)-2nt)=1 =xn( 1 ) a b a b t ( ) 2 t ( 2 2 ) lim xn(t)= lim 1=1 = lim xn(t) a b a b a b t ( 2 ) t ( ) 2 t ( Vậy xn(t) liên tục tai t= ab  Tại t= t ( 2 + t (  2n ) ) ab . 2 1 ab 1 ,ta có xn( + )=0 ,  n  * . 2n 2n 2 lim (xn(t))= a b 1 2 2  t ( ab 1 lim 0 =0=xn( + ); a b 1 2  2n 2 )  2n  ab 1 lim 1 (a  b)n  2nt =0= xn( (xn(t)) = lim + ). a b 1 a b 1 2  2n ) Đồng Thị Chinh t ( 2  2n ) 10 2 2n K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy xn(t) tại t= ab 2 + 1 . 2n Do vậy xn(t) liên tục trên đoạn [a,b] .Suy ra xn(t)  C L [a,b] L b) Dãy ( xn (t )) là dãy cơ bản trong C [a,b] n1 Thật vậy:  m,n  * , giả sử m=n+p , p  * ta có : b  xm  xn   xn (t )  xm (t ) dt a a b 1  2 2n a b 2 =   xn (t )  xm (t ) dt + xn (t )  xm (t ) dt + a b 2 a b 1  2 2n a a b 2  1  1 dt +   xn (t )  xm (t ) dt a b 1  2 2n a b 2 a = b b xn (t )  xm (t ) dt +  0  0 dt a b 1  2 2n a b 1  2 2n =  xn (t )  xm (t ) dt a b 2 Vì xn (t )  xm (t )  1 ,  t [a,b] nên  xn  xm = a b 1  2 2n  xn (t )  xm (t ) dt  a b 2 a b 1  2 2n  a b 2 dt = 1 2n 1 hay  xn  xm    0 ( n  ) 2n Do đó dãy ( xn (t )) là một dãy cơ bản n1 c. Dãy ( xn ) không hội tụ trong C L [a,b] .Thật vậy : L Giả sử dãy ( xn (t )) hội tụ tới một hàm x(t) nào đó trong C [a,b] ,tức là n1 Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp  xn  x   0 (n   ) ,hay a b 2  xn (t )  x(t ) dt  0 (n   ) a a b 2 Tích phân này có thể viết  b xn (t )  x(t ) dt + a b 2 phải có:  b  xn (t )  x(t ) dt  0 (n   ) và xn (t )  x(t ) dt cho nên ta xn (t )  x(t ) dt  0 (n   ) a b 2 a hay  a b 2 a lim xn (t )  x(t ) trong không gian n  CL[a, a  b ] 2 L xn (t )  x(t ) trong không gian C [ a  b ,b] Và lim n  2 a b 2 Nhưng rõ ràng  xn (t )  1 dt  0 (n   ) , b  xn (t )  0 dt  0 (n   ) a b 2 a xn (t )  1 trong không gian C Vậy lim n  L [a, ab ] 2 L xn (t )  0 trong không gian C [ a  b ,b] Và lim n  2 Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy ( xn (t )) trong không gian CL[a, a  b ] 2 L x(t) và 0 cùng là giới hạn của dãy ( xn (t )) trong không gian C [ a  b ,b] 2 Do tính duy nhất của giới hạn ,ta suy ra 1 với a  t  ab 2 x(t)= Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp 0 với ab t b 2 Nhưng như thế x(t) không liên tục vì tại t= ab 2 thì x(t) bị gián đoạn nên x(t)  C L [a,b] Do đó xn(t) không thể có giới hạn trong C Kết luận : Vậy không gian C L [a,b] L [a,b] không đầy Trong chương sau chúng ta sẽ tìm cách làm đầy một không gian định chuẩn chưa đầy thành không gian Banach . Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng 2 : Làm đầy không gian định chuẩn không đầy thành không gian Banach * Nhận xét : Từ định lý :” Cho không gian định chuẩn X .Đối với hai vector bất kì x, y  X ,ta đặt d(x,y)=  x  y  (2.1.1) Khi đó d là một metric trên X . Nhờ định lý trên mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (2.1.1) .Do đó một mẹnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn . Vì vậy nhờ nguyên lí làm đầy không gian metric , và metric (2.1.1) mọi không gian đinh chuẩn không là không gian Banach đều có thể làm đầy thành không gian Banach . * Quá trình làm đầy không gian định chuẩn X thực chất là : Mỗi dãy cơ bản mà không hội tụ trong X thì coi như xác định một phần tử mới làm giới hạn cho dãy đó Sau khi thêm những phần tử mới này ,người ta có thể định nghĩa một chuẩn thích hợp để không gian đã bổ sung là đủ trong chuẩn đó , và lúc này X trở thành không gian con của không gian đã bổ sung . 2.1. Làm đầy không gian định chuẩn . Cho không gian định chuẩn ( X,  .  ) ( nói chung X là không gian không đầy ). Khi đó tồn tại không gian Banach X sao cho : 1) Không gian X đẳng cự tuyến tính với một không gian con của không Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp gian X 2) X trù mật khắp nơi trong X . Không gian X gọi là cái làm đầy của không gian X Chứng minh định lý : 2.1.1.Xây dựng X là không gian định chuẩn 2.1.1.1. Xây dựng X là tập tất cả các lớp dãy cơ bản của không gian X. Ta phân hoạch tập X thành cáclớp phần tử như sau: +Với hai dãy cơ bản ( xn ),( xn ) ,trong không gian X ta xây dựng quan hệ Với mọi dãy cơ bản (xn) và (xn’) trong không gian X,ta xây dưng quan hệ  sau: ( xn )  ( xn )  lim xn  xn  0 . n Dễ thấy  là một quan hệ tương đương bởi nó có đầy đủ những tính chất : ( xn ),( xn ),( yn ) là các dãy cơ bản trong X. a) Tính phản xạ: Vì lim xn  xn  0 nên ( xn )  ( xn ) . n b) Tính đối xứng: Ta có lim xn  xn  lim xn  xn n n ,nên nếu lim xn  xn  0 thì lim xn  xn  0 . n n  nếu ( xn )  ( xn ) thì ( xn )  ( xn ) c) Tính bắc cầu: Ta có lim xn  xn  0 , lim xn  yn  0 n n  0  lim xn  yn  lim xn  xn  lim xn  yn  0  lim xn  yn  0 . Vậy nếu ( xn )  ( xn ) và ( xn )  ( yn ) thì ( xn )  ( yn ) . Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Do đó tập tất cả các dãy cơ bản trong không gian X được chia thành các lớp,hai dãy cơ bản thuộc cùng một lớp thì tương đương .Ta kí hiệu tập tất cả các lớp kể trên là X ,kí hiệu các phần tử của X là x , y ,…. 2.1.1.2. Xây dựng X là không gian tuyến tính . a) Đưa vào X hai phép toán :  x , y  X ,   P . Với ( xn )  x , ( yn )  y ,ta kí hiệu ( xn  yn )  ( x1  y1, x2  y2 ,..., xn  yn ,...) , và ( xn )  ( x1, x2 ,..., xn ,...) . + Ta gọi tổng của hai phần tử x và y ,kí hiệu là x + y :   x + y = ( xn  yn ) : ( xn )  x,( yn )  y . + Ta gọi tích của số  với x , kí hiệu  x :    x = ( xn ) : ( xn )  x . b) Các phép toán trên đóng kín trong không gian X . Thật vậy:  x , y  X ,   P . Ta giả sử dãy ( xn )  x và dãy ( yn )  y + Ta chứng minh x + y  X : *Dễ thấy x + y là tập các dãy cơ bản trong X. * x + y là lớp các dãy cơ bản tương đương : Với hai dãy cơ bản bất kì (n ),(n )  x + y ta có ( xn0 )  x , (y0n )  y sao cho n  xn0  yn0 , n  * ; ( x1n )  x , ( y1n )  y sao cho n  x1n  y1n , n   * Khi đó: Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp 0  lim n  n  lim xn0  yn0  x1n  y1n  lim xn0  x1n  lim yn0  y1n =0.  0  lim n  n  0  (n )  (n ) . Vậy x + y  X + Ta chứng minh  x  X : * Dễ thấy  x là tập các dãy cơ bản trong X *  x là lớp chứa các dãy cơ bản tương đương Lấy hai dãy cơ bản bất kì (n ),(n )   x . Ta cần chứng minh dãy (n )  (n ) . Thật vậy ( xn0 )  x sao cho n   xn0 , n  * và ( x1n )  x sao cho n   x1n , n  * . Ta có : lim` n  n  lim  xn0   x1n   lim xn0  x1n  0   x  X . c) X cùng với hai phép toán trên lập thành không gian tuyến tính. +Kiểm tra tiên đề 10:  x , y  X , do X là không gian tuyến tính,nên phép cộng trong X có tính giao hoán : xn  yn  yn  xn , xn , yn  X  ( xn  yn )  ( yn  xn )    x + y = ( xn  yn ) : ( xn )  x,( yn )  y =   = ( yn  xn ) : ( xn )  x,( yn )  y = y + x ; Vậy tiên đề 10 thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 20 :  x , y, z  X .Do X là không gian tuyến tính nên phép cộng trong X có tính kết hợp : ( xn  yn )  zn  xn  ( yn  zn ), xn , yn , zn  X Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp  = ( x  ( y  : ( x )  x,( y )   y,( z )  z  ( x  y)  z  (( xn  yn )  zn )n1 : ( xn )  x,( yn )  y,( zn )  z n n  zn ))n1 n n n = x  ( y  z ) . Vậy tiên đề 20thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 30: Xét   X , ( )  ( , ,..., ,...)  , trong đó  là phần tử không của X . Do X là không gian tuyến tính nên xn      xn , xn  X   x  X ,ta có     x +  = ( xn   ) : ( xn )  x  (  xn )  x    x n1 n1 Vậy tiên đề 30 thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 40.  x  X , đặt y  (1) x , ( trong đó -1 là phần tử đối của phần tử đơn vị trong P ). X và ta có xn  (1.xn )   , xn  X . Rõ ràng y      x  y  ( xn  (1xn ))n1 : ( xn )  x =  . Phần tử y được gọi là phần tử đối của phần tử x , kí hiệu là - x . Vậy tiên đề 40 thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 50 : x, y   X ,   P , do X là không gian tuyến tính nên  ( xn  yn )   xn   yn , xn , yn  X  = ( x   y )  ,( x )  x,( y )  y   x   y   ( x  y)  ( ( xn  yn ))n1 : ( xn )  x,( yn )  y n Đồng Thị Chinh  n n 1 n 10 n K29B- Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy tiên dề 50 thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 60:  x   X ,  ,   P . Do X là không gian tuyến tính nên không gian tuyến tính nên (   ) xn   xn   xn , xn  X .  ((   ) xn )  ( xn   xn ) , ( xn )  x  (   )x   x   x . Vậy tiên đề 60 thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 70.  x   X ,  ,   P . Do X là ( ) xn   ( xn ), xn  X  (( ) xn )  ( ( xn )), ( xn )  x  ( ) x   ( x ) . Vậy tiên đề 70 thoả mãn . + Kiểm tra tiên đề 80:  x   X ,do X là không gian tuyến tính nên 1. xn = xn , xn  X ( 1 là phần tử đơn vị của P)   x .  (1xn )n1  ( xn )n1, ( xn ) x  1x Vậy tiên đề 80 thoả mãn . Vậy X cùng vớ hai phép toán trên lập thành không gian tuyến tính . 2.1.1.3. Xác định chuẩn trên X . *  x  X , ( xn ) x .Ta xác định chuẩn như sau :   = lim  x  x 1 n n (2.1.1.3) +Giới hạn này tồn tại vì :  xn    xm    xn  xm  Và do (xn) là dãy cơ bản trong X ,nên  xn  xm 1  0 Đồng Thị Chinh K29B- Toán 10