Tài liệu Functional caculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn tốt nghiệp do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP LỜI CẢM ƠN Hai năm qua thật sự là khoảng thời gian không hề dễ dàng đối các bạn sinh viên mới ra trường khi phải cố gắng hoàn thành tốt các nhiệm vụ ở cơ quan và công việc học tập, kể cả tôi. Có thời điểm công việc nhiều đến nỗi tưởng chừng sẽ không thể tiếp tục con đường học vấn. Nhưng, "Khó khăn rồi sẽ qua đi. Giống như cơn mưa ngoài cửa sổ, có tầm tã cỡ nào rồi cuối cùng cũng sẽ trời quang mây tạnh". Để vượt qua những khó khăn ấy, trên con đường tôi đi luôn có sự đồng hành của gia đình, Thầy Cô và bạn bè. Tại trường Đại học Sư Phạm TP. HCM, tôi được học tập rất nhiều điều bổ ích về chuyên môn, và đôi lúc được mở mang thêm về những kiến thức xã hội. Trên hết, tôi cảm nhận được sự nhiệt tình, tận tâm của các Thầy Cô giảng viên, các Thầy Cô ở phòng sau đại học, đội ngũ nhân viên của trường nói chung và các Thầy Cô khoa Toán - Tin học nói riêng. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy Cô vì sự nhiệt tình, tận tâm này. Thời gian thực hiện luận văn có lẽ là thời gian khó khăn và đầy áp lực đối với riêng tôi. Nhưng may mắn thay, bên tôi luôn có sự ủng hộ, động viên của gia đình, người thân và bạn bè. Cảm ơn Cha, Mẹ, Anh em trai là chỗ dựa tinh thần vững chắc, luôn bên tôi những lúc khó khăn, bế tắc nhất của cuộc đời. Cảm ơn các bạn của tôi đã ngồi nghe những tâm sự nhàm chán, đã để tôi giải tỏa những căng thẳng mà không phải do mình gây ra. Cảm ơn các anh chị, bạn bè đồng môn đã cùng tôi bước qua hai năm học đầy gian nan và nhiều thử thách. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô ở trường THPT Chuyên Tiền Giang đã luôn tạo điều kiện tốt nhất để tôi tiếp tục con đường học vấn. Cảm ơn Thầy Nguyễn Trọng Nghĩa với những lời dạy, kinh nghiệm vô cùng quý báu về cách viết và bảo vệ luận văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành nhất đến Thầy hướng dẫn khoa học, TS. Trần Trí Dũng, giảng viên khoa Toán - Tin học, trường Đại học Sư Phạm TP. HCM đã tận tình hướng dẫn, có những định hướng, góp ý vô cùng quý báu để tôi có thể điều chỉnh luận văn kịp thời. Nhân đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tác giả của những tài liệu đã tham khảo. Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã dành nhiều nỗ lực, tâm huyết và hết sức nghiêm túc trong nghiên cứu. Tuy nhiên, đề tài này thật sự mới mẻ và do những hạn chế về mặt kiến thức, thời gian cũng như khả năng tiếp cận nguồn tư liệu, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô và các bạn đồng môn. Một lần nữa, xin cảm ơn tất cả mọi người, chúc mọi người thật nhiều sức khỏe và thành công trong cuộc sống! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Tổng trực tiếp của các không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Toán tử không bị chặn 10 2.1 Toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Functional calculus cho toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Functional calculus cho toán tử quạt 16 3.1 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 The natural functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 3.5 3.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy . . . . . . . 30 3.3.2 The natural functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Một số tính chất khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.4 Luật hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1 Trường hợp A đơn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.2 Trường hợp 0 ∈ ρ(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tính bị chặn và xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6 3.5.1 Xấp xỉ quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.2 Tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.3 Tính xấp xỉ của các hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.4 Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tính bị chặn của H ∞ -Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.1 Định lý về tính bị chặn của Functional calculus . . . . . . 59 3.6.2 Tính duy nhất của Functional calculus . . . . . . . . . . . 61 Kết luận và kiến nghị 63 Tài liệu tham khảo 64 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU I Toán tử đồng nhất A Bao đóng của toán tử A A−1 Toán tử khả nghịch của toán tử A An Lũy thừa tự nhiên của toán tử A C∞ Mặt phẳng phức mở rộng D(A) Miền xác định của toán tử A R(A) Miền giá trị của toán tử A N (A) Hạt nhân của toán tử A C(X, Y ) Không gian các toán tử đóng từ X vào Y C(X) Không gian các toán tử đóng từ X vào X L(X, Y ) Không giác các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L(X) Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X ρ(A) Tập giải thức của toán tử A σ(A) Phổ của toán tử A σ̃(A) Phổ mở rộng của toán tử A R (·, A) Ánh xạ giải thức của toán tử A Sω Hình quạt với góc 2ω đối xứng qua trục thực Sω0 (0, R) Tập hợp Sω0 ∩ B(0, R) Sω0 (ε0 , ∞) Tập hợp Sω0 \B (0, ε0 ) O (Ω) Không gian các hàm chỉnh hỉnh trên tập mở Ω ⊂ C Oc (Sϕ ) Không gian các hàm chỉnh hình trên Sϕ và bị chặn trên tập Sϕ ∩ {r ≤ |z| ≤ R} với 0 < r < R < ∞ A (Sϕ ) A [Sω ] Lớp các hàm The natural functional calculus cho các toán tử quạt [ A (Sϕ ) ϕ>ω B (Sϕ ) Lớp các hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt đơn ánh B [Sω ] [ B (Sϕ ) ϕ>ω C (Sϕ ) C [Sω ] Lớp các hàm The natural functional calculus cho các toán tử quạt khả nghịch [ C (Sϕ ) ϕ>ω R∞ (Ω) Không gian các hàm hữu tỷ bị chặn trên Ω R∞ 0 (Ω) Không gian các hàm hữu tỷ bị chặn trên Ω và triệt tiêu tại ∞ H ∞ (Ω) Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên tập mở Ω ⊂ C∞ C (Ω) Không gian các hàm liên tục trên không gian compact địa phương Ω C0 (Ω) Không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ∞ trên không gian compact địa phương Ω ◦ A(K) Không gian các hàm liên tục trên K ⊂ C∞ và chỉnh hình trên K ωA Góc phổ của toán tử quạt A Aε Xấp xỉ quạt của toán tử A DR (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz trên góc quạt Sϕ [ DR [Sϕ ] DR (Sϕ ) ϕ>ω DR0 (Sϕ ) Không gian các hàm chỉnh trên Sϕ ∩ {0} và tắt dần đều tại ∞ DRext (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz mở rộng trên góc quạt Sϕ [ DRext [Sϕ ] DRext (Sϕ ) ϕ>ω ψt Phép dãn của hàm ψ với hệ số t dương ψa,b Hàm số được sử dụng trong kĩ thuật xấp xỉ McIntosh Sect (ω) Lớp các toán tử quạt với góc ω trên không gian Banach X τ Hàm ΛA Toán tử τ (A)−1 = (1 + A)A−1 (1 + A) Γϕ Biên định hướng dương của góc quạt Sϕ Γϕ,δ Biên định hướng dương của của Sϕ ∪ Bδ (0) C (f, ω 0 ) Hằng số đặc trưng, xác định bởi f ∈ DRext (Sϕ ) và ω 0 < ϕ z (1 + z)2 Mở đầu Xét trên không gian Banach X = C[0, 1] các hàm liên tục nhận giá trị phức trên khoảng đơn vị. Mỗi hàm f ∈ X xác định một toán tử tuyến tính bị chặn Mf = (g 7→ f g) : C[0, 1] → C[0, 1] trên X gọi là toán tử hợp thành liên kết với f . Phổ của nó là miền giá trị
f [0, 1] của f . Cho một hàm liên tục tùy ý ψ : σ Mf → C, ta xét toán tử hợp thành Mψ◦f liên kết với ψ ◦ f . Điều này cho ta một đồng cấu đại số (algebra homomorphism)
Φ = ψ 7→ Mψ◦f : C σ Mf

→ L(X).


Do ta có Φ(z) = Mf và Φ (λ − z)−1 = R λ, Mf với λ ∈ ρ Mf và toán tử Φ (ψ) đơn giản là hợp thành bởi ψ (f (z)), ta nói rằng Φ (ψ) thu được bằng cách "chèn" toán tử Mf vào hàm ψ và viết ψ (f (z)) = Φ (ψ). Tổng quát ví dụ này thành không gian Banach X = C0 (R), ta nhận thấy rằng tính bị chặn của toán tử không phải là yêu cầu cốt yếu. Ý tưởng trực giác về Functional calculus là mỗi toán tử A đóng trên không gian Banach X tương ứng với một đại số của các hàm phức trên phổ của nó, trong đó toán tử A có thể được chèn một cách hợp lý. Tính hợp lý ở đây có nghĩa là ít nhất ψ(A) có ý nghĩa mong đợi vào điều ta mong muốn, ví dụ nếu λ ∈ ρ(A) thì ta mong muốn (λ − z)−1 (A) = R(λ, A) hoặc nếu A sinh ra một nửa nhóm (semigroup) T thì etz (A) = T (t). Ánh xạ thu được ψ 7→ ψ(A) được gọi là một Functional calculus với A. Nhưng đáng tiếc, mãi cho đến năm 2003 không có sự chính thức hóa tổng thể của ý tưởng này. Điều tốt 1 2 nhất thu được cho đến thời điểm đó là sự xây dựng từng trường hợp. Ví dụ, nếu ta biết rằng toán tử A thực chất là một toán tử hợp thành thì việc xây dựng Functional calculus là điều đơn giản. Theo một phiên bản mới nhất về định lý phổ, nếu A là toán tử thông thường trên không gian Hilbert thì ta cũng có thể xây dựng Functional calculus cho A. Nếu nó không ở vị trí may mắn như vậy, thì tùy thuộc vào một số tính chất nhất định của A ta sẽ đưa ra sự xây dựng của ψ(A) như 1 ψ(A) = 2πi Z ψ(z)R(z, A)dz. T Một ví dụ cổ điển theo phương pháp này khi A là một toán tử bị chặn và ψ là một hàm chỉnh hình được định nghĩa trên tập mở của σ(A). Khi đó, tích phân Cauchy là hoàn toàn hợp lý. Functional calculus đạt được gọi là phép tính Dunford-Riesz, xem [[5], Chapter VII, §4]. Điều này có thể tổng quát hoá tới trường hợp khi tập C\dom (ψ) tiến tới phổ của A. Ta có thể giữ lại định nghĩa tích phân Cauchy bằng cách đòi hỏi một số tính chất mạnh hơn về tích phân cho ψ với điều kiện ta biết một số thứ về sự phát triển của giải thức (resolvent) của A trong lân cận các điểm tới hạn. Một ví dụ về điều kiện phát triển (growth condition) được cho bởi khái niệm “hình quạt” (sectoriality) của một toán tử. Một toán tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt Sω với số kλR (λ, A)k bị chặn đều bên ngoài hình quạt lớn hơn. Các toán tử này đóng vai trò nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic. Vào những năm 1960, các toán tử bậc phân số (fractional powers) Aα (với α ∈ C) của toán tử quạt A được định nghĩa (xem [14], [3], [22], [13]) và đã được nghiên cứu sâu rộng kể từ đó. Chúng có tầm quan trọng to lớn trong lý thuyết về các phương trình non-automomous evolution (xem [15], [19]). Bậc thông thường liên kết bậc phân số với lý thuyết nội suy (xem [20], [18]) và chúng đóng vai trò quan trọng trong “Vấn đề cực đại chính quy” ([7]). Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa có sự phát triển về lý thuyết bậc phân số vào Functional calculus, thậm chí cả trong các công trình nghiên cứu gần đây [18]. Mọi thứ trở nên khả thi hơn khi The 3 natural functional calculus về các toán tử quạt được đưa ra. McIntosh đã phát triển Functional calculus này trong nghiên cứu của ông ấy trên các toán tử tích phân Cauchy có dấu trên đường cong Lipschitz (xem [16], [2]). Mục tiêu chính là để thu được các toán tử không bị chặn thông qua Functional calculus, một mục tiêu không phổ biến ở thời điểm đó. McIntosh nhận xét [16] rằng lý thuyết về bậc phân số có thể được sửa lại bởi Functional calculus của ông ấy. Tuy nhiên, trọng tâm chính trong nghiên cứu của ông ấy là tính bị chặn của H ∞ − calculus, với sự giúp đỡ bởi ý tưởng của Yagi (xem [21]), có thể được chứng minh là tương đương với đánh giá bậc hai trong không gian Hilbert. Trọng tâm này vẫn nằm trong các nỗ lực tiếp theo để khái quát hoá các kết quả từ không gian Hilbert đến không gian Lp và không gian Banach tổng quát, như trong [4], [6], [8] và [9]. Với nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng, cùng với tình hình nghiên cứu như hiện nay, tôi đã quyết định chọn đề tài “Functional calculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt” với các nội dung chính được liệt kê bên dưới. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này tôi trình bày sơ lược một số kiến thức nền tảng liên quan đến đề tài như: tổng trực tiếp của các không gian Banach, đại số Banach cùng với các mệnh đề cần cho việc xây dựng lý thuyết về Functional calculus cho các toán tử quạt. Chương 2. Functional calculus cho các toán tử không bị chặn. Trong chương này tôi trình bày về Functional calculus cho các toán tử không bị chặn. Các nội dung chủ yếu như sau: • Toán tử đóng. • Functional calculus cho các toán tử đóng. Chương 3. Functional calculus cho các toán tử quạt. Trong chương này, tôi trình bày Functional calculus cho các toán tử quạt thông qua các nội dung: 4 • Toán tử quạt. • Không gian các hàm chỉnh hình. • The natural functional calculus. • Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ. • Tính bị chặn và xấp xỉ. • Tính bị chặn của H ∞ − calculus. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng trực tiếp của các không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Tổng trực tiếp của hai không gian Banach X1 , X2 là một không gian Banach X với chuẩn được định nghĩa như sau X = X1 ⊕ X2 = {(u1 , u2 ) : ui ∈ Xi } kuk = k(u1 , u2 )k = ku1 kX1 + ku2 kX2 . Định nghĩa 1.1.2. Cho hai không gian Banach X1 , X2 , hai toán tử Tj ∈ L (Xj ) và tổng trực tiếp X = X1 ⊕ X2 . Khi đó, toán tử của tổng trực tiếp của T1 , T2 được định nghĩa là T u = (T1 u1 , T2 u2 ) . Ta cũng có thể viết    T1 0 u   1 . Tu =  0 T2 u2 Mệnh đề 1.1.3. (Trích [17], Trang 7) Cho hai không gian Banach X1 , X2 , hai toán tử Tj ∈ L (Xj ) và T là toán tử tổng trực tiếp của T1 , T2 . Khi đó σ (T ) = σ (T1 ) ∪ σ (T2 ) và f (T ) = f (T1 ) ⊕ f (T2 ) . 5 6 Chứng minh. Xem trong [17], trang 7. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian Banach X và Y, Z ⊂ X . Khi đó ta viết X = Y ⊕ Z nghĩa là (i) Y , Z là các không gian con tuyến tính. (ii) Y ∩ Z = 0. (iii) Với mỗi x ∈ X , tồn tại y ∈ Y , z ∈ Z và C > 0 sao cho x = y + z với kyk + kzk ≤ C kxk . 1.2 Đại số Banach Định nghĩa 1.2.1 (Đại số Banach). Cho X là không gian Banach và giả sử rằng có một ánh xạ · : X × X → X, (u, v) 7→ uv thỏa mãn (i) u (vw) = (uv) w (ii) u (v + w) = uv + uw (iii) (v + w) u = vu + wu (iv) λ (uv) = (λu) v = u (λv) (v) kuvk ≤ kuk kvk với mọi u, v, w ∈ X và λ ∈ C. Khi đó, X được gọi là một đại số Banach. Mệnh đề 1.2.2. (Trích [17], Trang 9) (i) Ánh xạ X × X → X, (u, v) 7→ uv liên tục. (ii) uk ≤ kukk . Chứng minh. Xem trong [10], trang 9. 7 Bổ đề 1.2.3. (Trích [10], Trang 139) Cho A là một toán tử đa trị đóng trên không gian Banach X và T ∈ L(X). Khi đó AT đóng. Chứng minh. Lấy (xk , yk ) ∈ AT với xk → x và yk → y . Khi đó, tồn tại zk sao cho (xk , zk ) ∈ T và (zk , yk ) ∈ A. Do T ∈ L(X) nên ta có zk = T xk → T x. Do A đóng nên z ∈ D(A) và (z, y) ∈ A. Do đó, (x, z) ∈ AT . Bổ đề 1.2.4. (Trích [10], Trang 140) Đẳng thức I − I + λA−1  −1 = λ (λ + A)−1 đúng với mọi λ ∈ C. 1 λ Chứng minh. Với λ = 0, khẳng định đúng. Với λ 6= 0. Nếu x, y ∈ X và z = y , ta thu được (x, y) ∈ λ (λ + A)−1 ⇔ (x, z) ∈ (λ + A)−1 ⇔ (z, x) ∈ (λ + A) ⇔ (z, x − λz) ∈ A ⇔ (x − λz, z) ∈ A−1 ⇔ (x − λz, λz) ∈ λA−1 ⇔ (x − λz, x) ∈ I + λA−1 ⇔ (x, x − λz) ∈ I + λA−1  ⇔ (x, λz) ∈ I − I + λA−1  −1 −1 ⇔ (x, y) ∈ I − I + λA−1  −1 . Bổ đề 1.2.5. (Trích [10], Trang 140) Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trên không gian Banach X . Tập giải thức ρ(A) là tập con mở của C. Chính xác hơn, với µ(A) ∈ ρ(A) ta có dist (µ, σ(A)) ≥ kR (µ, A)k−1 và R(λ, A) = ∞ X (µ − λ)k R (µ, A)k+1 |λ − µ| < kR (µ, A)k−1 .
k=0 Ánh xạ giải thức R (·, A) : ρ(A) → L(X) chỉnh hình và ta có R(λ, A) − R (µ, A) = (µ − λ) R (µ, A) R (λ, A) đúng với mọi λ, µ ∈ ρ(A). Trong trường hợp A ∈ L(X) ta có ∅ 6= σ(A) ⊂ {z ∈ C ||z| ≤ kAk}, trong đó P∞ R (λ, A) = k=0 λ−(k+1) Ak với |λ| > kAk. 8 Chứng minh. Xem trong [10], trang 140. Mệnh đề 1.2.6. (Trích [10], Trang 142) Cho A là một toán tử đa trị thỏa ρ(A) 6= ∅, và T ∈ L(X) là đơn ánh. Nếu T giao hoán với A thì T −1 AT = A. Chứng minh. Do T giao hoán với A nên T A ⊂ AT . Khi đó A = T −1 T A ⊂ T −1 AT . Chiều ngược lại tương đương với mệnh đề: Nếu (T x, T y) ∈ A thì (x, y) ∈ A với mọi x, y ∈ X . Lấy λ ∈ ρ(A). Từ (T x, T y) ∈ A suy ra (T x, T (y − λx)) = (T x, T y − λT x) ∈ (A − λ). Điều này cho ta R(λ, A)T (λx−y) = T x. Do T giao hoán với R(λ, A) nên T R(λ, A)(λx− y) = T x. Do tính đơn ánh của T nên R(λ, A)(λx − y) = x hay (x, y) ∈ A. Chứng minh hoàn tất. Mệnh đề 1.2.7. (Trích [10], Trang 142) Cho A là một toán tử đa trị đóng trên không gian Banach X . Ta có σ̃ (λA) = λσ̃(A), σ̃(A + λ) = σ̃(A) + λ, và σ̃ A−1 =
đúng với mọi λ ∈ C. Đặc biệt, σ̃ (R(λ, A)) = 1 σ̃(A) 1 với mọi λ ∈ C. λ − σ̃(A) Chứng minh. Xem trong [10], trang 142 − 143. Bổ đề 1.2.8. (Trích [10], Trang 145) Cho p, q ∈ C[z]. Nếu p 6= 0 thì p(A)q(A) = (pq)(A). Đặc biệt, nếu p 6= 0 và x ∈ X thì  x ∈ D Adeg(p) 
và p(A)x ∈ D (An ) ⇔ x ∈ D An+deg p . Chứng minh. Xem trong [10], trang 145 − 146. Bổ đề 1.2.9. (Trích [10], Trang 147) Cho A đơn ánh với ρ(A) 6= ∅. Khi đó p A−1 R (λ, A) = R (λ, A) p A−1
đúng với λ ∈ ρ(A) và tất cả các hàm đa thức C[z].
9 Chứng minh. Xem trong [10], trang 147 − 148. Bổ đề 1.2.10. (Trích [10], Trang 148) Cho p, q ∈ C[z] với q(0) 6= 0. Khi đó p A−1 q(A) ⊂ q(A)p A−1 .

Chứng minh. Xem trong [10], trang 148. Mệnh đề 1.2.11. (Trích [10], Trang 176) Ta có   p  ∞ p, q ∈ C[z], (q = 0) ∩ Ω = ∅, deg p ≤ deg q R (Ω) = q (1.2.1) và R∞ 0 (Ω)  = p  p, q ∈ C[z], (q = 0) ∩ Ω = ∅, deg p < deg q q  . (1.2.2) −1 Đại số R∞ (λ 6∈ Ω). Đại 0 (Ω) được tổng quát bởi các hàm hữu tỷ sơ cấp (λ − z) số R∞ (Ω) được tổng quát bởi các hàm hữu tỷ sơ cấp (λ − z)−1 (λ 6∈ Ω) cùng với
∞ (Ω) ∩ C Ω . Bao đóng hàm hằng 1. Bao đóng của R∞ (Ω) với chuẩn k·k là H 0 Ω 0 của R∞ (Ω) với chuẩn k·kΩ là A(K). Chứng minh. Xem trong [10], trang 176. Mệnh đề 1.2.12. (Trích [10], Trang 176) Cho Ω và K được định nghĩa như trên và f ∈ H ∞ (Ω). Khi đó tồn tại một dãy hàm hữu tỷ rn ∈ R∞ (Ω) sao cho krn k ≤ kf kΩ với mọi n và rn → f từng điểm trên Ω. Chứng minh. Xem trong [10], trang 176. Chương 2 Toán tử không bị chặn 2.1 Toán tử đóng Định nghĩa 2.1.1 (Toán tử tổng quát). Cho X , Y là hai không gian Banach. Một toán tử tuyến tính T từ X vào Y là một ánh xạ tuyến tính T : D(T ) → Y , trong đó D(T ) là không gian con tuyến tính của X . Định nghĩa 2.1.2 (Toán tử đóng). T là một toán tử đóng nghĩa là đồ thị G(T ) = {(u, T u) ∈ X × Y : u ∈ D(T )} là đóng trong X × Y . Ta thường nói đơn giản T đóng. Tập hợp các toán tử tuyến tính đóng từ X vào Y được kí hiệu là C(X, Y ). Ta viết C(X) thay cho C(X, X). Mệnh đề 2.1.3. (Trích [17], Trang 34) Cho T : X → Y là một toán tử. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) T đóng. (ii) Nếu un ∈ D(T ), un → u ∈ X và T un → v ∈ Y thì u ∈ D(T ) và T u = v . (iii) D(T ) với chuẩn kukD(T ) = kuk + kAxk 10 11 là không gian Banach. Chứng minh. Sự tương đương của (i), (ii), (iii) là hiển nhiên. Định nghĩa 2.1.4. Cho S, T ∈ C(X, Y ). Ta viết S ⊂ T nghĩa là G(S) ⊂ G(T ). Điều này cũng có nghĩa là D(S) ⊂ D(T ) và Su = T u với mọi u ∈ D(S). Mệnh đề 2.1.5. Cho X , Y là hai không gian Banach và T : X ⊃ D(T ) → Y là đóng và song ánh. Khi đó, T −1 : Y → X là bị chặn.   Chứng minh. Ta có toán tử T từ không gian Banach D(T ), k·kD(T ) vào Y là bị chặn. Thật vậy, kT xk ≤ kxk + kT xk = kxkD(T ) , x ∈ D(T ). Vậy T bị chặn và song ánh. Do đó, −1 T y = T −1 y + kyk ≤ c kyk D(T ) với c > 0. Điều này nghĩa là −1 T y ≤ c kyk . Dựa vào định nghĩa ta thu được một số tính chất sau (a) S + T = T + S . (b) (S + T ) + U = S + (T + U ). (c) S + 0 = S . (d) 0S ⊂ S0 = 0. (e) S − S ⊂ 0. (f) (ST )U = S(T U ).