Tài liệu định lý siêu việt hermite lindemann

Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt cho chúng em trưởng thành như hôm nay. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy NCS. Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khoá luận này. Sinh viên Đào Xuân Tiềm 4 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy NCS. Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu, em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viên Đào Xuân Tiềm 5 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Trang Mở đầu…………………………………………………………………….. 4 Chương 1. những Kiến thức bổ trợ ……………………………… 5 1.1. Đa thức………………………………………………………… 5 1.2. Hàm hữu tỉ……………………………………………………... 9 1.3. Số đại số……………………………………………………….. 9 Chương 2. Định lí siêu việt Hermite - Lindemann………….. 13 2.1. Một số bổ đề…………………………………………………... 13 2.2. Định lí siêu việt Hermite - Lindemann……………………….. 17 2.3. Một số hệ quả ………………………………………………… 28 Kết luận………………………………………………………………….. 31 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 32 6 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Vào khoảng 287 - 212 trước CN, nhà toán học cổ Hi Lạp Archimède đã tìm ra số  , dựa vào những công trình hình học của ông là nhằm tìm ra tương quan giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó. Đến cuối thế kỉ XVII đầu thế kỉ XVIII, Euler nhà toán học người Thụy Sĩ đã đưa ra số e. Khi số  và số e ra đời, nó có vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lý học và cả trong một số lĩnh vực kĩ thuật. Ta đã biết số  và số e là những số siêu việt, nhưng thực sự để chỉ ra tính siêu việt của hai số này không phải đơn giản. Vào năm 1882, nhà Toán học người Đức Lindemann đã chứng minh định lí siêu việt Hermite – Lindemann và kết quả thật đáng ngạc nhiên trong việc chỉ ra số  và số e là số siêu việt thật dễ dàng khi dựa vào định lí này. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn tính siêu việt của số  và số e, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ”. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1. Những kiến thức bổ trợ Chương 2. Định lí siêu việt Hermite – Lindemann Trong chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đa thức, nghiệm của đa thức; hàm hữu tỉ và đặc biệt là khái niệm số đại số, số siêu việt. Trong chương 2, tôi đưa ra các bổ đề để sử dụng trong việc chứng minh định lí siêu việt Hermite-Lindemann và đưa ra một số hệ quả của nó. Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi nghiên cứu. 7 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp 8 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Chương 1. Những kiến thức bổ trợ 1.1. Đa thức Định nghĩa 1.1.1. Một hàm số dạng f(x) = axn gọi là một đơn thức, với a  0 là một số bất kì (trường hợp chung nhất là số phức), x là biến độc lập và n là một số nguyên không âm, a được gọi là hệ số của đơn thức, n được gọi là bậc của đơn thức. Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số P  x  gọi là một đa thức, nếu có thể biểu diễn như tổng hữu hạn những đơn thức, nghĩa là: P  x   a1 x n1  a2 x n2  ...  ak x nk , trong đó các a1, a2 ,..., ak là những số bất kỳ, còn n1, n2,…,nk là những số nguyên không âm. Định nghĩa 1.1.3. Nếu đa thức P(x) viết dưới dạng: P(x) = a0 xn + a1xn-1 + …+an-1x + an, trong đó a0  0, thì ta nói rằng nó được viết theo bậc của x hoặc là biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc. Các số a0, a1,…, an gọi là các hệ số của đa thức. Số a0 là hệ số bậc cao nhất còn số an gọi là hệ số tự do. Số n gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là: deg P(x) = n. Ví dụ 1.1.1. Hãy viết dạng chuẩn tắc của các đa thức sau: a, P(x) = (x - 1)4 - x3, b, P(x) = (x - 2) (x2 + 1), c, P(x) = (2 - ix2)2+ (2 + i 3 )x3 + i x2. Lời giải. a, P(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 - x3 = x4 - 5x3 + 6x2 - 4x +1, b, P(x) = x3+ x - 2x2 - 2 9 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp = x3 - 2x2 + x - 2, c, P(x) = 4 - 4 i x2 - x4 + (2 + i 3 ) x3 + ix2 = - x4 + (2 + i 3 )x3 - 3ix2 + 0.x + 4. Một số tính chất Cho P(x) và Q(x) là những đa thức. Khi đó, ta có một số tính chất sau: 1, Tính của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có: degR(x)= degP(x) + degQ(x). 2, Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có: degR(x) = Max{degP(x); degQ(x)}. Định nghĩa1.1.4. Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Khi đó, một số  gọi là nghiệm của đa thức nếu P(  ) = 0. Ví dụ 1.1.2. Hãy tìm nghiệm của đa thức trên  và  : a, P(x) = x3 - 3x + 2, b, P(x) = x2 - 2x + 2. Lời giải. a,Ta có P(x) = x3 -3x + 2 = (x - 1)2 (x + 2) x 1  P(x) = 0    x  2 Vậy nghiệm của đa thức này trên  và  là trùng nhau, đó là những giá trị : x = 1 và x = -2. b, Ta có P(x) = x2 – 2x +2  ' = 1 - 2 = -1 < 0 2  Đa thức này không có nghiệm thực. Nhưng ta lại có -1 = i nên đa thức này có hai nghiệm phức đó là: x= 1 + i và x = 1 – i. Định lí 1.1.1. Mọi đa thức P(x) = a0xn +a1xn-1 + …+an-1x+an có thể biểu diễn dưới dạng : 10 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp P(x) = a0 (x -  1 ) (x -  2 ) … (x -  n ), trong đó  1 ,  2 , …,  n là những nghiệm của đa thức. Định lí 1.1.2. Mọi đa thức bậc n ( n   * ) đều có không quá n nghiệm. Định lí 1.1.3. Mọi đa thức bậc n ( n   * ) đều có n nghiệm phức. Công thức Viéte Cho P( x)  a0 xn  a1 xn1  ...  an1 x  an là một đa thức bất kỳ và P( x)  a0  x  1  x   2  ... x   n  , trong đó 1 , 2 ,..., n là những nghiệm của đa thức. Khi đó, ta có công thức Viéte: 1 +  2 + … + n = - a1 a0  1  2 +  1  3 + … +  1  n +  2  3 + … +  n 1  n =  1  2 …  k + …+  n  k 1  nk  2 …  n = (-1)k a2 a0 ak a0 ………………………  1  2 …  n = (-1)n an . a0 Định nghĩa 1.1.5. Một hàm số dạng   x1 , x2 ,..., xk   ax1n x2n ...xkn , trong đó 1 2 k a  0 là một số ( trường hợp chung nhất là một số phức), x1 , x2 ,..., xk là những biến số, còn n1, n2 ,…,nk là những số nguyên không âm, được gọi là một đơn thức của những biến x1 , x2 ,..., xk . Số a gọi là hệ số của đơn thức, còn số n = n1+n2 + …+ nk gọi là bậc của đơn thức. Kí hiệu : deg   x1 , x2 ,..., xk   n1  n2  ...  nk . Những số n1, n2,…, nk gọi là bậc của đơn thức ứng với những biến x1 , x2 ,..., xk . Định nghĩa 1.1.6. Hai đơn thức gọi là đồng dạng, nếu chúng chỉ khác nhau về hệ số. 11 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.1.7. Một hàm số P  x1 , x2 ,..., xk  gọi là một đa thức nhiều biến, nếu nó có thể biểu diễn như tổng của hữu hạn những đơn thức, nghĩa là: P  x1 , x2 ,..., xk  = a1 x1n x2n … xkn + … + an x1l x2l … xkl , 1 2 k 1 2 k trong đó a1 x1n x2n … xkn ,…, an x1l x2l … xkl là các đơn thức của những biến 1 k 2 1 k 2 x1, x2,…, xk. Định nghĩa 1.1.8. Cho một đa thức nhiều biến P  x1 , x2 ,..., xk  . Đa thức này gọi là đa thức đối xứng, nếu với mọi hoán vị các số i1, i2, … ik của các số 1,2, …, k đều thoả mãn đẳng thức sau:   P xi1 , xi2 ,..., xik  P  x1 , x2 ,..., xk  . Nói cách khác, một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của các biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. Ví dụ 1.1.3. Đa thức sau đây là đối xứng P(x1,x2,x3) = x12 + x12 + x32 - x1x2x3 vì dễ dàng kiểm tra những đẳng thức sau là đúng: P(x1,x2,x3) = P(x1,x2,x3) = P(x2,x1,x3) = P(x2,x3,x1) = P(x3,x1,x2) = P(x3,x2,x1). Định nghĩa 1.1.9. Những đa thức sau đây gọi là những đa thức đối xứng cơ sở: 1 = x1 + x2 + … + xk,  2 = x1x2 + x1x3 + … + x1xk + … + xk-1xk, ………….  m = x1x2…xm +…+ xk-m+1 xk-m+2…xk,  k = x1x2…xk. Định lí 1.1.4. (Định lí cơ bản cho những đa thức đối xứng) Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ sở và sự biểu diễn này là duy nhất. 12 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Hệ quả 1.1.1. Nếu 1 ,  2 ,…,  k là k nghiệm của đa thức với hệ số hữu tỉ và P(x1,x2,…,xk) là một đa thức đối xứng với hệ số là các số hữu tỉ, thì ta có: P( 1 ,  2 ,…,  k ) là một số hữu tỉ. 1.2. Hàm hữu tỉ Định nghĩa 1.2.1. Hàm hữu tỉ là hàm dạng R  x  = P( x) , trong đó P( x) và Q( x) Q ( x) là những đa thức: P( x) = a0 xn  a1xn1  ...an1x  an Q( x)  b0 xm  b1x m1  ...  bm1x  bm , với a 0 , a1 ,…, an ; b0 , b1 ,…, bm là những hằng số (trường hợp chung nhất là số phức), gọi là các hệ số của hàm hữu tỉ, a0  0 , b0  0 , n và m là những số nguyên không âm. Hàm hữu tỉ R( x) xác định với mọi x mà làm cho Q( x)  0 . Định nghĩa 1.2.2. Hàm hữu tỉ gọi là hàm hữu tỉ chuẩn nếu bậc của đa thức tử nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu. Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau là các hàm hữu tỉ a) R ( x)  2 x3  4 x  1 , 3x 2  4 x  1 b) R ( x)  x 1 . x  2x  2 2 Định nghĩa 1.2.3. Hàm hữu tỉ nguyên là tên gọi khác của đa thức. Ta thấy hàm hữu tỉ nguyên là trường hợp riêng của hàm hữu tỉ (với đa thức mẫu là đa thức bậc 0). 13 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp 1.3. Số đại số 1.3.1. Một số định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.3.1. Một số  gọi là số đại số, nếu nó là nghiệm của một đa thức hệ số hữu tỉ. Ví dụ 1.3.1. Những số 3,  3 2, 1 1  3i, (1  3i) đều là những số đại số. 2 2 Thật vậy, ta thấy: +) 3 là nghiệm của đa thức x 2  3   x  , +)  3 2 là nghiệm của đa thức x3  2   x  , +) 1  3i là nghiệm của đa thức 2 1 1     x  ( 2  3i)   x  ( 2  3i)     1 1 1 1  x 2  (  3i) x  (  3i) x  (  3i)(  3i) 2 2 2 2 1 1 1  x 2  x  3ix  x  3ix   i 2 32 ) 2 2 4  x2  x  +) 37   x , 4 1 (1  3i) là nghiệm của đa thức x 2  x  1  x  . 2 Định nghĩa 1.3.2. Cho  là một số đại số. Khi đó, đa thức m(x) với hệ số hữu tỉ gọi là đa thức tối tiểu của số  nếu m(x) là đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1 và m(x) là đa thức bậc thấp nhất mà nhận  làm nghiệm. Ví dụ 1.3.2. Đa thức tối tiểu của số đại số 1+2i là: x 2  2 x  5. ( Ta có thể dễ dàng chỉ ra không có đa thức bậc nhất nào mà nhận 1  2i làm nghiệm. ) Định nghĩa 1.3.3. Một số không phải là số đại số được gọi là số siêu việt. Ví dụ 1.3.3. Số  và số e là những số siêu việt (tính siêu việt của  , e ta thấy ở phần sau). 14 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.3.4. Một số  gọi là số đại số nguyên nếu nó là nghiệm của đa thức hệ số nguyên. Định nghĩa 1.3.5. Số nguyên Cyclotomic là số có dạng :  0  1  ...   p 1 p 1 , trong đó   e 2 i p là số Moivre, p là số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 23 và 0 ,1,..., p1 là các số nguyên. Ví dụ 1.3.4. Ta xét trường hợp p = 2 ta có   e i  1 , suy ra các số nguyên Cyclotomic có dạng  0  1   0  1 . Do đó, mọi số nguyên đều là số nguyên Cyclotomic. Ví dụ 1.3.5. Ta xét trường hợp p = 3, ta có:  e 2 i 3      1 1 1  3 i ,  2  1  3 i . 2 2 Suy ra số nguyên Cyclotomic có dạng:  1 0  1     2  1 3  3  i    2    i  2  2 2     0  1  2   1 3  2 3     0  1  2    1   2  3  2  2     2   2  2  i 2  2 i Bây giờ, ta lấy các giá trị cụ thể của  0 ,1 , 2 ta được các số nguyên Cyclotomic: 1  2  0  2  2    1   2  3 i  2  0 1 2 2 0 0 2 2 0 1 3 3  i 2 2 15 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp 1 4 2 2 3 1 … … … -2+ 3 i 3i … Định nghĩa 1.3.6. Số nguyên Eisenstein là số có dạng a + b  , trong đó a và b là các số nguyên,  = 1 (1  i 3) . 2 Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên Eisenstein là một số nguyên Eisenstein. 2 i 1 Do   (1  i 3)  e 3 , nên mọi số nguyên Eisenstein đều là số nguyên 2 Cyclotomic. Điều ngược lại không đúng. Định nghĩa 1.3.7. Số nguyên Gaussian là số phức a + bi, trong đó a và b là các số nguyên. Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên Gaussian là một số nguyên Gaussian. Đinh nghĩa 1.3.8. Số nguyên Hamiltonian là tổ hợp tuyến tính của các Quaternion. Định nghĩa 1.3.9. Số nguyên hữu tỉ là tên gọi chung của các số sau: số nguyên Cyclotomic, số nguyên Eisenstein, số nguyên Gaussian, số nguyên Hamiltonian. 1.3.2. Một số tính chất 1, Mọi số hữu tỉ đều là số đại số. 2, Mọi số phức dạng a + bi trong đó a, b   đều là các số đại số. 3, Số  là số đại số khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức hệ số nguyên. 4, Nếu  là một số đại số, thì a  cũng là một số đại số (với a là một số hữu tỉ). 5, Nếu  ,  là 2 số đại số, thì    ,  .  cũng là các số đại số. 16 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp (Vì tập các phần tử của trường K là đại số trên trường A lập thành một trường con của K trong đó A là một mở rộng của K. Ta có      suy ra các phần tử của  hoặc  là đại số trên trường  lập thành một trường con của  hoặc  ). Chương 2. Định lí siêu việt Hermite - lindemann 2.1. Một số bổ đề Bổ đề 2.1.1. Cho 1 ,...,  là các số đại số đôi một khác nhau; A1 ,..., AL là các số đại số khác với số 0 (  , L   * , L   ). Khi đó, tích của tất cả các biểu thức Ar e  ...  As e (với Ar ,..., As là  thành phần bất kì của A1 ,..., AL ) sau khi kết 1  hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e luôn có dạng:    ...  Am e ,   Ae 1 1 m trong đó các hệ số A1,..., Am là các số khác số 0. Chứng minh. Ta gọi một trong hai số phức x + iy và X + iY là số “nhỏ hơn” khi: x < X hoặc x = X và đồng thời có y < Y. Kí hiệu: x + iy < X + iY. Khi đó, không mất tính tổng quát, ta có thể coi 1   2  ....   (vì nếu không như vậy ta sẽ sắp xếp lại và đánh chỉ số lại). Để thuận lợi, ta kí hiệu các biểu thức A r e1  ....  A se (với Ar ,..., As là  thành phần bất kì của A1 ,…, AL ) là: Fj  A jr e1  ...  A jse , trong đó Ajr ,..., Ajs là  thành phần bất kì của các A1,..., AL . Nhờ vậy tích  là tích của tất cả các Fj và ta có số hạng đầu tiên đã thu được lúc đó là số nhỏ 17 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp nhất trong tất cả các số mũ đã thu được, có hệ số là tích của hữu hạn các Ajr , do các Ajr  0  hệ số ứng với số mũ nhỏ nhất xuất hiện chỉ một lần và khác 0. Bởi vậy, ít nhất số hạng đầu tiên của tích đã nhân ra khác 0. Còn việc  có dạng A'1 e1  ...  Am em là hiển nhiên. Suy ra Bổ đề 2.1.1. được chứng minh. Bổ đề 2.1.2. Nếu có A1 ,..., A là  số đại số khác với số 0 và có  số đại số 1 đôi một khác nhau 1,....,  sao cho Ae  ...  Ae  0 , thì tồn tại m số đại 1 số đôi một khác nhau 1,..., m và m số B1,..., Bm là những số nguyên khác 0 sao cho: B1e1  ...  Bmem  0 Chứng minh. Giả sử đã có A1,…, A là  số đại số khác với số 0 và  số đại số đôi một 1 khác nhau 1 ,...,  sao cho: Ae  ...  Ae  0. 1 Do A1,..., A là các số đại số nên ta xét các hệ số A1,..., A như các nghiệm của một phương trình đa thức P  x   0 có các hệ số hữu tỷ mà bậc của nó là L và L   (thường sẽ như vậy). Gọi các nghiệm của phương trình này là A1, A2 ,..., A ,..., AL . Ta lập tất cả các biểu thức được gọi là  có thể Ar e1  ...  Ase , trong đó Ar,…,As là  thành phần bất kì của A1,..., AL và ta nhân các biểu thức này với nhau, luôn luôn kết hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e*. Khi đó, áp dụng Bổ đề 2.1.1 thì tích thu được có dạng:  1  ...  Am e m ,   Ae 1 trong đó A1,..., Am là các số khác 0 và 1,..., m là các số đại số đôi một khác nhau. 18 Đào Xuân Tiềm Khoá luận tốt nghiệp Nhận thấy các hệ số A1,..., Am không bị thay đổi khi ta hoán chuyển các đại lượng A1,…,AL; nói cách khác, đó là một đa thức đối xứng với các biến A1,…,AL. Do A1,…,AL là nghiệm của phương trình đa thức P(x) = 0 có hệ số hữu tỉ, nên áp dụng Hệ quả 1.1.1 ta chỉ ra được các hệ số A1,..., Am là các số hữu tỉ. Do m là các số hữu hạn, nên gọi M mẫu số chung nhỏ nhất của m số A1, A2 ,..., Am . Khi đó, ta có:  1  ...  MAm e m . M   MAe 1 Đặt: MA1  B1  B1  * , MA2  B2  B2  * , …………………….. MAm  Bm  Bm  * . Khi đó, ta có: M   B11  ...  Bmem . 1 Do biểu thức Ae  ...  Ae cũng nằm trong các biểu thức  có thể và theo 1 1 giả thiết ta có: Ae  ...  Ae  0 , nên ta có 0  B1e1  ...  Bmem . 1 Vậy tồn tại m số đại số đại số đôi một khác nhau 1 ,…,  m và m số B1,…,Bm là những số nguyên khác với số 0 sao cho: B1e1  ...  Bmem  0 Suy ra Bổ đề 2.1.2 được chứng minh. Bổ đề 2.1.3. Cho 1,..., n là các số đôi một khác nhau, P(x) là đa thức và P(  j )  0,  j = 1,2, … , n. Khi đó, nếu có n số khác 0 là C1,…,Cn sao cho: C1P( 1 ) + C2P(  2 )+ …+ CnP(  n ) = 0, thì luôn tồn tại một số nguyên dương m ( m - Xem thêm -