Tài liệu độ đo xác suất trên không gian metric

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 TRƢỜNG ĐẠI HọC SƢ PHẠM Hà NỘI 2 KHOA TOÁN ******************** VŨ TRƢỜNG GIANG ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN METRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng hà nội – 2009 Vũ Trường Giang 2 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Em xin trân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong khoa và các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu xót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009 Sinh viên Vũ Trường Giang Vũ Trường Giang 3 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LờI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học này là thành quả của riêng cá nhân tôi, nó không trùng lặp với bất kì đề tài nào đã được công bố. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009 Sinh viên Vũ Trường Giang Vũ Trường Giang 4 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 mục lục Lời nói đầu .................................................................................................. 3 Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị .................................................................. 6 1.1. Tập Borel ...................................................................................... 6 1.2. Độ đo xác suất Borel.................................................................... 8 1.3. Sự hội tụ yếu của độ đo ................................................................ 15 1.4. Metric Prokhorov .......................................................................... 20 Chƣơng 2. Định lý Riesz và định lý Prokhorov........................................ 29 2.1. Định lý Prokhorov ........................................................................ 29 2.2. Định lý Riesz ................................................................................ 38 2.3. Định lý Riesz trong không gian không compact .......................... 44 Kết luận ....................................................................................................... 50 Tài liệu tham khảo ..................................................................................... 51 Vũ Trường Giang 5 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 lời nói đầu Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếm một vị trí quan trọng. Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứu trên lý thuyết của giải tích, đại số, hình học vào ứng dụng trong các ngành khoa học khác và thực tế cuộc sống. Lý thuyết xác suất là một bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống. Nó là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học, tâm lý – xã hội. Do đó bộ môn này được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường đại học, cao đẳng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất em đã chọn đề tài: “Độ đo xác suất trên không gian metric”. Nghiên cứu đề tài này giúp chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về độ đo xác suất trên không gian metric tổng quát và trên một số không gian đặc biệt. Nội dung của khóa luận bao gồm Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này trình bày về khái niệm và các tính chất của tập Borel, độ đo xác suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo và metric Prokhorov. Chƣơng 2: Định lý Prokhorov và định lý Riesz Nội dung của chương nay là định lý Prokhorov, định lý Riesz và định lý Riesz trong không gian không compact. Vũ Trường Giang 6 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chƣơng 1. kiến thức chuẩn bị 1.1.Tập Borel Định nghĩa 1.1 Cho  X, d  là không gian metric.   đại số Borel B  B  X  là   đại số nhỏ nhất trong X mà có chứa tất cả các tập con mở của X. Các phần tử của B được gọi là tập Borel của X. Định nghĩa 1.2 Không gian metric  X, d  được gọi là tách được nếu nó có tập con đếm được trù mật, tức là tồn tại x1, x2,... trong X sao cho  x1, x2 ,...  X ( A - bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A trong X. Bổ đề 1.1. Nếu X là không gian metric tách được, khi đó trùng với   đại số sinh bởi tất cả các các hình cầu mở (hoặc đóng) của X. Chứng minh. Kí hiệu A    đại số sinh bởi các hình cầu mở (hoặc đóng) của X. Hiển nhiên A  B . Giả sử D là tập đếm được trù mật trong X. U  X là mở. Với x U , lấy r  0 , r  sao cho B x, r   U ( B x, r  là hình cầu mở hoặc đóng với tâm là x và bán kính r) và lấy yx  D  B x, r / 3 . Khi đó x  B yx , r / 2  B x, r  . Đặt rx  r / 2 . Khi đó U  B yx , rx  : x  U Vũ Trường Giang 7 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 là hợp đếm được. Thành ra U  A suy ra B  A . Bổ đề 1.2. Cho  X, d  là không gian metric tách được. C  B là đếm được. Nếu C tách rời các hình cầu đóng với các điểm, nghĩa là với mọi hình cầu đóng B và x  B thì tồn tại C C sao cho B  C và x  C , khi đó   đại số sinh bởi C là   đại số Borel. Chứng minh. Hiển nhiên   C  B , trong đó   C là   đại số sinh bởi C . Lấy B là hình cầu đóng trong X . Khi đó B  C  C: B  C là giao của đếm được các phần tử của   C . Theo bổ đề trên ta nhận được B    C . Định nghĩa 1.3 Nếu f : S T và AS, AT tương ứng là   đại số trong S và T, khi đó f được gọi là đo được nếu f 1  A   x  S: f  x   A AS với mọi A AT . Mệnh đề 1.1. Cho  X, d  là không gian metric. B  X  là   đại số nhỏ nhất sao cho với mọi hàm (giá trị thực) liên tục trên X là đo được. Vũ Trường Giang 8 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.2. Độ đo xác suất Borel Định nghĩa 1.4. Cho  X, d  là không gian metric. Một độ đo Borel hữu hạn trên X là ánh xạ  : B  X  [0, ) sao cho 1. μ     0 , 2. A1, A2,... B rời nhau  μ  A     i 1 i  i 1 μ  Ai  , 3.   X  1. Bổ đề 1.3. Cho X là không gian metric và  là độ đo hữu hạn trên X. Cho A1, A2 ,... là dãy các tập Borel. Khi đó ta có (1) Nếu A1  A2  ... và A   i 1 Ai , thì   A  limn   An  .  (2) Nếu A1  A2  ... và A   i 1 Ai , thì   A  limn   An  .  Bổ đề 1.4. Nếu  là một độ đo Borel hữu hạn trên X và A là một họ các tập Borel rời nhau của X, khi đó có nhiều nhất đếm được các phần tử của A có độ đo μ khác 0. m  1, đặt Am   A  A :   A  1/ m . Với mọi Chứng minh. Với A1, A2,...Am phân biệt ta có  k    X      Ai     A1     A2   ...    Ak   k / m ,  i 1  Do đó Am có nhiều nhất m  X  phần tử. Vậy Vũ Trường Giang 9 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2  A A :   A  0   A m1 m là đếm được. Ví dụ. Nếu  là một độ đo Borel trên  , khi đó   t   0 với mọi t trừ nhiều nhất đếm được t  . Mệnh đề 1.2. Mọi độ đo Borel hữu hạn trên X là chính quy, tức là với mọi BB .   B  sup  C : C  B, C ®ãng ( chÝnh quy trong)  inf  U  : U  B, U më (chÝnh quy ngoµi). Chứng minh. Tập R được xác định bởi A R    A  sup  C : C  A, C ®ãng vµ   A  inf  U  : U  A, U më. Ta chứng tỏ rằng R chứa các tập Borel. Bước 1: R là  _đại số: R . Giả sử AR và   0 . Lấy C đóng và U mở với C  A  U và   A    C     A   U    . Khi đó U c  Ac  Cc , U c đóng, Cc mở và   Ac     X    A    X     C      Cc    ,   Ac     X    A    X    U      U c    . Do đó Ac  R . Giả sử A1, A2,...R và   0 . Với mỗi i lấy Vũ Trường Giang 10 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Ui mở, Ci đóng với Ci  A  Ui ,  Ui     Ai   2i  ,   Ai     Ci   2i  / 2. Khi đó  C  A  U ,  U i i i i  i     i i i là mở và     i 1    i 1    Ui      Ai     Ui \  Ai   i i        Ui \ Ai      Ui \ Ai   i 1  i 1   i 1 i 1     Ui     Ai     2i    .    k  Hơn nữa    Ci   limk    Ci  , do đó với k đủ lớn nào đó,  i 1   i 1  k     k     Ci      Ci    / 2 . Khi đó C  i 1 Ci  i 1 Ai , C đóng và  i 1   i 1              Ai     C     Ai      Ci    / 2  i 1   i 1   i 1         Ai \  Ci    / 2 i 1  i 1         Ai \ Ci     / 2  i 1       Ai \ Ci    / 2 i 1 Vũ Trường Giang 11 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2       Ai     Ci     / 2   / 2   / 2   . i 1 Do đó   i 1 Ai  R . Vậy R là  _đại số Bước 2. R chứa tất cả các tập mở. Ta chứng tỏ rằng R chứa tất cả các tập mở. Giả sử A X là đóng. Un   x  X : d  x, A  1/ n   x  X : a  A ví i d  a, x   1/ n , Khi đó Un là mở, U1  U2  ... , và   Đặt n  1,2,... . Ui  A , do A là đóng. Do đó i 1   A  limn  Un   infn  Un  . Như vậy   A  inf  U  : U  A,U më  inf  Un     A . n Do đó AR . Kết luận: R là  _đại số mà chứa tát cả các tập mở, do đó R  B . Hệ quả 1.1. Nếu  vµ  là các độ đo hữu hạn trên không gian metric X và   A    A với mọi A đóng (hoặc A mở), khi đó    . Định nghĩa 1.5. (Độ đo Radon) Một độ đo Borel hữu hạn  trên X được gọi là độ đo Radon nếu với mọi   0 tồn tại tập compact K  X sao cho   X \ K    , hay nói cách khác   X    X   . Hệ quả 1.2. Nếu  là độ đo Radon trên không gian metric X, khi đó   A  sup  K  : K  A, K _compact Vũ Trường Giang 12 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 với mọi tập Borel A trong X. Chứng minh. Với mỗi   0 lấy tập compact K sao cho   X \ K    . Khi đó   A  K     A \ Kc     A    Kc     A   và   A  K   sup  C : C  K  A, C ®ãng  sup  K  : K  A, K compact, Vì mọi tập con đóng chứa trong tập compact là compact. Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh. Hiển nhiên, nếu  X, d  là một không gian metric compact, khi đó mọi độ đo Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon. Không gian metric tách được đầy đủ đôi khi được gọi là không gian Polish. Định lý 1.1. Nếu  X, d  là không gian metric tách được đủ, khi đó mọi độ đo Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon. Bổ đề 1.5. Nếu  X, d  là không gian metric đủ, khi đó một tập đóng K trong X là compact khi và chỉ khi hoàn toàn bị chặn, tức là với mọi   0 tập K bị phủ bởi hữu hạn hình cầu (mở hoặc đóng) bán kính bé hơn hoặc bằng  . Chứng minh. ] Hiển nhiên: phủ K bởi tất cả  -hình cầu với tâm trong K có phủ con hữu hạn. Vũ Trường Giang 13 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 ] Giả sử  xn n là một dãy trong K. Với mỗi m 1 có hữu hạn 1 / m -hình cầu phủ K, ít nhất một trong số chúng chứa xn với n nhiều vô hạn. Với m 1 lấy hình cầu B1 với bán kính  1 sao cho N1  n : xn  B1 là vô hạn, và lấy n1  N1 . Lấy hình cầu B2 với bán kính  1/ 2 sao cho N2  n  n1 : xn  B2  B1 là vô hạn, và lấy n2  N2 . Lấy B3 , bán kính  1 / 3, N3  n  n2 : xn  B3  B2  B1 là vô hạn, n3  B3 . Và cứ tiếp tục như vậy.   Theo cách đó xnk k   là dãy con của  xn n và vì xnl  Bk với mọi l  k , xnk   dãy Cauchy. Do X là không gian đủ, xnk k k là hội tụ trong X và do K đóng, giới hạn thuộc K. Như vậy  xn n có dãy con hội tụ và K là compact. Chứng minh định lý 1.1. Ta chứng minh rằng với mọi   0 tồn tại tập compact K sao cho   X \ K    . Giả sử D  a1, a2 ,... là một tập con đếm được trù mật của X. Khi đó với mỗi   0 ,   X   limn   n k1   k1 B ak ,   X . Do đó  B ak ,  với mọi   0 . Cho   0 , khi đó với mọi m 1 tồn tại nm sao cho  nm     B ak ,1/ m     X   2 m .  k1  Đặt  nm K   B ak ,1/ m . m1 k1 Vũ Trường Giang 14 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khi đó K là đóng và với mỗi   0 , nm nm k1 k1 K   B ak ,1/ m   B ak ,  nếu ta chọn m  1/  . Vậy theo bổ đề K là compact. Hơn nữa nm nm         X \ K       X \  B ak ,1/ m       X \  B ak ,1/ m  k1 k1   m1    m1   nm    m      X      B ak ,1/ m     2    .   m1   k1   m1  Vũ Trường Giang 15 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.3. Sự hội tụ yếu của độ đo Cho  X, d  là không gian metric và kí hiệu Cb  X   f : X   : f lµ liªn tôc vµ bÞchÆ n . Mọi f  Cb  X là khả tích với độ đo Borel hữu hạn bất kì trên X. Định nghĩa 1.6 Cho , 1, 2 ,... là các độ đo Borel hữu hạn trên X. Ta nói rằng  i i hội tụ yếu tới  nếu  fd   fd i khi i   với mọi f  Cb  X . Kí hiệu i   . (Có nhiều nhất một giới hạn  như vậy, điều đó được kéo theo từ việc metric hóa bởi metric Prokhorov, mà sẽ được đề cập tới ở phần tiếp theo.) Định lí 1.2 Cho  X, d  là không gian metric, , 1, 2 ,... là các độ đo Borel xác suất trên X . Các khẳng định sau đây là tương đương. (a) i   (b)  gd i   gd với mọi gUCb  X   { f : X   : f là liên tục đều và bị chặn} (c) limsupi  i  C    C với mọi C  X đóng (d) liminfi  i U    U  với mọi U  X mở (e) i  A    A với mọi tập Borel A trong X với   A  0 . (A  A \ A0 ). Chứng minh.  a   b là hiển nhiên Vũ Trường Giang 16 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2  b   c : Giả sử C là tập đóng khác rỗng. Đặt Um  x : d  x, C  1/ m , m 1. (Trong đó d  x, A  inf aA d  x, a nếu A   và “ d  x,    ”.) Khi đó Umc là đóng và inf d  x, y  1/ m c xC,yUm Do đó tồn tại fm UCb  X với 0  fm  1 trên X , fm  1 trên C, và fm  0 trên U . (Thật vậy fm  c m  d x,Umc  d x,U c m    d  x, C là hàm cần tìm.) Vì i  C   1C di   fmdi , từ giả thuyết (b) ta có limsup i  C  limsup  fmdi   fmd   1Um d   Um  . i  Vì   i  Um  C (từ C là đóng) ta thấy m1   C  lim  Um   limsup i  C . m i   c   d : Sử dụng phần bù      1  limsup  U   1   U     X    U    U  . liminf i U   liminf i  X   i U c i  i  c c i  i c  d   c : Tương tự Vũ Trường Giang 17 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp  c   d   e : Trường ĐHSP Hà Nội 2 A0  A  A, A0 là mở và A là đóng, như vậy theo (c) và (d)     limsup i  A  limsup i A   A    A  A    A    A    A ,     liminf i  A  liminf i A0   A0    A \ A    A    A    A , Do đó i  A    A .  e   a : Cho g Cb  X . Giả sử ta có  fd   fd i đúng với các hàm đơn giản; ta muốn hàm g gần đúng có được  gdi   gd . Đặt   E   x : g x   E    g1  E  , E là tập Borel trong  . Khi đó  là độ đo Borel hữu hạn (độ đo xác suất) trên  và nếu ta lấy a   g  , b  g  , khi đó    \  a, b   0 . Do  là hữu hạn, tồn tại nhiều nhất đếm được  với     0 . Do đó với   0 , tồn tại t0 ,..., tm  sao cho (i) a  t0  t1  ....  tm  b , (ii) t j  t j 1   , j  1,..., m, (iii)  t j   0 , tức là   x : g x   t j   0 , j  0,..., m.     Đặt Vũ Trường Giang 18 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Aj  x  X : t j 1  g x   t j   g1 [ t j 1, t j )  , j  0,..., m. Khi đó Aj B  X với mọi j và X   j 1 Aj . Hơn nữa m Aj  x : t j 1  g x   t j  ( vì đây là tập đóng và chứa Aj ), Aj0  x : t j 1  g x   t j  ( vì đây là tập mở chứa trong Aj ), Như vậy        x : g x   t     x : g x   t   0  0.   Aj    A j \ Aj0    x : g x   t j 1 hoÆ c g x   t j  j 1 j Do đó theo (e), i  Aj     Aj  khi i   với j  1,..., m. Đặt m h   t j 1 Aj , j 1 khi đó h x   g x   h x    với mọi x  X . Do đó  gd    gd     g  h  d    hd     g  h  d    hd    g  h d    hd    hd    g  h d  j j j j   j  X   Điều đó  gd  i kéo theo j  t    A     A      X  m j 1 j 1 i j j limsupi  gd i   gd   2 . Vậy   gd  khi i   Vũ Trường Giang 19 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Nhận xét. Điều kiện các độ đo xác suất , 1, 2 ,... trong định lí trên có thể thay thế bởi điều kiện là độ đo Borel hữu hạn sao cho i  X     X  khi i  . Vũ Trường Giang 20 K31B CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.4. Metric Prokhorov Cho  X, d  là không gian metric. Kí hiệu P  P  X  tất cả các độ đo xác suất trên X . Ta có định nghĩa về sự hội tụ yếu trong P . Định nghĩa với , P , dP   ,   inf   0:   A    A    vµ   A    A    A B  X  , trong đó A   x : d  x, A    nếu A   và    với mọi   0 . ( ở đây d  x, A  inf d  x, a : a  A .) Hàm dP được gọi là metric Prokhorov trên P (cảm sinh bởi d) mà sẽ được kiểm chứng ở định lý tiếp theo. Nếu X là tách được, khi đó sự hội tụ theo metric chính là sự hội tụ yếu trong P . Định lý 1.3. Cho  X, d  là không gian metric. (1) dP là metric trên P  P  X  . (2) Cho , 1, 2,...P . Khi đó dP  i ,    0 kéo theo i   . Chứng minh. (1) Với mọi   1 thuộc vào tập hợp của định nghĩa công thức của dP , như vậy cận dưới đúng được xác định. Hiển nhiên dP  ,   0 và dP  ,   dP  ,   với mọi , P . dP  ,    0: Giả sử  P . Với mọi tập Borel A và   0 , A  A , như vậy   A    A    , do đó dP  ,     , từ đó dP  ,    0 . Vũ Trường Giang 21 K31B CN Toán