Tài liệu Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử fk cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều theo tham số tự do

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Kiên Thị Bích Trâm Đề tài: KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU THEO THAM SỐ TỰ DO LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Kiên Thị Bích Trâm Đề tài: KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU THEO THAM SỐ TỰ DO Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ MÃ SỐ: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 2 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân, em luôn nhận được sự động viên, quan tâm và giúp đỡ từ thầy cô, gia đình và bạn bè. Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, giáo viên hướng dẫn luận văn này – cô đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa, đặc biệt các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết đã tận tình truyền đạt những kinh nghiệm, kiến thức quý báu trong suốt khóa học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn. Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ em trong suốt thời gian học cũng như trong thời gian tiến hành luận văn. Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và cho những nhận xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè. Em xin chân thành cám ơn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2013 3 MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................ 4 MỞ ĐẦU 6 Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................................... 12 1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger .......................... 12 1.2 Tổng quan về exciton ................................................................................ 19 1.2.1 Lịch sử ............................................................................................. 19 1.2.2 Khái niệm ......................................................................................... 20 1.2.3 Phân loại .......................................................................................... 21 1.2.4 Tính chất .......................................................................................... 22 1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều .. 24 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU ............................................................... 28 2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều ... 28 2.2 Kết quả - Phân tích ................................................................................... 33 Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ.............................................................. 36 3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử .. 36 3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. ........................................................................... 38 3.3 Khảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều................................ 40 3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau40 3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu ......................................... 50 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 54 Phụ lục 1:Các toán tử sinh – hủy một chiều ................................................. 57 Phụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử ................................................................ 60 4 Phụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên............................. 63 Phụ lục 4:Các toán sinh – hủy hai chiều........................................................ 65 { } ˆ ++M ˆ + Nˆ ) ............. 68 Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử Sˆ = exp −τ ( M Phụ lục 6:Các thành phần ma trận cho bài toán exciton 2D trong từ trường 70 5 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, các nhà vật lý quan tâm nhiều đến các cấu trúc thấp chiều do tính ứng dụng cao cũng như các hiệu ứng đặc biệt của nó [10, 20]. Trong các mô hình thấp chiều đó, loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn GaAs/GaAlAs được sử dụng tương đối phổ biến. Trong tinh thể này, do đáy vùng dẫn Al x Ga1− x As (x ≤ 0.45) cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên vùng chứa GaAs hoạt động như hố thế trong khi vùng chứa Al x Ga1− x As đóng vai trò là bức tường thế. Đặc biệt kỹ thuật nuôi cấy tinh thể tiên tiến như kĩ thuật cấy chùm phân tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rất mỏng (cỡ nm) thì bức tường thế có thể xem là cao vô hạn. Lúc này, các hạt tải của GaAs sẽ cùng bị nhốt trong lớp GaAs dọc theo bề rộng: electron bị giam nhốt trong vùng dẫn trong khi các lỗ trống bị nhốt trong vùng hóa trị đầy và ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lượng đo được là phổ liên tục. Tuy nhiên, thực nghiệm quan sát được phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử và đặc biệt phổ hấp thụ của bán dẫn xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ. Điều này chỉ có thể giải thích bởi sự tồn tại của trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống tạo thành giả hạt exciton [8]. Exciton là trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống thông qua tương tác tĩnh điện, trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong mạng nhưng không lan truyền điện tích. Ngày nay, thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton đã được phát hiện trong các hầu hết các loại tinh thể điện môi và bán dẫn [16, 19]. Tuy nhiên, các hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp và những hiệu ứng của nó được quan tâm nhiều nhất trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm do tính ứng dụng cao của nó. Ngoài ra, các nghiên cứu cho thấy đây là vật liệu thuận lợi để quan sát và nghiên cứu phổ năng lượng exciton [16, 19, 22]; đặc biệt hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp còn có những hiệu ứng, đặc tính vật lý thú 6 vị như: hiệu ứng Hall, sự tách vạch trong điện trường và từ trường, hiện tượng ngưng tụ Bose,… [18, 22, 23]. Khi nghiên cứu phổ năng lượng của exciton, ta thu được nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này được đặt trong từ trường. Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano. Vì thế, bài toán exciton trong từ trường là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, mang tính thời sự và đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu. Như chúng ta đã biết, ở thế giới vi mô, phương trình Schrödinger đóng vai trò trung tâm, quan trọng trong cơ học lượng tử; đây là phương trình động lực học giúp ta giải quyết các bài toán chuyển động của hạt vi mô. Tuy nhiên, phương trình này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa số các bài toán hệ lượng tử thực đều phải sử dụng các phương pháp tính gần đúng hoặc các phương pháp số để tìm hàm riêng và trị riêng. Một trong những phương pháp gần đúng cổ điển được nhiều người biết đến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính của phương pháp này là dựa vào yếu tố vật lý của bài toán, tách toán tử Hamilton thành hai phần: thành phần thứ nhất được xem là phần chính có thể tìm nghiệm chính xác, thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn đã chứng tỏ hiệu quả của nó qua nhiều bài toán khác nhau; nhưng nó chỉ giải quyết được những bài toán thỏa điều kiện là thành phần nhiễu loạn đủ nhỏ so với thành phần chính, đối với những bài toán không thỏa điều kiện này (bài toán phi nhiễu loạn) thì không thể áp dụng được phương pháp này. Bài toán exciton trong từ trường với độ lớn của từ trường cùng thang so với thế Coulomb là một bài toán phi nhiễu loạn không thể tìm được nghiệm giải tích chính xác. Phương pháp toán tử FK được đưa ra năm 1982 để giải quyết những bài toán phi nhiễu loạn nêu trên bởi một nhóm giáo sư ở đại học Belarus [11]. Ý tưởng chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác và phần còn lại 7 là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc phân chia Hamiltonian không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình thức của các toán tử trong Hamiltonian. Điểm đặc biệt là trong phương pháp còn đưa vào một tham số tự do, có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính cho năng lượng và hàm sóng. Quy trình giải của phương pháp toán tử FK gồm bốn bước cơ bản: (1) biểu diễn Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy Dirac aˆ + (ω ) , aˆ (ω ) : Hˆ ( x, p) → Hˆ (aˆ , aˆ + , ω ), ở đây tham số tự do ω được đưa vào thông qua các toán tử sinh, hủy; (2) tách Hamiltonian ra làm hai phần, thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) giao hoán với toán tử aˆ + aˆ (thành phần trung hòa) được xem là phần chính, phần còn lại Hˆ (aˆ , aˆ + , ω ) Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) , với Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) xem là nhiễu loạn: = cách tách này Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) luôn có nghiệm là dao động tử điều hòa; (3) chọn tham số tự do ω sao cho Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta có nghiệm riêng của Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) là nghiệm gần đúng bậc zero; (4) xem Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ thích hợp. Khi nghiên cứu và áp dụng cho những bài toán cụ thể, phương pháp toán tử FK đã chứng tỏ những ưu điểm của nó như : Khi áp dụng phương pháp ta chỉ sử dụng các phép biến đổi thuần đại số, vì vậy giúp đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; ngoài ra phương pháp này cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì và xác định được giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài [5]. Phương pháp toán tử FK đã được áp dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau như: dao động tử phi điều hòa, bài toán polaron trong vật lý chất rắn, các bài toán hệ nguyên tử [2-5, 7, 12]. Chính vì vậy, sự lựa chọn phương pháp toán tử để giải bài toán exciton trong từ trường là hợp lí và đã được thực hiện trong nhiều công trình trước đây [2-5]. 8 Khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các bài toán hệ nguyên tử, phân tử, chúng ta gặp khó khăn là dạng thế tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số. Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Levi-Civita hoặc Laplace. Trong công trình [5] đã sử dụng thành công phép biến đổi Levi-Civita để giải bài toán exciton hai chiều trong từ trường với kết quả nghiệm số thu được chính xác đến 20 chữ số sau dấu phẩy. Tuy nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này thì năng lượng E không còn là trị riêng của toán tử Hamilton nữa mà được xác định gián tiếp thông qua việc giải phương trình Z(E) = const với Z là một trị riêng hình thức có giá trị không đổi. Đối với các bài toán phức tạp hơn như bài toán exciton âm, chúng tôi nghĩ rằng việc xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy không thuận lợi bằng việc giải trực tiếp. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa độ ra khỏi mẫu số; lúc này phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác. Trong luận văn này, tác giả sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường để tiếp tục khảo sát tính hiệu quả khi áp dụng phép biến đổi này trong phương pháp toán tử. Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là vai trò của tham số tự do ω. Với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau và khi chọn ω tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác. Ngoài ra, độ chính xác của nghiệm gần đúng cũng phụ thuộc vào việc chọn lựa ω. Vì vậy, việc chọn lựa tham số ω rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm được nhiều tài nguyên tính toán. Trong các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách chọn ω là dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự () do, xác định thông qua điều kiện gần đúng: ∂En = 0 , nhưng khi áp dụng cho các ∂ω 0 trạng thái kích thích thì phương pháp này tỏ ra hạn chế [12]. Trong công trình [6] đã đưa ra điều kiện mang tính phổ quát để xác định ω thông qua bài toán dao động tử điều hòa. Tuy nhiên, đối với bài toán exciton 2D trong từ trường đều, việc khảo sát ω chưa được tiến hành và thử nghiệm điều kiện đã nêu trong công trình [6]. 9 Chính những lý do thực tiễn trên đã thúc đẩy tôi thực hiện luận văn “Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo tham số tự do” với mục tiêu là khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử cho bài toán cụ thể đang có tính thời sự: bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều theo tham số tự do. Luận văn chỉ giới hạn ở đối tượng là exciton trung hoà. Mục tiêu được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau: • Tìm hiểu về phương pháp toán tử. • Tìm hiểu về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều. • Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử. • Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo tham số tự do ω . Để thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu: • Tìm kiếm, đọc, đánh giá, phân tích và tổng hợp tài liệu. • Lập luận, tính toán để xây dựng phương trình Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều. • Tính toán, biến đổi các phép tính toán tử để đưa phương trình Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều về dạng không thứ nguyên, dạng toán tử sinh huỷ 2 chiều và về dạng chuẩn. • Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số. 1. Cấu trúc Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết. Chương này gồm hai phần. Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về phương pháp toán tử FK qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa. Trong đó ta lần lượt 10 trình bày về ý tưởng phương pháp thể hiện qua các bước giải, ưu điểm của phương pháp và lưu ý một số vấn đề khi sử dụng phương pháp toán tử. Phần hai trình bày tổng quan về exciton: lịch sử, khái niệm, phân loại, tính chất của exciton và phương trình Schrödinger cho exciton trung hoà 2D trong từ trường. Chương 2: Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều. Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương 1 để giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường đều. Ta lần lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 để tìm nghiệm chính xác bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai chiều. Điểm lưu ý là trong phần này là để giải quyết vấn đề khó khăn khi dạng thế tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến đổi Laplace như trong công trình [7]. Chương 3: Vai trò tham số tự do trong phương pháp toán tử. Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính toán. Để minh họa, chúng tôi giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6]. Sau đó, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường đều. Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều kiện để chọn lựa giá trị tham số tối ưu và đưa ra một số kết luận. Trong phần kết luận ta đưa ra các kết quả thu được trong luận văn và hướng phát triển đề tài. 11 Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger: các bước giải, ưu điểm, những vấn đề khi sử dụng phương pháp toán tử; đồng thời ta cũng trình bày tổng quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất và phương trình Schrödinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều. 1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi nhóm của giáo sư Feranchuk I. D và Komarov L. I. ở trường Đại học Belarus [11] và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12]. Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau: • Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; các tính toán được thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đổi các thuần đại số. • Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì. • Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài. Ý tưởng của phương pháp toán tử FK thể hiện qua bốn bước giải mà ta sẽ trình bày sau đây trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều. Xét phương trình Schrödinger cho dao động tử phi điều hòa: 12 Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x), (1.1) với toán tử Hamilton không thứ nguyên: 1 d2 1 2 Hˆ = − + x + λ x4. 2 2 dx 2 (1.2) Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản như sau: Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau: aˆ = aˆ + = ω i  xˆ + pˆ  =  2 ω  ω ω 1 d  ; x+  2 ω dx  ω  xˆ − pˆ  =  2 ω  1 d  . x−  2 ω dx  i (1.3) Ở đây toán tử â được gọi là “toán tử hủy”, â + được gọi là “toán tử sinh” và ω là tham số tự do được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán. Chúng ta gọi là tham số tự do vì Hamitonian của hệ thực chất không phụ thuộc vào giá trị của ω. Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:  aˆ , aˆ +  = 1 .   (1.4) Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử (xem thêm Phụ lục 2). Thế (1.3) vào (1.2) và sử dụng (1.4), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán tử Hamilton như sau: 13 1+ ω2 1− ω2 + ˆ ˆ ˆ = H ( 2a a + 1) + 4ω 4ω + λ 4ω 2 ( )  aˆ 4 + aˆ  + 4 + 4 ( aˆ ) ( )  aˆ 2 + aˆ +  + 3 2  + 3λ  4ω 4 aˆ + 4aˆ + aˆ 3 + 6 ( aˆ (  2 aˆ + aˆ  ) + 2 ) 2 + 2aˆ + aˆ + 1 + 6aˆ 2  .   (1.5) Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (1.5) thành hai thành phần như sau: - Phần thứ nhất là Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) chỉ chứa các thành phần nˆ = aˆ + aˆ , các thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau: 1+ ω2 3λ = Hˆ 0OM 2aˆ + aˆ + 1) + 2 ( 4ω 4ω (  2 aˆ + aˆ  ) 2 + 2aˆ + aˆ + 1 .  (1.6) - Phần còn lại ta kí hiệu là Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) . Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) có nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) được xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω . Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình: 0 0 0 Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) . ( (1.7) ) Ta thấy Hˆ 0OM aˆ + aˆ , λ , ω giao hoán với toán tử nˆ = aˆ + aˆ và nghiệm của nó dễ dàng xây dựng như sau: n(ω ) = ( aˆ ) n! 1 + n 14 0 , (1.8) Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm (1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 được xác định bằng phương trình: = aˆ(ω ) 0 0;= 0 0 1. (1.9) Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không. Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.4), ta dễ dàng kiểm chứng: aˆ + aˆ n = n n ; (1.10) điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử nˆ = aˆ + aˆ , từ đó có thể thấy rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử Hˆ 0 ( aˆ + aˆ, λ , ω ) . Ta có: = En( ) 0 1+ ω2 3λ ( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1) 4ω 4ω (1.11) là năng lượng gần đúng bậc không tìm được phụ thuộc vào tham số ω . Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định ω từ điều kiện: ∂En( ) = 0. ∂ω 0 (1.12) Điều kiện để chọn giá trị ω theo phương pháp toán tử đã được thực hiện trong một số công trình [7, 11, 12] và đã chỉ ra rằng phương trình (1.12) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện Hˆ 0 >> Vˆ . Với bài toán chúng ta đang xét, điều kiện (1.12) dẫn tới phương trình để xác định ω như sau: 0 ( 2n + 1) ω 3 − ( 2n + 1) ω − 6λ ( 2n2 + 2n + 1) = 15 (1.13) Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số: Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham số tự do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải tìm nghiệm số. Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau: n+ s Ck( s )Vnk , ∑ k 0, k ≠ n = En( s ) = H nn + Vnn + n+s ( En( s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk , (1.14) k =0 k ≠n C (j ) 0, với điều kiện ban đầu là= 0 ( j ≠ n) . Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho β = 1 . Ngoài ra các giá trị En( s ) , C (js ) tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính. Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn được định nghĩa như sau: +∞ +∞ −∞ −∞ H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ 0 ψ k ( x)dx , V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx hay H kk = k Hˆ 0OM k , V jk = j Vˆ k ; (1.15) (1.16) các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số nhờ các hệ thức (1.4), (1.9). Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau: aˆ + n = n + 1 n + 1 ; aˆ n = n n − 1 . (1.17) Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.15) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường 16 minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.4) và (1.9) và cụ thể là sử dụng (1.10) và (1.17). Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau : H nn = 1+ ω2 3λ 2n + 1) + 2 ( 2n 2 + 2n + 1) , ( 4ω 4ω 1 − ω 2  λ Vn,n+2=  + 2 ( 2n + 3)  2ω  4ω  Vn,n= +4 λ 4ω 2 ( n + 2 )( n + 1) , ( n + 4 )( n + 3)( n + 2 )( n + 1); (1.18) các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng Vnm = Vmn . Bảng 1.1: Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n = 0 [5]. λ = 0.01 λ = 0.05 λ = 0.1 λ = 0.3 λ = 1.5 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180 E0( ) 1 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180 (2) 0 0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333 E0( ) 0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664 E0( 4) 0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705 E0(5) 0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845 E0( 6) 0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918 E0( 7 ) 0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659 E0(8) 0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861 E0(9) 0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336 E0(10) 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198 E0( 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251 (0) E0 E 3 T) 17 Bảng 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi điều hòa ở trạng thái cơ bản n = 0 khi dùng phương pháp toán tử FK. Như đã nói ở trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dạng cụ thể của toán tử Hamilton, do đó có thể áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán. Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc chọn tham số ω vì ứng với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau. Điều kiện (1.12) trong một số bài toán không cho tốc độ hội tụ cao. Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số tự do ω tối ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết và rất có ý nghĩa. Ngoài việc chọn tham số ω tốt để tốc độ hội tụ bài toán nhanh về giá trị chính xác, khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các bài toán phức tạp hơn như các bài toán hệ nguyên tử, phân tử, do một số đặc điểm riêng chúng ta gặp một số vấn đề cần nghiên cứu và giải quyết như: dạng thế tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số ; việc đưa các toán tử về dạng “chuẩn” (normal) để tính toán các yếu tố ma trận trong các sơ đồ tính bổ chính bậc cao ; việc xây dựng bộ hàm sóng cơ sở đảm bảo là nghiệm của dao động tử điều hòa đảm bảo tính đối xứng của bài toán và đồng thời thuận lợi cho việc tính toán; cuối cùng là việc lựa chọn sơ đồ thích hợp để bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính xác. Bài toán exciton trong từ trường khi sử dụng phương pháp toán tử FK cũng gặp phải những vấn đề trên mà ta sẽ trình bày rõ hơn trong những phần sau. 18 1.2 Tổng quan về exciton 1.2.1 Lịch sử Thực nghiệm cho thấy sự xuất hiện các đỉnh (peak) lạ trong phổ hấp thụ ở tinh thể khí hiếm và trong tinh thể phân tử (xem [22]). Để giải thích điều này, năm 1931, khái niệm exciton lần đầu tiên được Frenkel tiên đoán và sau đó được tiếp tục nghiên cứu phát triển trong các công trình tiếp theo của ông. Trong các công trình của mình, Frenkel giới thiệu exciton như một sóng kích thích điện tử trong các tinh thể khí hiếm. Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô tả các exciton trong chất cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là exciton phân tử (xem [19, 22]). Đến năm 1937, Wannier và Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, tương tự như nguyên tử hydro, phù hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn. Exciton loại này sau được đặt tên là exciton Mott-Wannier (xem [19, 22]). Sau đó, phổ hấp thụ của exciton MottWannier được Gross tìm thấy đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh thể Cu 2 O (xem [16]). Năm 1958, Lampert nêu ra khả năng tồn tại các trạng thái exciton phức tạp mang điện, ví dụ như exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron với một lỗ trống [17]. Đến những năm 90 thì thực nghiệm đã quan sát được phổ năng lượng của exciton âm trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử và lỗ trống rất lớn [15]. Ngày nay, bằng chứng về sự tồn tại của exciton đã được phát hiện trong các hầu hết các loại tinh thể điện môi (alkali halide, naptalene, benzene), bán dẫn (Ge, GaAs, CdS, Cu 2 O, CuCl), và cả trong polymer [16, 19]. Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton: khi sự kết hợp xảy ra giữa một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với một lỗ 19 trống thì exciton có điện tích âm (exciton âm), và cũng có trường hợp khi hai lỗ trống kết hợp với một điện tử tạo ra một exciton dương. Trong giới hạn của luận văn này chỉ đề cập đến trường hợp exciton trung hòa. 1.2.2 Khái niệm Trong bán dẫn thông thường, độ rộng của vùng cấm Eg giữa vùng dẫn và vùng hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến. Một photon có năng lượng hω > Eg có thể kích thích một điện tử trong vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn và để lại trong vùng hóa trị một lỗ trống thể hiện như một điện tích dương. Một điện tử dẫn liên kết với một lỗ trống bởi tương tác Coulomb sẽ tạo ra một hệ tương tự nguyên tử hydro, tuy nhiên năng lượng liên kết của nó nhỏ hơn nhiều và kích thước lớn hơn nhiều lần so với nguyên tử hydro. Ở giới hạn mật độ thấp, khi đó ta có thể bỏ qua hiệu ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗ trống được coi như một giả hạt tự do gọi là exciton. Hình 1.1: Các mức năng lượng exciton [5]. Như vậy, exciton là trạng thái liên kết giữa một điện tử và một lỗ trống thông qua tương tác tĩnh điện (tương tác Coulomb) trong chất bán dẫn hoặc điện môi. 20