Tài liệu Giáo trình toán cao cấp b2 phần đại số

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP B2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KINH TẾ (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn 2 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP B2 dành cho sinh viên khối ngành kinh tế. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách phần là Đại số tuyến tính và các bài toán ứng dụng trong kinh tế.Cuốn sách giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ [email protected] Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN 3 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 4 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MỤC LỤC PHẦN 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 2.1 2.2 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa ma trận II. Phân loại ma trận III. Các phép toán về ma trận IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận ĐỊNH THỨC I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông II. Tính chất của định thức III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa II. Các định lý III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo HẠNG CỦA MA TRẬN I. Định nghĩa II. Phương pháp tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Phương pháp Cramer II. Phuơng pháp Gauss-Jordan III. Hệ thuần nhất 7 7 14 21 26 29 33 33 37 5 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 6 BOÄ MOÂN TOAÙN HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA ĐẠO HÀM I. Biên tế II. Hệ số co giãn BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ I. Bài toán tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa II. Bài toán xác định mức thuế doanh thu III. Bài toán định mức thuế nhập khẩu IV. Bài toán định mức thuế xuất khẩu BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRONG KINH TẾ I. Bài toán tìm mức sản lượngtrong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo II. Bài toán tìm mức sản lượng trong điều kiện sản xuất độc quyền III. Bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG I Mô hình điểm cân bằng thị trường II. Tìm điểm cân bằng thị trường MÔ HÌNH INPUT-OUPUT I. Mô hình input – ouput mở II. Mô hình input – ouput đóng BÀI TẬP CHƯƠNG III ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 49 52 52 63 73 80 85 90 94 95 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM CHƯƠNG I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa về ma trận Ma trận cấp m × n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột. Ký hiệu: A, B, C,... ⎛ a11 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 … a2 j … a2 n ⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ ai1 ai 2 … aij … ain ⎟ ⎜ ⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 am 2 … amj … amn ⎠ aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A Có thể viết gọn ma trận ở dạng A = (aij)mxn hoặc A=[aij]mxn Tập tất cả các ma trận cấp m × n , có các phần tử là số thực thì ký hiệu là: M mxn ( )= {A = (a ) ij mxn | aij ∈ } II. Phân loại ma trận 1. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu θ . 2. Ma trận hàng là ma trận có dạng 1 hàng và n cột (còn gọi là véctơ hàng). A = ( a11 a12 … a1n ) = ( aij ) 1×n 3. Ma trận cột là ma trận có dạng m hàng và 1 cột (còn gọi là véctơ cột) 7 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM ⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ a A = ⎜ 21 ⎟ = ( aij )m×1 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ am1 ⎠ 4. Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số cột. ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜ ⎜… ⎜a ⎝ n1 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎟ a22 … a2 j … a2 n ⎟ … … … … …⎟ ⎟ = ( aij ) n×n ai 2 … aij … ain ⎟ ⎟ … … … … …⎟ an 2 … anj … ann ⎟⎠ Các phần tử a11, a22, a33, ….aii,…... ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, ….aii,….. a1n. được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. 5. Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp n, trong đó aij = 0; ∀i ≠ j , tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng không. ⎛ a11 0 ⎜ ⎜ 0 a22 ⎜… … A=⎜ 0 ⎜0 ⎜… … ⎜⎜ 0 ⎝0 8 … 0 … … 0 … … … … … aii … … … … … 0 … 0⎞ ⎟ 0⎟ …⎟ ⎟ 0⎟ …⎟ ⎟ ann ⎟⎠ BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 6. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu: I; E ⎛1 0 … 0 … 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 1 … 0 … 0⎟ ⎜… … … … … …⎟ I =⎜ ⎟ ⎜0 0 … 1 … 0⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 … 0 … 1⎠ 7. Ma trận tam giác trên, tam giác dưới a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó aij = 0 ____ ∀i > j; i, j = 1, n ⎛ a11 a11 ⎜ ⎜ 0 a22 ⎜… … A=⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎜… … ⎜0 0 ⎝ … a1 j … a1n ⎞ ⎟ … a2 j … a2 n ⎟ … … … …⎟ ⎟ … aii … ain ⎟ ⎟ … … … …⎟ … 0 … ann ⎟⎠ b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông, trong đó aij = 0 ____ ∀i < j; i, j = 1, n ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜… ⎜⎜ ⎝ an1 0 a22 … ai 2 … an 2 … … … … … … 0 0 … aii … anj … 0⎞ ⎟ … 0⎟ … …⎟ ⎟ … 0⎟ … …⎟ ⎟ … ann ⎟⎠ 9 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 8. Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí phải bằng nhau. và B = bij thì A = B nếu và chỉ Tức là: cho A = aij ( ) nếu ( ) m×n m ×n aij = bij ∀i, j ; i = 1, m ; j = 1, n . 9. Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo ngược Cho ma trận A = aij , ta đổi hàng thành cột và cột ( ) m×n thành hàng thì được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Ký hiệu: AT, Ac, A' ; AT = a ji ( ) n ×m ⎛1 4⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ VÍ DỤ 1 Cho A = ⎜ thì AT = 2 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 5 6⎠ ⎜ 3 6⎟ ⎝ ⎠ VÍ DỤ 2 Cho ⎛1 ⎜ ⎜ -2 A=⎜ 3 ⎜ ⎜ -1 ⎜4 ⎝ -2 3 -1 4 ⎞ ⎟ 2 5 4 -7 ⎟ 5 -1 2 6 ⎟ ⎟ 4 2 -3 8 ⎟ -7 6 8 1 ⎟⎠ thì A=A . Khi đó ta nói ma trận A là ma trận đối xứng. 10. Ma trận bậc thang và bậc thang chính tắc a) Ma trận bậc thang là ma trận luôn thoả mãn hai tính chất i) Các hàng khác không luôn ở trên các hàng bằng không ii) Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên. Chú ý: hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác không. VÍ DỤ 3 Các ma trận sau là ma trận bậc thang: T 10 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM ⎛ 1 0 -2 4 ⎞ ⎛ 2 0 -1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 -2 9 1 ⎟ 0 1 3 -4 ⎟ ; ⎜ ⎜ B = A= ⎜0 0 6 5⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 0⎠ ⎝0 0 0 0 ⎠ b) Ma trận bậc thang chính tắc là ma trận bậc thang có các phần tử khác không đầu tiên của mỗi hàng đều bằng 1, phần tử này gọi là phần tử chính, mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác sẽ bằng không. VÍ DỤ 4 Các ma trận sau là ma trận bậc thang chính tắc ⎛1 ⎜ 0 C=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 5⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 6⎟; 0 1 D=⎜ ⎜0 0 -4 ⎟ ⎟ ⎜ 7⎠ ⎝0 0 II. Các phép toán về ma trận 1. Phép cộng hai ma trận a) Định nghĩa: cho A = aij 4 0 3 0 0 0 1 0 5⎞ ⎟ 6⎟ -4 ⎟ ⎟ 0⎠ ( ) và B = ( b ) Khi đó, ma trận A ± B = C = ( c ) m×n ij m×n . ij m×n trong đó cij = aij ± bij , ∀i, j ; i = 1, m ; j = 1, n . VÍ DỤ 5 ⎛1 2⎞ ⎛5 6 ⎞ ⎛1+ 5 2 + 6 ⎞ ⎛ 6 8 ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 8 7 ⎠ ⎝ 3 + 8 4 + 7 ⎠ ⎝11 11⎠ VÍ DỤ 6 ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 5 6 ⎞ ⎛ 1 − 5 2 − 6 ⎞ ⎛ −4 −4 ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 8 7 ⎠ ⎝ 3 − 8 4 − 7 ⎠ ⎝ −5 −3 ⎠ b) Tính chất A +B = B + A A+θ =θ +A =A Nếu gọi - A = (-aij)mxn thì A + (-A) = θ (A + B) + C = A + (B + C) 11 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 2. Phép nhân ma trận với một số thực a) Định nghĩa: cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k ma trận kA = B = bij trong đó bij = k .aij , ∀i, j ; i = 1, m ; j = 1, n . ( ) Ví DỤ 7 m×n ⎛1 2⎞ ⎛ 2 4⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 2⎜⎜ ⎝3 4⎠ ⎝ 6 8⎠ b) Tính chất: k(A +B) = kA + kB; k ∈ R (k + h)A = kA + hA; k, h ∈ R k(hA) = khA; k, h ∈ R 3. Phép nhân hai ma trận a) Điều kiện để thực hiện phép nhân ma trận A với ma trận B là số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. và B = bij . b) Định nghĩa: cho A = aij ( ) ( ) m× p ( ) Khi đó, ma trận tích A.B = C = cij m×n p ×n trong đó n cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + … + ain bnj = ∑ aik bkj , ∀i = 1, m ; j = 1, n k =1 Nghĩa là lấy các phần tử ở hàng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng lại. VÍ DỤ 8 2.3 + 3.(−5) ⎞ ⎛ 8 −9 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 2.1 + 3.2 ⎟ .⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ −1 4 ⎠ ⎝ 2 −5 ⎠ ⎝ (−1).1 + 4.2 (−1).3 + 4.(−5) ⎠ ⎝ 7 −23 ⎠ VÍ DỤ 9 ⎛1 3 − 1 ⎞ ⎛ −1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 11 − 14 13 ⎞ ⎜ ⎟ .⎜ 3 − 4 6 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 4 0⎠ ⎜ −8 28 − 28 ⎠ ⎟ ⎝ 2 1 0 − ⎝ ⎠ Vì c11 =(-1).1+2.3+3.2=11; c21 =4.1+(-4).3+0.2=-8 12 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN c12 =(-1).3+2.(-4)+3.(-1)=-14; c22 =4.3+(-4).(-4)+0.(-1)=28 c13 =(-1).(-1)+2.6+3.0=13; c23 =4.(-1)+(-4).6+0.0=-28 c) Tính chất Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thì A.B ≠ B.A A(B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA k (AB) = (kA) B = A(kB) ; k ∈ R (AB)T = BT AT AI=IA=A IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Có 3 phép biến đổi sơ cấp cho hàng (hoặc cột) đối với ma trận 1. Nhân 1 hàng với 1 số k ≠ 0. 2. Đổi chỗ 2 hàng cho nhau. 3. Nhân 1 hàng với 1 số k ≠ 0 rồi cộng vào hàng khác. Nhận xét: Giống như biến đổi trên hệ phương trình VÍ DỤ 10 ⎛ 1 2 3 ⎞ 2 h1 ⎛ 2 4 6 ⎞ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎯⎯→ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VÍ DỤ 11 ⎛ 1 2 3 ⎞ h1 ↔h2 ⎛ 4 5 6 ⎞ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VÍ DỤ 12 ⎛ 1 2 3 ⎞ −4 h1 +h2 ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −3 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VÍ DỤ 13 ⎛ 1 2 3 ⎞ −3c1 +c3 ⎛ 1 2 0 ⎞ ⎜ 4 5 6 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 4 5 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 13 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 1.2. ĐỊNH THỨC I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông 1. Ma trận con của ma trận vuông Cho ma trận ⎛ a11 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 … a2 j … a2 n ⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎟ = ( aij ) A=⎜ n×n ⎜ ai1 ai 2 … aij … ain ⎟ ⎜ ⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n1 an 2 … anj … ann ⎠ Xét phần tử aij, ma trận thu được khi bỏ dòng i cột j được gọi là ma trận con cấp (n-1) × (n-1) tương ứng với phần tử aij. Ký hiệu: Mij 2. Định thức Định thức của ma trận A vuông là một số, ký hiệu det(A) hoặc |A|, được định nghĩa như sau: a) Định thức cấp 1: A = ( a11 ) ⇒ det A = a11 VÍ DỤ 1 A = ( −5) ⇒ det A = −5 b) Định thức cấp 2: ⎛a A = ⎜ 11 ⎝ a21 VÍ DỤ 2 a12 ⎞ ⎟ ⇒ det A = a11a22 − a21a12 a22 ⎠ ⎛1 2⎞ A=⎜ ⎟ ⇒ det A = 1.4 − 2.3 = −2 ⎝3 4⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ c) Định thức cấp 3: Cho A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ thì ⎜ ⎟ ⎜a a ⎟ a 33 ⎠ ⎝ 31 32 det A = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a23a32 a11 14 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM VÍ DỤ 3 3 4 −6 det A = −2 2 3 = 0 − 12 + 60 − 12 − 45 = −9 −1 5 0 Cách nhớ: dùng hình sao hoặc các đường thẳng song song II. Tính chất của định thức 1. Tính chất 1: det A = det AT 2. Tính chất 2: Đổi chỗ 2 hàng của một định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. 3. Tính chất 3: Định thức có 1 hàng là số 0 thì định thức bằng không. 4. Tính chất 4: Định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng không. 5. Tính chất 5: Định thức có 2 hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) thì bằng không a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a21 a22 a23 = − a11 a12 a33 a31 a32 a23 a11 a13 ; ka11 a33 a31 a12 ka12 a32 a13 ka13 = 0 a33 6. Tính chất 6: Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì bằng không. a11 ka11 − ta31 a31 a12 ka12 − ta32 a32 a13 ka13 − ta33 = 0 a33 7. Tính chất 7: Khi nhân tất cả các phần tử của 1 hàng với số k thì định thức đó được nhân lên k lần. a11 a12 a13 ka21 ka22 ka23 a31 a32 a33 a11 = k a21 a12 a22 a13 a23 a31 a32 a33 15 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 8. Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì có thể phân tích thành 2 định thức. a11 a21 a '12 + a ''12 a11 = a '22 + a ''22 a21 a '12 a11 + a '22 a21 a ''12 a ''22 9. Tính chất 9: Khi ta nhân một hàng với một số k khác không rồi cộng vào hàng khác thì định thức không thay đổi a11 a12 a13 a11 a21 a22 a23 = a21 + ka11 a31 a32 a33 a12 a13 a22 + ka12 a23 + ka13 a32 a33 a31 10. Tính chất 10: Ma trận có dạng tam giác thì định thức bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính a11 … a1n a11 … 0 = a11a22 ...ann ; 0 ann = a11a22 ...ann am1 amn III. Khai triển định thức theo hàng hoặc theo cột 1. Khai triển định thức theo hàng thứ nhất det A = ( −1) a11 det M 11 + ( −1) 1+1 1+ 2 + ( −1) 1+ n a12 det M 12 + … a1n det M 1n 2. Khai triển định thức theo hàng thứ i det A = ( −1) ai1 det M i1 + ( −1) i +1 + ( −1) i +n ain det M in 3. Khai triển định thức theo cột thứ j 16 i +2 ai 2 det M i 2 + … BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM det A = ( −1) a1 j det M 1 j + ( −1) 1+ j + ( −1) Chú ý: Aij = ( −1) n+ j i+ j 2+ j a2 j det M 2 j + … anj det M nj det M ij được gọi là phần phụ đại số của phần tử aij . VÍ DỤ 4 Tính định thức của ma trận sau bằng cách khai triển theo hàng một: ⎛ 2 1 3 0 ⎞ ⎜ −2 0 0 3 ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ 3 1 2 −2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 2 −1 4 ⎠ BÀI GIẢI A = ( −1) 1+1 0 0 3 −2 0 3 −2 0 3 1+ 2 1+ 3 2 1 2 − 2 + ( −1) 1 3 2 − 2 + ( −1) 3 3 1 − 2 2 −1 4 0 −1 4 0 2 4 +0 = -3 Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính định thức thì ta chọn khai triển theo hàng 2 vì hàng 2 có nhiều số không nhất. IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp Cơ sở Biến đổi sơ cấp Tác dụng Lý thuyết Tính chất 7 Nhân một hàng với số Định thức nhân lên k lần k≠ 0 Tính chất 2 Đổi chỗ 2 hàng cho nhau Định thức đổi dấu Tính chất 9 Nhân hàng r với số k rồi Định thức không đổi cộng vào hàng s 17 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM Chú ý: Dựa vào định nghĩa và tính chất trên thì thông thường để tính định thức ta có những cách sau: 1. Nên biến đổi về dạng đường chéo rồi tính định thức của nó 2. Biến đổi cho một hàng hoặc một cột có nhiều số không nhất rồi khai triển định thức theo hàng hoặc cột đó. Tính định thức sau VÍ DỤ 5 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 BÀI GIẢI 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 1 −2 h1 + h2 ;−3h1 + h3 4 1 2 3 1 2 0 -1 ( −2)h2 + h3 ( −7)h2 + h4 0 0 0 0 −4 h1 + h4 3 -2 4 -7 -4 4 4 36 2 0 −1 0 −2 3 4 −2 −8 −7 −10 0 −7 −10 −13 1 2 3 4 0 -1 -8 -10 =160. = 0 0 -4 4 0 0 0 40 VÍ DỤ 6 Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng thứ 3 0 0 a − 1 −1 b c − 1 −1 BÀI GIẢI 18 −1 −1 1 1 1 d 0 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 1 0 0 −1 −1 −1 −1 1 a b −1 −1 + ( −1) 3+ 3 c 1 d 0 −1 −1 0 = ( −1) 3+1 1 + ( −1) 0 a −1 −1 −1 1 0 −1 1 3+ 4 −1 1 + ( −1) d 0 1 c 0 − 1 −1 b 0 −1 −1 1 1 VÍ DỤ 7 Tính định thức sau 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 2 5 BÀI GIẢI 2 11 2 = 2 2 2 = 5 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 5 11 11 11 11 coä ng taá t caû caùc haøng vaø o haø ng 1 ( -1)h1 + laàn löôït vaøo caùc haøng coøn laïi 1 0 0 −1 −1 −1 = 3a − b + 2c + d − 1 −1 0 −1 −1 1 3+ 2 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 11 0 2 0 2 3 2 0 2 0 0 3 0 0 0 0 3 11 .2.33 = 297 2 19 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM VÍ DỤ 8 Tính định thức sau 1 0 −1 1 0 − 1 −1 1 2 1 −2 5 − 1 −1 1 0 BÀI GIẢI 1 0 −1 1 0 −1 −1 1 2 1 −2 5 −1 −1 1 0 = ( −1) 1+1 1 0 −1 0 −1 −1 0 1 0 0 −1 0 −2 h1 + h3 h1 + h4 −1 −1 1 1 1 0 3 =4 −1 0 1 VÍ DỤ 9 Tính định thức sau BÀI GIẢI 2 1 3 0 2 −2 0 0 3 −2 = 3 1 2 −2 1 −4 0 2 −1 4 2 1 −2 0 3 0 3 0 = 1(−1) 0 3 1 2 −2 2 −1 4 1 3 0 0 0 3 0 −1 −2 0 −7 4 1+ 2 20 1 1 3 1 −2 0 3 1 −1 −2 = −3 −4 −7 4