Tài liệu Hệ phương trình hàm phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1.01.01 Người hướng dẫn: TS. nguyễn thành long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy Khoa Toán - Tin học, Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê Toán - Tin học, Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trƣờng Cao đẳng Giao thông Vận tải 3. Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trƣờng tại Trƣờng Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm 2003. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thƣ viện Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trâm trọng cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm và trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho chúng tôi trong suốt khóa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, người thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn PGS. Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh; Tiến sĩ Trần Minh Tuyết, khoa thống kê Toán học - Tin học, Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh đã đọc luận văn và đã cho tôi những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cảm ơn phòng Quản lý khoa học - Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành khóa học. Xin trân trọng cảm ơn Bạn Giám Hiệu trường Cao Đẳng giao thông vận tải 3, gia đình, bạn bè đồng ngiệp và các bạn học lớp Cao học Giải tích khóa 11 đã luôn tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. MỤC LỤC MỤC LỤC .............................................................................................................................................. 0 CHƢƠNG I TỔNG QUAN .................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM ...................................................................... 4 CHƢƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ............................................................. 6 Bổ đề 3.1 ............................................................................................................................................. 6 Bổ đề 3.2 ............................................................................................................................................. 8 Định lý 3.1 .......................................................................................................................................... 9 Chú thích 3.1 ..................................................................................................................................... 10 Chú thích 3.2 ..................................................................................................................................... 10 CHƢƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI ......................................................................................... 11 4.1. Thuật giải lặp cấp hai ................................................................................................................. 11 Định lý 4.1 .................................................................................................................................... 12 Định lý 4.2 .................................................................................................................................... 13 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai ............................................................................................ 16 Định lý 4.3 .................................................................................................................................... 16 Chú thích 4.1 ................................................................................................................................. 19 CHƢƠNG 5 KHAI TRIỂN TIÊM CẬN CỦA NGHIỆM .................................................................... 20 Bổ đề 5.1 ....................................................................................................................................... 21 Bổ đề 5.2 ....................................................................................................................................... 22 Bổ đề 5.3 ....................................................................................................................................... 23 Định lý 5.1 .................................................................................................................................... 25 Chú thích 5.1 ................................................................................................................................. 26 Định lý 5.2 .................................................................................................................................... 26 CHƢƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ ........................................................... 28 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai .......................................................................................................... 28 6.2 Khai triền tiệm cận của nghiệm .................................................................................................. 33 PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................... 40 1 CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm sau đây (1.1) x ∈, I = 1,…,n, trong đó, Ω = [a,b] hoặc Ω là một khoảng không bị chặn của IR, aijk, bijk là các hằng số thực cho trƣớc; và là các hàm số liên tục cho trƣớc thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm là các ẩn hàm, là một tham số bé. Trong trƣờng hợp riêng hệ (1.1) đƣợc nghiên cứu bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân [11]. Trong [12], các tác giả C.Q. Wu, Q.w. Xuan, D.Y. Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với Ω = [-b,b], m = n = 2, aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất (1.2) với mọi x ∈ Ω = [-b,b] trong đó, các hằng số aij , bij , cij , b cho trƣớc thỏa các điều kiện (1.3) các hàm số g1, g2 liên tục cho trƣớc và f1, f2 là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng đƣợc xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn định đối với các gi. Trong [9], các tác giả N.H. Nghĩa, N.K. Khôi đã xét hệ phƣơng trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số 2 (1.4) với mọi x∈[-1,1], trong đó g1, g2 đƣợc chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết trƣớc. Trong [3], các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, Đ.V. Ruy, N.K. Khôi đã nghiên cứu một trƣờng hợp riêng của (1.1) với aijk = 0 và Ω = [-b,b] hay Ω là khoảng không bị chặn của IR. Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, trong [3] đã thu đƣợc kt quả vê sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm gi. Trong trƣờng hợp aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất, g ∈ Cr(Ω;IRn)và Ω = [-b,b], trong [3] đã thu đƣợc một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp r. Hơn nữa, nêu gi là các đa thức bậc r thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Kế đó, nếu gi là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) đƣợc xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã đƣợc nới rộng bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa [4] cho miền Ω⊂IRp nhiều chiều và Sijk là các hàm affine. Hơn nữa, trong [4] cũng cho một điều kiện đủ về sự hội tụ cấp hai. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ɛ cũng đƣợc xem xét trong bài báo của N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6] và N.T. Long [8]. Gần đây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phƣơng trình tích phân-hàm (1.5) Sau đó P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long [1] đã xét hệ (1.6) i = l,2,...,n, x ∈ Ω = [-b, b], trong đó gi Ω IR là các hàm liên tục cho trƣớc, aijk, bijk, cijk, αijk, βijk, γijk ∈ IR là các hằng số thực cho trƣớc thỏa thêm một số điều 3 kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5] đã thiết lập nghiệm f = (f1,...,fn) bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Luận văn này đƣợc trình bày trong 6 chƣơng, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chƣơng 1, là phần tổng quan về hệ phƣơng trình hàm, một số kết quả đã có trƣớc đó và một số nội dung cần trình bày trong các chƣơng của luận văn. Trong chƣơng 2, là phần trình bày công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chƣơng sau. Trong chƣơng 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Trong chƣơng 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu đƣợc thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Điều này cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co. Trong chƣơng 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi tham số bé ɛ. Chúng tôi thu đƣợc trong chƣơng này một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N + 1 theo ɛ, với ɛ đủ nhỏ theo nghĩa tức là trong đó c là một hằng số độc lập với . Trong chƣơng 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phƣơng trình hàm cụ thể thuộc dạng (1.1) ứng với ở đó một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ đƣợc khảo sát. Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu đƣợc trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 4 CHƢƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chƣơng 2, là phân giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản đƣợc sử dụng trong luận văn. 2.1 Các ký hiệu Ta ký hiệu Ω = [a, b] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR . Với Ω = [a,b], ta ký hiệu X = C(Ω;IRn) là không gian Banach của các hàm số f = (f1,...,fn): Ω → IRn liên tục trên Ω đối với chuẩn (2.1) Khi Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu X = Cb(Ω; IRn) là không gian Banach của các hàm số f:Ω→IRn liên tục, bị chặn trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tƣơng tự, với số nguyên không âm m, ta đặt Với Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu Mặt khác, Cm (Ω; IRn) và (Ω; IRn) cũng là các không gian Banach đối với chuẩn (2.2) 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động sau đây đƣợc sử dụng nhiều lần trong các chƣơng sau. Định lý 2.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.||, K⊂ X là tập đóng. Cho T: K → K là ánh xạ thỏa mãn: tồn tại số thực σ, 0 ≤ σ < 1 sao cho 5 (2.3) Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf. (ii) Với mỗi f(0) ∈ K, xét dãy f(v) cho bởi f(v) = Tf(v-1), v = 1,2,…, ta có (j) (jj) (jjj) Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích. 6 CHƢƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chƣơng này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Ta viêt hệ (1.1) theo dạng của một phƣơng trình toán tử trong X = C (Ω,IRn) (hoặc trong X = Cb (Q,IRn)) nhƣ sau f = Af + Bf + g (3.1) trong đó với Ta ký hiệu Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử ||[bijk]|| < 1 và Sijk: Ω Ω liên tục. Khi đó (ii) Toán tử tuyến tính I-B: X→X là khả đảo và Chứng minh (i) Ta có 7 (ii) Trƣớc hết, ta nghiệm lại rằng ||B|| < 1. Thật vậy, do (i) và ||[bijk]|| < 1, ta chú ý rằng Tiếp theo, ta chứng minh rằng I - B khả đảo, tức là, với mỗi g ∈ X, phƣơng trình f = Bf + g có nghiệm duy nhất f ∈ X. Thật vậy, xét ánh xạ Khi đó, δ là ánh xạ co. Theo định lý điểm bất động Banach, phƣơng trình f = Bf + g có nghiệm duy nhất f ∈X. Mặt khác, ta có hay Vì f = (I – B)-1g nên Suy ra và bổ đề 3.1 đƣợc chính minh. Do bổ đề 3.1, ta viết lại hệ (3.1) nhƣ sau f = (I – B)-1 ( Af + g) = Tf. Ta thành lập các giả thiết sau (H1) Rijk, Sijk,: Ω Ω liên tục; (3.2) 8 (H2) g = (g1,…gn) ∈ X; (H3) ||[bijk]|| < 1 (H4) Φ: R → R thỏa điều kiện Với mỗi M > 0, ta đặt KM = {f ∈ X : ||f||X ≤ M} Khi đó, ta có bổ đề sau đây Bổ đề 3.2 Giả sử (H1) - (H4) đúng. Khi đó ta có Chứng minh (i) f ∈ KM, Bất đẳng thức thứ 3 có đƣợc là do Vậy ta có 9 Vậy Khi đó, ta có định lý sau đây Định lý 3.1 : Giả sử (H1) - (H5) đúng. Khi đó, với mỗi , với | | 0, hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất f ∈ KM Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf ∈X, với mọi f ∈ X. Xét f, ̃ ∈ KM, ta dễ dàng nghiệm lại do 3.1 và 3.2 rằng (3.3) (3.4) Chú ý rằng, từ (H5) ta có 10 Do đó: Từ đây suy ra và Ta suy ra từ (3.3), (3.4), (3.5) rằng T: KM (3.5) KM là một ánh xạ co. Khi đó, sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm f ∈ KM sao cho f = Tf. Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) đƣợc xấp xỉ bởi giải thuật sau : (3.6) f(0) ∈ KM cho trƣớc Khi đó: f(v) f trong X khi v +∞ (3.7) và (3.8) với Chú thích 3.2 Trong trƣờng hợp riêng Φ (y) = y2 , RiJk = SiJk, hệ (1.1) đƣợc chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân [11]. 11 CHƢƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1. Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1). Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau. 4.1. Thuật giải lặp cấp hai Xét hệ phƣơng trình hàm (1.1) Ta giả sử rằng Φ ∈ (IR; IR). Dựa vào xấp xỉ sau đây (4.1) Ta thu đƣợc thuật giải sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trƣớc ta xác định ii) Giả sử biết bởi (4.2) Ta viết lại (4.2) dƣới dạng (4.3) x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, v = 1,2,… trong đó , phụ thuộc vào f(v-1) cho bởi: 12 (4.4) (4.5) Khi ta có định lý sau: Định lý 4.1: Giả sử (H1) - (H3) là đúng. Nếu f (v-1) ∈ X thỏa (4.6) Khi đó tồn tại duy nhất f(v)∈ X là nghiệm của (4.3) - (4.5). Chứng minh Hệ (4.3) đƣợc viết lại nhƣ sau (4.7) với (4.8) Hiển nhiên rằng Tv: X X. Ta chỉ cần nghiệm lại rằng (4.9) Thật vậy, với f, h ∈ X, đặt ̃ = f –h ta có 13 Vậy Sử dụng định lý điểm bất động Banach, định lý 4.1 đƣợc chứng minh Định lý 4.2: Giả sử (H1)-(H3) đúng, cho aijk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số M, ɛ sao cho: Với f(0) ∈ KM cho trước, hệ (4.3)-(4.5) tồn tại duy nhất nghiệm f(v) thỏa điều kiện f(v) ∈ KM v = 01,2,… (4.10) Chứng minh Giả sử f(0) ∈ KM, với hai hằng số M, ɛ mà ta sẽ chọn sau . Bằng quy nạp ta giả sử rằng f(v-1)∈ KM Ta sẽ chứng minh f(v-1)∈ KM Với mọi x∈ Ω, ta có từ (4.3) rằng: (4.11) 14 (4.12) Do đó (4.13) Mặt khác, với mọi x∈ Ω ta có từ (4.4) và (4.11) rằng (4.14) trong đó Từ (4.14), ta có (4.15) Mặt khác, ta cũng có đƣợc từ (4.5) rằng Chú ý rằng số hạng trong dấu móc [...] đƣợc đánh giá nhƣ sau trong đó số thực , 0 < < 1 xuất hiện do việc áp dụng định lý Lagrange cho hàm Do đó, ta suy ra từ giả thiết (4.11) rằng 15 Vậy (4.16) Từ (4.13), (4.15) và (4.16) ta đƣợc hay (4.17) Với M > 0 đã chọn nhƣ trong (H5), ta chọn ɛ sao cho hai điều kiện sau đây đƣợc thỏa (4.18) (4.19) Ta suy từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng (4.20) Điều này khẳng định (4.10) tức là f(v)∈ KM Chú ý rằng (4.19) tƣơng đƣơng với (4.21) Do đó từ (4.19) ta suy ra đƣợc (4.18). Vì thế, ta chỉ cần chọn ɛ thỏa (4.19).