Tài liệu Hằng số vũ trụ trong mô hình vũ trụ chuẩn học

LỜI CẢM ƠN Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sỹ Phạm Ngọc Thư giảng viên môn Vật Lý trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn nhóm đề tài trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo, cùng các bạn sinh viên K56 - ĐHSP Vật Lý đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho nhóm đề tài trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Trong quá trình học tập và thực hiện đề tài không tránh khỏi những sai sót là điều tất yếu, rất mong các thầy cô bỏ qua cho chúng tôi. Đồng thời do trình độ năng lực còn hạn chế nên bản báo cáo đề tài này không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để đề tài thêm hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Xác nhận của giảng viên hƣớng dẫn Sơn La, Ngày… Tháng… Năm… Tác giả đề tài Nguyễn Thị Hoa Vũ Thị Lan Anh Bun Khăm – Sua Chêng Hơ MỤC LỤC MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài. ........................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................................2 3. Giả thuyết khoa học .....................................................................................................2 4. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................................2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................................2 6. Phạm vi nghiên cứu .....................................................................................................2 7. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................3 8. Đóng góp đề tài............................................................................................................3 9. Cấu trúc của đề tài. ......................................................................................................3 CHƢƠNG I. THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT VÀ KHÔNG GIAN CONG .........................................................................................................................................4 1.1. Tọa độ cong .............................................................................................................4 1.1.1. Các quy luật biến đổi .............................................................................................4 1.1.2. Tensor ....................................................................................................................6 1.2. Dịch chuyển song song ............................................................................................6 1.2.1. Định nghĩa .............................................................................................................7 1.2.2. Tìm  A ................................................................................................................7 1.2.3. Liên thông Affine – chỉ số Christofell ..................................................................8 1.3. Đạo hàm hiệp biến trong không gian cong ..............................................................9 1.3.1. Định nghĩa .............................................................................................................9 1.3.2. Tính chất ................................................................................................................9 1.4. Phương trình trắc địa ( geodesic equation) .............................................................10 1.5. Dạng của S trong không gian cong để bất biến với phép biến đổi tổng quát ........10 1.6. Tensor metric. Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng .........................11 1.6.1. Tensor metric. ......................................................................................................11 1.6.2. Tensor cong Riemann. .........................................................................................12 1.6.3. Tensor Ricci .........................................................................................................13 1.6.4. Độ cong vô hướng ...............................................................................................13 1.6.5. Mối liên hệ giữa tensor metric và hình học Riemann .........................................13 1.7. Phương trình Einstein. ............................................................................................14 1.8. Kết luận chương 1. .................................................................................................19 CHƢƠNG II: HẰNG SỐ VŨ TRỤ ............................................................................20 2.1. Lịch sử xuất hiện hằng số vũ trụ  .......................................................................20 2.2. Mối quan hệ giữa  và năng lượng tối..................................................................21 2.3. Hằng số vũ trụ và năng lượng chân không .............................................................23 2.2. Các quan sát biện chứng cho gia tốc Vũ trụ ...........................................................26 2.5. Kết luận chương 2. .................................................................................................30 CHƢƠNG III: MÔ HÌNH VŨ TRỤ CHUẨN HỌC VỚI HẰNG SỐ VŨ TRỤ ....31 3.1. Các nguyên lý cơ bản của vũ trụ. ...........................................................................31 3.2. Metric Robertson Walker. ......................................................................................31 3.3. Lời giải vũ trụ .........................................................................................................34 3.3.1. Lời giải vũ trụ với   0 .....................................................................................34 3.2.1.1. Giai đoạn nào sẽ là giai đoạn kế tiếp sau lạm phát...........................................37 3.3.1.2. Hệ số giãn nở a(t ) của vũ trụ...........................................................................38 3.3.2. Lời giải với   0 ...............................................................................................47 3.4. Kết luận chương 3 ..................................................................................................50 KẾT LUẬN ĐỀ TÀI ....................................................................................................51 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................52 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong đời sống và khoa học công nghệ thì vũ trụ học đang là một vấn đề thu hút rất nhiều sự quan tâm. Trong đó lý thuyết tương đối rộng đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng mô hình và giải thích một số hiện tượng vũ trụ. Mô hình vũ trụ chuẩn học hiện nay dựa trên cơ sở của lý thuyết tương đối rộng và giả thiết không gian vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng. Đây là một lý thuyết khoa học đã được kiểm chứng và được cộng đồng khoa học chấp nhận rộng rãi. Các nhà vật lý học đã tìm ra được Metric Friedmann – Lemaitre – Robertson – Walker là nghiệm chính xác của phương trình Einstein mô tả vũ trụ đang giãn nở, cho phép mô tả sự tiến hóa của vũ trụ từ 13,8 tỉ năm trở về trước, khởi nguyên từ vụ nổ lớn (Big Bang). Như chúng ta đã biết thì vũ trụ được sinh ra từ một vũ nổ lớn. Vụ nổ này là nguyên nhân sinh ra không gian, thời gian và toàn bộ vật chất, năng lượng trong vũ trụ mà ngày nay chúng ta đang sinh sống. Sau vụ nổ này, vũ trụ ở vào trạng thái cực nóng và đặc. Điều này cho thấy bắt đầu một sự giãn nở nhanh chóng. Cùng với sự giãn nở nhanh của vũ trụ đã làm cho nhiệt độ nền và mật độ vật chất của vũ trụ giảm rất nhanh. Mô hình vũ trụ chuẩn học đã đưa ra cách giải thích hoàn thiện về nhiều hiện tượng quan sát thấy trong vũ trụ, bao gồm sự có mặt của những nguyên tố nhẹ, cấu trúc vĩ mô của vũ trụ, sự giãn nở của vũ trụ từ các quan sát về vận tốc rời xa của các thiên hà do Edwin Hubble thực hiện vào cuối những năm 1920. Một bằng chứng khác cho mô hình vũ trụ chuẩn học này là sự khám phá ra bức xạ nền vi sóng vũ trụ (cosmic microwave backgroud – CMB) vào năm 1965, nó khớp với dự đoán trước đó của thuyết Big Bang về bức xạ còn lại sau khi phát ra từ Big Bang. Tuy vậy bằng chứng này cũng đồng thời chính là mâu thuẫn quan trọng buộc người ta phải xem xét lại mô hình vũ trụ theo mô tả của Big Bang. Khó khăn gặp phải của lý thuyết mô tả vũ trụ được hé lộ. Khó khăn khi so sánh với lý thuyết của vật lý hạt cơ bản về các vấn đề như phân cực từ, vấn đề hấp dẫn.... Hơn nữa, mô hình vũ trụ chuẩn học còn gặp phải những khó khăn cơ bản khi giải thích các vấn đề về vũ trụ phẳng, vấn đề về đường chân trời, vấn đề đơn cực từ... Các hạn chế trên của mô hình vũ trụ trụ chuẩn học hiện được xem là có thể giải quyết được bằng lý thuyết vũ trụ lạm phát. Mô hình vũ trụ chuẩn học được nghiên cứu với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ. Nó được đề xuất từ 1 lúc mới hình thành phát triển của thuyết tương đối rộng để có thể miêu tả một nghiệm vũ trụ tĩnh suy ra từ phương trình trường Einstein nhưng sau đó các nhà thiên văn từ bỏ nó khi các quan sát thực nghiệm trong thập niên 1930 cho thấy vũ trụ đang giãn nở. Hiện tại, hằng số vũ trụ học được khôi phục trở lại nhằm giải thích kết quả quan sát vũ trụ đang giãn nở gia tốc. Hằng số vũ trụ học là cách giải thích đơn giản nhất cho năng lượng tối, nguyên nhân chưa được hiểu rõ gây ra sự giãn nở gia tốc này. Vật lý lượng tử cũng tiên đoán sự tồn tại của nó dưới dạng năng lượng chân không, mặc dù độ lớn tính toán từ lý thuyết lượng tử không khớp với giá trị đo được của vật lý vũ trụ họ. Với việc xuất hiện của hằng số vũ trụ thì việc đi tìm lời giải vũ trụ là điều mà hết sức cần thiết. Tuy nhiên, trong chương trình đào tạo đại học hiện nay tài liệu tham khảo về vấn đề này dành cho sinh viên còn rất hạn chế, nếu có thì cũng rất trừu tượng, không chuyên, một số tài liệu nước ngoài khó hiểu, được dịch không sát nghĩa. Việc có một tài liệu cụ thể về vấn đề này thực sự là rất quan trọng. Xuất phát từ những vấn đề ở trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “Hằng số vũ trụ  trong mô hình vũ trụ chuẩn học” là một đề tài rất hay nên đã mạnh dạn tìm hiểu và nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày được những nội dung chủ yếu của thuyết tương đối rộng, các đại lượng đặc trưng và các phép biến đổi tổng quát trong không gian cong, lý thuyết hấp dẫn Einstein với đối tượng là thế giới thực, từ đó xây dựng mô hình vũ trụ chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ. 3. Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng mô hình vũ trụ chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ học  thì có thể giải thích được kết quả vũ trụ đang giãn nở gia tốc. 4. Đối tƣợng nghiên cứu Hằng số vũ trụ  trong mô hình vũ trụ chuẩn học. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa cơ sở lí luận có liên quan đến thuyết tương đối tổng quát, không gian cong và mô hình vũ trụ chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ. Tìm hiểu sự xuất hiện và đi tìm lời giải của vũ trụ với hằng số vũ trụ  . 6. Phạm vi nghiên cứu Nội dung của thuyết tương đối tổng quát, không gian cong và mô hình vũ trụ chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ. 2 7. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tiến hành tìm và đọc hiểu các giáo trình chuyên nghành, các nguồn tài liệu chọn lọc liên quan để xây dựng hệ thống cơ sở lý thuyết. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: + Nhờ giảng viên hướng dẫn xem xét, nhận xét và đánh giá. + Tham khảo ý kiến của các giảng viên dạy bộ môn Vật lý thiên văn và Vật lý lý thuyết. 8. Đóng góp đề tài - Trình bày chi tiết nội dung về thuyết tương đối tổng quát và không gian cong, mô hình vũ trụ chuẩn học với hằng số vũ trụ. - Bổ sung vào nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm vật lý và những giáo viên quan tâm. 9. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo thì đề tài gồm 3 chương. Chương I: Thuyết tương đối tổng quát và không gian cong Chương II: Hằng số vũ trụ Chương III: Mô hình vũ trụ chuẩn học với hằng số vũ trụ 3 CHƢƠNG I THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT VÀ KHÔNG GIAN CONG Theo cơ học cổ điển, nguyên lý Galileo phát biểu “Mọi hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính”. Nguyên lý này được Galileo đưa vào năm 1632 và một thời gian dài nội dung của nguyên lý là không thay đổi. Sau này, Albert Einstein đã mở rộng nguyên lý này thành một tiên đề của lý thuyết tương đối hẹp: “Mọi hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính” [3]. Lý thuyết có một đặc điểm nổi bật là sự thay thế những biến đổi Galileo của cơ học Newton bằng phép biến đổi Lorentz. Lý thuyết này xét trong không gian phẳng mà trường hấp dẫn đồng đều ở mọi nơi. Tuy nhiên, trường hấp dẫn trên thực tế là không đồng đều, càng gần ngôi sao và các hành tinh thì trường hấp dẫn càng mạnh. Như vậy lý thuyết tương đối hẹp mâu thuẫn với thực tế. Về sau, Einstein đã xây dựng thuyết tương đối rộng để phát biểu các định luật vật lý cho tất cả các hệ tọa độ. Thuyết tương đối rộng được phát biểu như sau: “Mọi hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu (hệ quy chiếu quán tính và phi quán tính)” [4]. Thuyết được đặc trưng bởi không gian cong mà trường hấp dẫn không đồng đều. Nguyên lý tương đương của Galileo đã tổng quát hóa lên phép biến đổi tọa độ tổng quát: Phương trình mô tả trường hấp dẫn là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát. Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng quát các kiến thức cơ bản của thuyết tương đối và vũ trụ học. 1.1. Tọa độ cong [2, 3, 4] 1.1.1. Các quy luật biến đổi Ta khảo sát phép biến đổi tổng quát từ hệ tọa độ cũ x  sang hệ tọa độ mới x x  x ( x) (1.1) x  x ( x) (1.2)   Vi phân tuân theo quy luật biến đổi x v dx x v (1.3) x  dx  v dxv x (1.4) dx   4 Đối với biến đổi Lorentz, đạo hàm riêng dx  là hằng số. Biến đổi (1.3) và (1.4) dx có tính nghịch đảo. x x   v  v x x (1.5) Quy luật biến đổi của toán tử vi phân như sau  x v   x x x v (1.6)  xv   x  x  xv (1.7) Như ta đã biết, một trường vô hướng  ( x) là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát, tức là  ( x)   ( x)   ( x( x)) (1.8) Định nghĩa đạo hàm của trường   ( x)   ( x) v | x  const x  (1.9) với   v . Mặt khác ta có  ( x  dx)   ( x)   ( x)dx   O(dx 2 )  ( x  dx)   ( x)   ( x)dx  O(dx2 )  ( x  dx)   ( x)  (1.10) x   ( x) v dx xv x  Vì trường vô hướng  là bất biến với phép biến đổi tọa độ lên ta rút ra quy luật biến đổi của đạo hàm trường vô hướng như sau:  ( x)  x  ( x)  x  , v  x (1.11) Các vectơ hiệp biến trong không thời gian bốn chiều biến đổi giống như đạo hàm vô hướng dưới phép biến đổi Lorentz. Quy luật biến đổi này được tổng quát hóa cho trường hợp phép biến đổi tổng quát. Tức là vectơ và tensor biến đổi dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát. - A là vectơ phản biến dưới biến đổi tọa độ tổng quát nếu nó biến đổi theo 5 A  x v A x v (1.12) A  x v Av x (1.13) - A là vectơ hiệp biến nếu 1.1.2. Tensor Tensor là tổ hợp của nhiều thành phần mà mỗi thành phần tensor biến đổi như một vectơ. Hạng của tensor là số lượng các thành phần của tensor. - Tensor hiệp biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một vectơ hiệp biến.  Tensor hiệp biến hạng 2      x x   x x  (1.14)  Tensor hiệp biến hạng n  1 ... n   1 ... n x1 xn 1 ... n  1 ... vn  x x (1.15) - Tensor phản biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một vectơ phản biến.  Tensor phản biến hạng n  1 ... n  1 ... n  x1 x n ...   ... x1 xn 1 n (1.16) - Tensor hỗn hợp hạng (m, n) là tensor gồm m thành phần phản biến và n thành phần hiệp biến. 11......vnn  1 ...1 ...vnn  xv1 xvn ...  ... x1 xn 1 n (1.17) 1.2. Dịch chuyển song song [2, 3, 4] Trong không gian phẳng, đạo hàm không gian của tensor hạng  m, n  là tensor hạng  m, n  1 , ví dụ: đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạng nhất, đạo hàm của tensor hạng nhất là tensor hạng hai. Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này không đúng, đạo hàm của một vectơ không biến đổi như tensor hạng hai. Việc tìm một đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vectơ tại hai điểm, biến đổi như một 6 tensor, chính là lý do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song. 1.2.1. Định nghĩa Trong không gian phẳng, với tọa độ hình chữ nhật x  , khi dịch chuyển song song vectơ A từ vị trí này sang vị trí khác thì không thay đổi hướng và độ lớn, dễ dàng xây dựng các tensor hạng cao hơn bằng cách lấy vi phân. y A A 0 x Trong không gian cong, khi dịch chuyển song song vectơ từ vị trí này đến ví trí khác, thì hướng của vectơ sẽ thay đổi, hay nói cách khác là các phần của vectơ sẽ thay A A  A   A dịch chuyển song song đổi: với  A gọi gọi là dịch chuyển song song của một vectơ. - Trong không gian phẳng:  A  0 A A - Trong không gian cong  A  0 : độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt của vectơ trước và sau dịch chuyển song song. 1.2.2. Tìm  A - Khảo sát một vectơ trong hệ tọa độ x  có các thành phần là A , trong hệ tọa độ y  có các thành phần là B . Khi thực hiện phép biến đổi tọa độ tổng quát từ hệ x  sang hệ y  thì các thành phần của vectơ sẽ biến đổi: 7 A  y v x v B và B  Av v  x  y  (1.18) x  y  v x  v  x và y  y x v y v (1.19) Lấy biến phân  y v  Bv    x    A     y v     x   y v B   v     x  y v     x   Bv     Bv  (1.20)  y v  Tính      x   y v    x   y v    x   x   y v     dx   x  2 yv dx  y v     dx   x x x x  (1.21) x A y v Có Bv  (1.22) Thay (1.21), (1.22) vào (1.20) ta được  2 yv  2 y v x   x  A    dx A    v dx A   dx  A   x x y x x y   với  (1.23)  2 y v x    v là hệ số liên kết không gian giữa hai điểm của không gian. x x y 1.2.3. Liên thông Affine – chỉ số Christofell   A A  2 y v x    v x x y x   x  x  A  A   A  A   dx  A 8  kết nối 2 điểm trong không gian cong là đối xứng với hai chỉ số  ,  và không phải tensor hạng ba. 1.3. Đạo hàm hiệp biến trong không gian cong [2] 1.3.1. Định nghĩa Để lấy đạo hàm của một trường vectơ, ta phải dịch chuyển song song A  x  từ x tới x  dx trước khi thực hiện phép trừ. Khi đó ta có lim A  x  dx   A  x    A  x  dxv dx 0  lim A  x  dx   A  x  dx v dx 0  A x v   A dx    A v dx   (1.24) Đây chính là đạo hàm hiệp biến (covariant derivative) của vectơ. Thông thường người ta ký hiệu đạo hàm hiệp biến bằng dấu chấm phẩy, để phân biệt với đạo hàm thường ký hiệu bởi dấu chấm phẩy. A ;  A ,v   A (1.25) Đạo hàm hiệp biến biến đổi như một tensor dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát. Tương tự như trên, ta xây dựng được đạo hàm hiệp biến cho vectơ phản biến. B;v  B   v  B,v  v B v x (1.26) 1.3.2. Tính chất a. Đối với trường vô hướng ;  ,  b. A B  ;  A; B  A B; Như vậy quy tắc lấy đạo hàm hiệp biến như quy tắc vi phân của tích. Quy tắc này đứng cho các tensor hạng cao hơn. c. Liên thông Affine   -   là đối xứng với hai chỉ số  , -   không phải là tensor hạng ba. Chứng minh Trong hệ trục tọa độ x   , chỉ số liên kết có dạng A ;  A   A  x 9 (1.27) trong đó A , A ;v là tensor biến đổi như sau: x  A   A x x x  A ;v   A ; x x Thay vào phương trình (1.27) ta có (1.28) (1.29) r x s xt x r x  Ar 2 xr k x  A   A   Ar (1.30) s ;t r v x xv x xv x x xv xk Sử dụng phương trình (1.24) và đơn giản những số hạng đồng nhất hai vế, ta thu được r x s xt r  2 xr k x    st Ar   v Ar  v k Ar x xv x x x Vì Ar là tùy ý nên hệ số trước thành phần Ar phải bằng nhau. Nghĩa là x r x s xt r 2 xr    st xk x xv x xv xl xl x r xl  k   kl ta thu được Nhân cả hai vế với r và sử dụng hệ thức r k  x x x x kv kv  xl x s xt r xl  2 x r  st  r x r x xv x x xv (1.31) (1.32) (1.33) Đây là quy luật biến đổi của hệ số liên kết dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát. Quy luật biến đổi này chứng tỏ hệ số liên kết không phải tensor hạng ba. Điều này có nghĩa là trong một hệ tọa độ nào đó, hệ số liên kết bằng không nhưng khi chuyển sang hệ tọa độ khác thì các hệ số liên kết có thể khác không. 1.4. Phƣơng trình trắc địa (geodesic equation) [2] Phương trình trắc địa ( phương trình quỹ đạo) là phương trình mô tả dịch chuyển song song của một vectơ pháp tuyến trên quỹ đạo chuyển động của một hạt. Dạng của phương trình v xv   x x   0 v với   (1.34) 1  g ,  g ,  g ,  là liên thông Affine kết nối hai điểm trong không 2 gian 1.5. Dạng của S trong không gian cong để bất biến với phép biến đổi tổng quát [4] x   x  x v   dx  dx  xr v x x v x 4 v d x  J 1d 4 x v x  d 4 x  Jd 4 x 10 g v  g  v  J 2 g v det g v det g v  J 2 det g v  J   d 4x  det g v det g v d 4 x  det g v  det g v  det g v d 4 x   det g v d 4 x   det g  v d 4 x  S   d 4x  g L với g  det g   g  là tensor hiệp biến hạng hai 1.6. Tensor metric. Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng [2] 1.6.1. Tensor metric  Định nghĩa - Trong không gian phẳng, khoảng bất biến giữa hai sự kiện được xác định bởi: 2 ds 2  dt 2  d x  v dx  dxv (1.36) với v  Diag 1, 1, 1, 1 là một tensor metric trong không gian phẳng. (1.35) - Trong không gian cong, metric   v được thay thế bằng yếu tố g v và khoảng cách không – thời gian ds 2 giữa hai điểm cách nhau bởi dịch chuyển dx  ds 2  dt 2   dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  .d 2   g v dx  dx v (1.37) bất biến g v   1, 1, r 2 , r 2 sin 2    Quy ước - Thành phần thời gian là dương  g00  0  - Thành phần không gian là âm  g kk  0   0  ds   0  0  2  Tính chất - Tensor metric là đối xứng: g v  gv - Tensor g v là tensor hiệp biến hạng hai Chứng minh: Dựa vào tính bất biến của ds 2 11 (1.38) ds 2  ds2  g v dx dxv  g v dx  dx v  g v dx dxv x  xv   g v dx dx  g v  dx dx (lấy vi phân theo x và xv )  x x   g v  v x x  g x xv - Nghịch đảo của tensor metric g v là tensor metric g v thỏa mãn g v g v   v (1.39) - Tensor metric và dùng để hạ bậc chỉ số g v gv   (1.40) dx  g  dx (1.41) A  g  A (1.42) A  g  A (1.43) 1.6.2. Tensor cong Riemann  Định nghĩa - Tensor cong Riemann được định nghĩa dưới dạng        R v    ,v    v ,     v      (1.44)  Ý nghĩa - Dưới tác dụng của phép dịch chuyển song song một vectơ, không gian phẳng và  không gian cong thu được hai kết quả không trùng nhau, sai khác một lượng R v A , chính độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt này.  - Tensor cong R v đặc trưng cho độ cong của không gian.   - Trong không gian phẳng R v  0 và R v  0 trong không – thời gian cong. Vì nếu g v là hằng số thì ký hiệu Christofell bằng không ở mọi nơi, nếu g v  v thì tensor mitrix sẽ là   v ở mọi nơi. Do vậy sự tồn tại trường hấp dẫn chỉ qua sự khác  không của tensor cong Riemann R v  0.  Tính chất - Tính phản xứng (1.45) Rv   Rv 12 - Tính chất hoán vị vòng Rv  R v  R v  0 (1.46) - Tính chất đối xứng và phản đối xứng Rv   R v (1.47) Rv  Rv (1.48) 1.6.3. Tensor Ricci  Co chỉ số đầu với chỉ số cuối của tensor cong Riemann R v được tensor hạng hai, gọi là tensor Ricci đối xứng theo  ,  :  R v  R  R (1.49) 1.6.4. Độ cong vô hướng  R  R  R (1.50) 1 và Gv  Rv   v R được gọi là tensor Einstein 2 1.6.5. Mối liên hệ giữa tensor metric và hình học Riemann - Hình học Riemann là hình học mô tả không gian cong thỏa mãn tính chất: khi khảo sát vùng không gian là nhỏ thì một cách gần đúng có thể coi vùng không gian đó là phẳng. - Metric g v mô tả tính chất hấp dẫn của hệ quy chiếu, để phù hợp với tính chất của hình học Riemann (khảo sát trong một khoảng không gian nhỏ g v  v : hình học phẳng) thì đạo hàm hiệp biến của metric g v; phải bằng không. Từ điều kiện đó ta có g v x  gv x  g  x v  g   g   v (1.51)  g v  gv  (1.52)  g   g  v (1.53) Cộng (1.52) với (1.53) rồi trừ đi (1.51) ta được g v x   gv x   g  x 13 v  2 g v (1.54) Hay v  1  g  g  ,v  gv ,  g v ,  2 (1.55) Đây chính là mối liên hệ giữa tensor metric và hình học Riemann. 1.7. Phƣơng trình Einstein. Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình học không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó như sau: Trong thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L( x) thì tác dụng được định nghĩa bởi: S   d 4 xL( x) cũng bất biến. Trong lý thuyết tương đối rộng thì không vậy. Để xây dựng tác dụng bất biến thay vì d 4 ( x) ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng. Từ quy luật biến đổi của tensor mitric g v ( x) x x  g v ( x)   g ( x) x xv (1.56) Ta có thể suy ra quy luật của biến đổi định thức g 00 g g  det( g  )  10 g 20 g30 g 01 g11 g 21 g31 g 02 g12 g 22 g32 g 03 g13 g 23 g33 (1.57) Kí hiệu: ( g ) là ma trận với phần tử ở hàng  , cột v là g  ( x)   xv   x     là ma trận với phần tử ở hàng  , cột v là    x  x  Ta viết (1.56) thành x x  g ( x)       g ( x)     x  x  (1.58)  x  g   J 2 g với J  det     x  (1.59) T Và từ đây suy ra Mặt khác: d 4 x  Jd 4 x (1.60)  gd 4 x   gd 4 x (1.61) Từ (1.59) và (1.60) ta thấy rằng 14 Vậy trong lý thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến ta có thể lập tác dụng bất biến dạng: S   d 4 x  g L( x ) (1.62) Tác dụng mô tả hệ trường vật chất và trường hấp dẫn có dạng như sau: S   d 4 x  g  R  L  , ,    S g  S (1.63) với S g   d 4 x  g R mô tả bản thân trường hấp dẫn. S   d 4 x  g L  , ,  mô tả trường vật chất tương tác với trường hấp dẫn. Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với tác dụng (1.63) là S  S g  S  0 (1.64) Ta lần lượt tính S g và S  Tính S g S g có thể trình bày dưới dạng S g   d 4 x  g R   G  gd x   4    g i x i d x 4 (1.65) Ở đây G chỉ chứa các tensor g v và các dẫn suất đầu tiên của nó. Tích phân thứ hai có hình thức phân kỳ của một đại lượng nhất định  i . Ta có S g    R  gd 4 x    G  gd 4 x (1.66) Phía bên trái là một vô hướng, do đó các biểu thức bên phải cũng là một vô hướng. Đại lượng G đáp ứng các điều kiện trên nên ta có thể viết: S g   c3   R  gd 4 x 16 k c3    G  gd 4 x 16 k trong đó k  6,67 1011 N .m2 là hằng số hấp dẫn. kg 2 15 (1.67) Đặt   R  gd 4 x  S g Ta xét S g    R  gd 4 ( x)    g v Rv  gd 4 ( x)     d 4x   g g v Rv   g g v Rv   g g v Rv Tính các biến phân của vế phải. Ta có   g      g v  Để tính g  g  (1.68) v 1 g  g v 2  g  g v (1.69) g ta làm như sau, viết g dưới dạng  g v g Từ đó suy ra dg  1 . v .  .g  .gv .g  .g  4! 1 . v . .dg  .gv .g .g  3! (1.70) (1.71) Ta có dg   dg .g  .g (1.72)  v .g  .gv .g .g    .g (1.73)  .  3! (1.74) Thay (1.72), (1.73), (1.74) vào (1.71) ta được (1.75) dg  dg.g  .dg Từ đây suy ra g  g .g  v  g v Kết quả là   g    2 1 g gg  g v v  1 .g.g v g v 2 g   g v .g . g v 2 16 (1.76) Ta tìm được  S g    R  gd 4 x  1    d 4 x  g   g v .R  Rv   g v   g v Rv  gd 4 x  2  (1.77) Để tính  Rv ta dùng hệ quy chiếu quán tính định xứ, tại đó liên thông Affine: v  0 . Từ đó suy ra:  Rv   Rv      v        v        v     (1.78)     g v Rv  gd 4 x   Rv d 4 x  g g v v     (1.79) Vì trong hệ quy chiếu quán tính (1.80)   g v    g v   g  v   g   0 Do đó vế phải của (1.79) có thể đưa g v vào trong  và viết d 4    x  g g v . Rv    d 4 x  g v  g v     g vv  (1.81) Tiếp tục biến đổi vế trái  Xét v F v với F v  g v hoặc bằng g vv Ta có v F v   v F v  v F  1 v  .g v   v g    g v   g  2 1  .g v   g 2  1 g .   g v 2 g  gv 1     ln g  2 1    ln   g  2 17 (1.82)