Tài liệu Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Lời nói đầu Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai lĩnh vực đó là: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết toán học. Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác. Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên cứu về đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường”. Dưới sự giúp đỡ tận tình, sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng. Với sự say mê toán, sự tích cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được đề tài nghiên cứu này Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận Nội dung gồm: Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo khoa toán, các thầy cô tổ bộ môn giải tích, các bạn sinh viên khoa toán và tập thể các bạn sinh viên 1 lớp k32 cử nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trình hoàn thành bản khóa luận này Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có hạn nên đề tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót. Em mong được sự thông cản của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên. Hà nội ngày 5 tháng 4 năm 2010 2 Chương 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1: Sai phân 1.1.1 Dãy số Gọi A là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên A  1,2...., k . Một hàm số x xác định trên tập A được gọi là một dãy số hữu hạn. Tập giá trị của dãy số hữu hạn này là  x 1 ; x  2  ;...; x  k  . Người ta thường kí hiệu các giá trị đó là x 1  x1; x  2  x2 ;...; x  k   xk và viết dãy số đó dưới dạng x1, x2 ,..., xk Một hàm số x xác định trên tập N  các số tự nhiên khác không được gọi là dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số. Tập giá trị của dãy số x gồm vô số phần tử x 1  x1; x  2   x2 ;...; x  n   xn ... . Người ta thường viết dãy số dưới dạng x1 , x2 ,..., xn, ... Dãy số x1, x2 ,..., xn ,... được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương N 0 sao cho xn  c với mọi n  N0 . Ở đây c là một hằng số nào đó (và gọi là hằng số dừng) Dãy số x1, x2 ,..., xn ... được gọi là: Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho xn  M với mọi n  1,2,..... Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn  m với mọi n  1,2,... Dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới 3 1.1.2. Giới hạn của dãy số Ta nói rằng dãy số  xn  có gới hạn là a nếu với mọi số dương  cho trước (nhỏ hơn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n  N thì xn  a   . Ta viết lim xn  a hay viết là lim xn  a n  1.1.3. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số: Cho dãy số  xn  tổng n số hạng đầu tiên của dãy số được kí hiệu là sn  x1  x2  ...  xn  i n xi 1.1.4. Công thức Moarvơ Cho số phức:   x  iy  r  cos  i sin   i 2  1; r    x 2  y 2 y x   arctg ; thì số phức liên hợp   x  iy  r  cos -isin  Ta có:  n  r n  cos -isin   r n  cosn -isinn  (công thức Moarvơ) n 1.1.5. Sai phân a. Khái niệm sai phân: Giả sử f : R  R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0 ta gọi  0 f  x   f  x  là sai phân cấp 1 của hàm số y  f  x  1 f  x   f  x  h   f  x  là sai phân cấp 1 của hàm số y  f  x   2 f  x     1 f  x    f  x  h   f  x   f  x  2h   2 f  x  h   f  x  4 là sai phân cấp hai của hàm số y  f  x  Quy nạp: n f  x      n1 f  x   n  N   là sai phân cấp n của hàm số y  f  x  xi f  xi  f  xi  x4 f 4 x3 f 3 f 4 x2 f 2 f 3  2 f 4 x1 f 1 f 2  2 f 3 3 f 4 x0 f0 f 1 2 f2 3 f 3  4 f 4 x1 f1 f 0  2 f 1 3 f 2  4 f 3 5 f 4 x2 f2 f1  2 f0 3 f 1  4 f 2 5 f 3  6 f 4 x3 f3 f 2  2 f1 3 f 0  4 f 1 5 f 2  6 f 3 x4 f4 f3 2 f2 3 f1  4 f0 5 f 1  6 f 2  2 f  xi   3 f  xi   4 f  xi   5 f  xi   6 f  xi  Nhận xét: Bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và dòng trên của cột liền trước.. Ví dụ: f4  f3  f 4 1.1.6. Tính chất sai phân a. Sai phân  là toán tử tuyến tính xác định trên không gian X các hàm số xác định trên R , nghĩa là với mọi  ,   R , với mọi hàm số f , g thì:   f   g   f  g 5 Chứng minh: Ta có:   f   g  x    f   g  x  h    f   g  x    f  x  h   g  x  h   f  x    g  x     f  x  h   f  x     g  x  h   g  x   f  x   g  x  b. Nếu c  f thì c  0 Chứng minh: c  c  c  0   c  0 c.  n  x n   n!hn m  xn   0  m>n  Chứng minh:   xn    x  h   xn n  xn  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2  ...  hn  x n  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2  ...  h2  n  n  1 2 n2   2  x n     x n     nhx n1    h x   ...    h n  2   Do đó:  n  x n   n!hn rõ ràng n  x n   n!hn  const Ta được:  m  x n    mn n  xn   0   m>n    d. Nếu p  x  là đa thức bậc n thì: hi i p  x   p  x  h   p  x    p  x  i 1 i ! n Chứng minh: Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức p  x  h  ta được: 6 h 1 h 2  2 hn  n p  x  h  p  x  p  x  p  x   ...  p  x i! 2! n! (do p  x  là đa thức bậc n nên m  n ta có p    0 ) m Khi đó: p  x   p  x  h   p  x  h 1 h 2  2 hn  n  p  x  p  x   ...  p  x 1! 2! n! n  i 1 hi i p  x i! n e. f  x  nh    C i n i f  x  i 0 Chứng minh: f  x   f  x  h   f  x  f  x  h   f  x   f  x   1    f  x  Suy ra f  x  2h   f  x  h  h   1    f  x  h  2  1    f  x    C i 2i f  x  2 i 0 f  x  nh   f  x  h   n  1 h  Quy nạp với n:  1    f  x  n n   C i n i f  x  i 0 f. mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số n  f  x     1 C i n f  x   n  i  h  n i i 0 7 Chứng minh: Ta có:  n f  x   1     1 f  x  n    1 C i n 1    i n i f  x i 0 n  ni  i    1 C i n   C k ni  k f  x   i 0  k 0  n =   1 C i n f  x   n  i  h  i i 0 g. Giả sử f  x   C n  a, b  và  x, x  nh   a, b , khi đó: f  x   f n  x   nh  với    0,1 h Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp: Với n  1 ta có: f  x   f '  x   h  là công thức số gia hữu hạn. h Vậy mệnh đề đúng với n  1 Giả sử mệnh đề đúng với n  k  k  1 k f  x  Tức là  f k  x   kh  đúng k h Ta chứng minh mệnh đề đúng với n  k  1 Tức là ta phải chứng minh:  k 1 f  x   f k 1  x    k  1 h  k 1 h Hay  k 1 f  x   h k 1  f  x    k  1   8 n 1 do h  0 Thật vậy: k 1 f  x    k f  x     hk f k  x   ' kh   (trong đó  '   0,1 ). Áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f  k  x   ' kh  Ta có: k 1 f  x   hk f  k  x   ' kh  (vì  là toán tử tuyến tính)  hk  f k  x   ' kh  h   f k  x   ' kh    hkh f  k 1  x   ' kh   '' h  (do mệnh đề đúng với n  1 ). Trong đó  ', ''   0,1 Đặt    ' k   '' k 1 ,   0,1 k 1 f  x   hk 1 f k 1  x    k  1 h  Ta được : Hệ quả: n f  x  Nếu f  x   C  a, b  khi h đủ nhỏ ta có f  x   hn n n Nhận xét:Với hàm f  x  xác định trên tập số nguyên Z và coi rằng h 1 kí hiệu yk  f  x  ; k  0,1,2.... Ta có: n  y   y i 1 i 2  y1    y3  y2   ...   yn1  yn    yn1  y1  Với yi  yi 1  yi  f  i  1  f i   f i  h   f i   h  1 n Vậy :  yi  yn1  y1 i 1 9 Sai phân cấp i của đa thức bậc n là: Hằng số, khi i  n ( theo tính chất b ) Đa thức bậc n  i khi i - Xem thêm -