Tài liệu Giải phương trình vô tỉ ôn thi hsg toán 9

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶I ph¬ng tr×nh v« tØ 1.Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh. 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 = 4 – 2x – x2 Gi¶i: VÕ tr¸i : 2 2 3  x  1  4 + 5  x  1  9  4  9 = 5 VÕ ph¶i : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5. VËy pt cã nghiÖm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = 5. x+ 1 = 0  x = -1. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. 3 x  2  x  1  3 Gi¶i : + §iÒu kiÖn : x≥ -1 Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh. Víi x > 3 th× 3 x  2 > 1 ; x  1 >2 nªn vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lín h¬n 3. Víi -1 ≤ x < 3 th× 3 x  2 < 1 ; x  1 < 2 nªn vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh nhá h¬n 3. VËy x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3  4x + 4 x  1 =-16x2-8x+1 (1) Gi¶i §K:  1  x  3 (*) Ta cã  4 4 3  4x  4x 1  2  3  4 x  2 (3  4 x)(1  4 x)  1  4 x  4  2 (3  4 x)(1  4 x)  4  3  4 x  1  4 x  2 (2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2  2 (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã:  3  4 x  1  4 x  2 3  4 x  2 (3  4 x)(1  4 x)  1  4 x  4   (1)   2   16 x  8x  1  2 16 x 2  8 x  1  0    (3  4 x)(1  4 x)  0    1 x   4  3  x  4   1   x   4    1 x   4  VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x   1 4 LuyÖn tËp Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1)  4 x  1  4 x 2  8 x  3  4 x 2  4 x x 1 4 (tho¶ m·n(*)) 2) x 2  2x  5  x 1  2 2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô VD1:Gi¶i phu¬ng tr×nh: 1 x  8 x  Gi¶i C1: §K:  1  x  8 §Æt t  1  x  t 2  8 x  1 x  8  x  2 (1  x )(8  x )  (1  x )(8  x )  3 (®k t  0 ) (1  x )(8  x) t 9 2 2 t2 9 3 2  t 2  2t  15  0 Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: t t  5  t  3 Víi t=3, ta cã: 1 x  8 x  3  1 x  8  x  2  (1  x )(8  x )  9 (1  x )(8  x )  0  x  1 (tho¶ m·n (*))  x  8 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ:x1=-1 vµ x2=8 C2: §K:  1  x  8 §Æt u  1  x   v  8  x  u 2  1  x   2 v  8  x   u2  v2  9 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: uv  0  u  v  3  uv  20  u  v  7 ( u, v  0 ) (u  v) 2  2uv  9 u 2  v 2  9   u  v  uv  3 2(u  v)  uv  6  6  uv  2 uv  0   2uv  9 uv(uv  20)  0      uv  20    2  6  uv   6  uv  6  uv u  v  2  uv    2  u  v  2  (lo¹i) Víi u  v  3 u  0 ta cã:   uv  0 v  3 hoÆc u  3 1  x  9 +)   x8  v  0 8  x  0 u  3  v  0 u  0 1  x  0 +):    x 1  v  3 8  x  9 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm: x1=1 vµ x2=8 VD 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( 4 x  1) x 2  1  2x 2  2x  1 Gi¶i Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh: ( 4 x  1) x  1  2( x  1)  2 x  1 (1) §Æt t  x 2  1 (®k t >1), ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: (4x-1)t=2t2+2x-1  2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2) Coi (2) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t, khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) cã: 2 2   ( 4 x  1) 2  8( 2 x  1)  ( 4 x  3) 2  0, x  R Ph¬ng tr×nh (2) Èn t cã c¸c nghiÖm lµ: t1=2x-1 vµ t2= 1 (lo¹i) 2  2 x  1  0 x   2  1  2x  1   x 2  1  (2 x  1) 2 3x 2  4x  0   1 Víi t1=2x-1, ta cã: x2  1 x  2    x  0  4  x   3 x 4 3 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ: x  4 3 Lu ý : ph¬ng tr×nh trªn cã thÓ gi¶i theo c¸ch ®a vÒ ph¬ng tÝch VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 2 x  x 1  1 Gi¶i §K: x  1 (*) u  3 2  x  §Æt  v  x  1  u 3  2  x   2 v  x  1  , v0  u3  v2  1 Khi ®ã ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: u  v  1  3 2 u u  v  1 3 u  0   (1  u )  1  u  u  2u  0  u  1  u  2  2 3 2 Víi u=0, ta cã: 3 2  x  0  x=2 Víi u=1, ta cã: 3 2  x  1  2  x  1  x  1 Víi u=-2, ta cã: 3 2  x  2  2  x  8  x  10 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã ba nghiÖm lµ:x=1,x=2,x=10 VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 + 3x + 2 x 2  3x  9 = 33 (*) Gi¶i: * 2x2 + 3x +9 + 2 x 2  3x  9 - 42 = 0 §Æt y = 2  3  27  2 x  3x  9 (y > 0 v× 2x + 3x +9 = 2  x     > 0) 2 4  2 2 Ta cã y2 + y – 42 = 0 (y – 6 ) ( y + 7 ) = 0 y1 = 6 ; y2 = -7 (Lo¹i) 9 Suy ra 2 x 2  3x  9 = 6 2x2 + 3x – 27 = 0 (x – 3)(x + ) = 0 2 x1 = 3 ; x2 = - 9 2 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) x 2  x  5  5 LuyÖn tËp 2) ( x  3)( x  1)  4(( x  3) 3) x 2  3x  3  x 1  3 x3 x 2  3x  6  3 3. Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng D¹ng ph¬ng tr×nh: D¹ng 1: f ( x)  g ( x)  g ( x)  0  f ( x)  g 2 ( x )  D¹ng 2:  g ( x)  0 g ( x)    f ( x)  g ( x) f ( x)  VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i x  4  0  §K: 1  x  0 1  2 x  0  x4  4  x  1 2 1 x  1  2x (*) Víi ®k(*) ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh: 1  2 x  1  x  x  4  1  2 x  1  x  (1  2 x )(1  x )   x4 (1  x )(1  2 x )  2 x  1 2 x  1  0  2 (1  x)(1  2 x)  (2 x  1) 1   1 x  2 x      2 x  0 2 x 2  7 x  0     x  7   x0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=0 (tho¶ m·n (*)) VD2:Gi¶i ph¬ng tr×nh x 1 2 Gi¶i Ta cã:     x2  x 1  2 x 1 2 x22 ( x2  x 1  2 x  2 1  x  2  1) x  2 1  x2  x  2 1 2 - ( x22 x  2  1) x  2 1  1  x  2 1 x  2 1 2 x  2 1  1 =1 x  2 1  x  2  ( x  2  1) 2  x  2  x  2 1 2 x  2  x2  1 1 9  x2  x 2 4 4 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ: x  9 4 LuyÖn tËp Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 3  x 6  x  3 2) x( x  1)  x( x  2)  2 x 3) 2 x 2  8 x  6  x 2  1  2 x  2 2 4. Ph¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ VD1:t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt x  2 1  1 4 x  x5  m Gi¶i: §iÒu kiÖn cÇn: NhËn thÊy nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x0 th× (-1-x0 ) còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Do ®ã ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt th× x 0  1  x 0  x0   x0   1 2 1 2 Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta ®îc: §iÒu kiÖn ®ñ: Víi m  3 2 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: 4 x  m3 2 x5 3 2 4  x  0   x  5  0  2 ( 4  x  x  5 )  18  5  x  4   2 (4  x)( x  5)  9   5  x  4  2 4 x  4 x  1  0  5  x  4   1 x   2  x  4    x  5  4  x  2 (4  x)( x  5)  x  5  18  5  x  4  4(4  x)( x  5)  81 x 1 2 VËy víi m  3 2 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt Lu ý: ph¬ng tr×nh trªn cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè