Tài liệu định lý lagrange, định lý stolz, định lý toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Trường đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán ************ phạm thị lan hương định lý lagrange, định lý stolz định lý toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội, 2010 Phạm Thị Lan Hương 1 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu đề tài với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng. Cùng với sự nỗ lực của bản thân em đã phần nào nghiên cứu được đề tài trên. Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên chắc chắn khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn. Em xin trân thành cảm ơn sự nhiệt tình tận tâm của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng và toàn thể các thầy cô trong tổ giải tích và các thầy cô trong khoa Toán đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này, cũng như trong suốt thời gian thực tập nghiên cứu tại trường ĐHSP Hà Nội 2. Sinh viên Phạm Thị Lan Hương Phạm Thị Lan Hương 2 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, kết quả không trùng với kết quả nào. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2010 Sinh viên Phạm Thị Lan Hương Phạm Thị Lan Hương 3 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 MỤC LỤC Lời mở đầu ...................................................................................................... 1 Lời cam đoan ....................................................................................... 2 Mở đầu. ........................................................................................................... 4 Chương 1. Các kiến thức cơ bản về dãy số ................................................. 6 1.1. Dãy số ............................................................................................... 6 1.2. Dãy số bị chặn .................................................................................. 6 1.3. Dãy số đơn điệu ................................................................................ 6 1.4. Dãy con ............................................................................................. 7 1.5. Giới hạn các dãy số .......................................................................... 7 1.6. Các định lí......................................................................................... 7 1.7. Các nguyên lí về tính đầy đủ của  ................................................ 9 1.8. Giới hạn vô cực của dãy số .............................................................. 9 Chương 2. Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz ................... 11 2.1. Định lý Lagrange và các hệ quả ....................................................... 11 2.2. Định lý Stolz và các hệ quả .............................................................. 14 2.3. Định lý Toeplitz và các hệ quả ......................................................... 17 Chương 3. Ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số ............................... 20 3.1. Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giới hạn dãy số ...... 20 3.2. Ứng dụng định lý Stolz .................................................................... 27 3.3. Ứng dụng định lý Toeplitz ............................................................... 43 Kết luận .................................................................................................. 51 Tài liệu tham khảo ................................................................................... 52 Phạm Thị Lan Hương 4 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết giới hạn là cơ sở của giải tích. Bởi vậy, nghiên cứu về giải tích chúng ta thường xuyên phải giải quyết bài toán tìm giới hạn, trong đó có giới hạn dãy số. Giải bài toán giới hạn dãy số là việc làm khó khăn đối với các sinh viên và học sinh giỏi toán THPT. Các bài toán giới hạn cũng nằm trong chương trình quy định của hội toán học Việt Nam đối với kì thi Olympic toán học sinh viên hằng năm giữa các trường Cao đẳng và Đại học về giải tích. Giải bài toán về giới hạn dãy số có nhiều phương pháp khác nhau. Định lí Lagrange, định lí Stolz và định lý Toeplitz là một phương pháp mạnh để giải các bài toán giới hạn dãy số khó và phức tạp. Do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng em đã nhận đề tài “Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số”. 2. Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh một phương pháp để có thể xử lý các bài toán giới hạn dãy số khó và đa dạng. Qua đó củng cố kiến thức về giới hạn cho học sinh và giúp học sinh vận dụng thành thạo các định lý đã biết, đặc biệt là định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên và học sinh THPT + Phạm vi nghiên cứu: Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số Phạm Thị Lan Hương 5 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhắc lại các kiến thức cơ bản về giới hạn. Giúp học sinh nắm chắc định lý: Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và khả năng vận dụng sáng tạo định lí để giải bài toán về giới hạn. Phạm Thị Lan Hương 6 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ 1.1. Dãy số Ánh xạ f : N  R n  f ( n) Gọi là dãy số Ta thường ghi an  f (n) . Kí hiệu là (an ) (hay a1, a2 ,..., an ,... ). 1.2. Dãy số bị chặn Dãy (an ) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho an  M n  N . Dãy (an ) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho an  M n  N . Dãy (an ) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới. Rõ ràng dãy (an ) bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên K  0 sao cho an  K , n  N . 1.3. Dãy số đơn điệu Dãy số (an ) gọi là giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) nếu an  an1 n  N (tương ứng an  an1 n  N ). Dãy số (an ) gọi là tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu an  an1 n  N (tương ứng an  an1 n  N ). Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Phạm Thị Lan Hương 7 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.4. Dãy con n  nk Cho dãy (an ) và  k 1 k  N  nk  N thì dãy (ak ) với (ak  ank ) gọi là dãy con của dãy (an ) và kí hiệu là (ank ) . Chú ý: Ta dễ dàng kiểm tra được rằng: nk  k k  N . Mọi dãy đều là dãy con của chính nó. Mọi dãy con của dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới) thì bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới). Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là một dãy đơn điệu. 1.5. Giới hạn của dãy số Số a được gọi là giới hạn của dãy (an ) nếu   0, n  N n  N , n  n  an  a   Kí hiệu: lim  a hay an  a . n Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kì. 1.6. Các định lý a) Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất. b) lim an  a  lim (an  a)  0 n n c) lim an  0  lim an  0 n n d) lim an  a  lim an  a n n e) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn. f) lim an  a, lim bn  b,  R n n Khi đó: Phạm Thị Lan Hương 8 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 lim (an  bn )  a  b n lim ( .an )   .a n  lim ( an .bn )  a.b n an a  n b b n lim (với b  0 ) g) Cho (an ) , (bn ) là các dãy hội tụ và hằng số n0  N . Khi đó: Nếu an   , n  n0 thì lim an   n lim an  a   thì tồn tại số n1  N sao cho an   , n  n1 n Nếu an   , n  n0 thì lim an   n Nếu lim an  a   thì tồn tại n1  N sao cho an   , n  n1 n Nếu   an   n  n0 thì   lim an   n Nếu   lim an  a   thì n1  N sao cho a  an   n n  n1 Nếu an  bn , n  n0 thì lim an  lim bn n n an  cn  bn , n  n0 Nếu  thì lim cn  a n  an  lim bn  a  nlim  n  cn  bn , n  n0 Nếu  bn  0  nlim  thì lim cn  0 n h) Dãy (an ) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có chung một giới hạn. Phạm Thị Lan Hương 9 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.7. Các nguyên lý về tính đầy đủ của  a) Nguyên lý Weierstrass Nếu dãy (an ) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim an  sup an n nN Nếu dãy (an ) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim an  inf an n nN b) Nguyên lý Cantor Dãy đoạn  an ; bn  gọi là thắt dần nếu an , bn   an1, bn1  n  N . Nguyên lý Cantor: Mọi dãy thắt dần đều có điểm chung duy nhất. c) Nguyên lý Bolzano – Weierstrass Mọi dãy bị chặn có ít nhất một dãy con hội tụ. d) Nguyên lý Cauchy Dãy (a n ) được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu " e > 0, $ ne Î N : " n, m > ne Þ am - an < e Nguyên lý: Dãy (an ) là dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. 1.8. Giới hạn vô cực của dãy số Dãy (an ) được gọi là có giới hạn + ¥ nếu " A > 0, $ nA Î N sao cho " n Î N , n > nA thì an > A . Kí hiệu: lim an = + ¥ n® + ¥ Dãy (an ) được gọi là có giới hạn - ¥ nếu " A > 0, $ nA Î N sao cho " n Î N , n > nA thì an < - A . Kí hiệu: lim an = - ¥ n® + ¥ Dãy (an ) được gọi là có giới hạn ¥ nếu Phạm Thị Lan Hương 10 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 " A > 0, $ nA Î N sao cho " n Î N , n > nA thì an > A . Kí hiệu: lim an = ¥ n® + ¥ * Chú ý   ,   ,  chỉ là những kí hiệu chứ không phải là những số thực. Những dãy có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. lim an = ¥ Û lim n® ¥ Phạm Thị Lan Hương 11 n® ¥ 1 = 0. an K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chương 2 ĐỊNH LÝ LAGRANGE, ĐỊNH LÝ STOLZ, ĐỊNH LÝ TOEPLITZ 2.1. Định lý Lagrange và hệ quả 2.1.1. Định lý Lagrange Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó tồn tại c thuộc khoảng (a; b) sao cho f (b) - f (a) = f ' (c)(b - a) . 2.1.2. Hệ quả (định lý Rolle) Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c thuộc khoảng (a; b) sao cho f ' (c) = 0 Chứng minh Ta thấy hàm số f ( x) thỏa mãn các điều kiện định lý Lagrange: f ' ( x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trên [a; b], do đó tồn tại c thuộc (a; b) sao cho f (b) - f (a) = f ' (c)(b - a) Û f ' (c ) = f (b) - f (a ) b- a Theo giả thiết f (b) = f (a) nên f (a) - f (b) = 0 . Vậy f ' (c) = 0 (điều phải chứng minh). 2.1.3. Hệ quả 2 Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra f ' (c) = 0 , " x Î (a; b) thì f ( x) = k (với k là hằng số) x  a; b. Phạm Thị Lan Hương 12 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh Ta chứng minh với x0 , y0 thuộc đoạn [a; b] mà x0 ¹ y0 thì f ( x0 ) = f ( y0 ) Thật vậy, giả sử x0 < y0 suy ra [x0 ; y0 ]Ì [a; b]. Ta thấy f ( x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange trên [x0 ; y0 ] do đó $ c Î ( x0 ; y0 ) để f ' (c) = f ( y0 ) - f ( x0 ) y0 - x0 Do theo giả thiết f ' (c) = 0 , " x Î (a; b) nên ta có f ' (c) = 0 , " c Î (x0 ; y0 ) Hay là: f ( y0 ) - f ( x0 ) = 0 Þ f ( y0 ) = f ( x0 ) Hay là: f ( x) = k (với k là hằng số) 2.1.4. Định nghĩa và định lý mở rộng a) Định nghĩa Ánh xạ co Cho ánh xạ f : X ® Y gọi là ánh xạ Co nếu tồn tại c Î [0;1) sao cho f ( x ) - f ( y ) £ c x - y , " x, y Î X . b) Nguyên lý Ánh xạ co Nếu f : X ® X là một ánh xạ Co thì f có duy nhất một điểm bất động, tức là tồn tại duy nhất x Î X sao cho f ( x) = x . Ta xét hàm số f ( x) thỏa mãn các điều kiện định lý Lagrange rõ ràng với mọi x khác y, $ c nằm giữa x, y sao cho f ( x) - f ( y) £ f ' (c) x - y Nếu ta thêm giả thiết f ' ( x) £ c < 1 thì f ( x) là một ánh xạ Co. Vận dụng ý tưởng này vào dãy số kết hợp với tính đầy đủ của không gian R ta có định lý sau đây rất tiện lợi cho việc xét sự hội tụ cho một dãy số c. Phạm Thị Lan Hương 13 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 c) Định lý 2.1.5 Cho f : [a; b]® [a; b] thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange sao cho f ' ( x) £ c < 1 " x Î [a; b]. Khi đó mọi dãy ( xn ) thỏa mãn íï x1 = a Î [a; b ] ïì ïïî xn+ 1 = f ( xn ), n ³ 1 Thì đều hội tụ tới x * và f ( x* ) = x* (với x * là điểm bất động của f ). Chứng minh Với mọi n ³ 2 , ta có $ a n nằm giữa xn và xn+ 1 sao cho xn+ 1 - xn = f ( xn ) - f ( xn- 1 ) = f ' (a n ) xn - xn- 1 £ c xn - xn- 1 £ ... £ c n- 1 x2 - x1 Với mọi m Î Z1 thì xn+ m - xn £ xn+ m - xn+ m- 1 + xn+ m- 1 - xn+ m- 2 + ... + xn+ 1 - xn £ c n+ m- 2 xn - x1 + c n+ m- 3 x2 - x1 + ... + c n- 1 x2 - x1 =c n- 1 (1 - c m ) x2 - x1 ® 0 khi n ® + ¥ 1- c Do đó ( x n ) là dãy cauchy. Vì  là không gian đủ nên ( xn ) hội tụ Đặt từ x* = lim xn n® ¥ xn+ 1 = f ( xn ) Þ lim xn+ 1 = lim f ( xn ) = f (lim xn ) Þ x* = f ( x* ) (đpcm) Nếu trong định lý trên ta thay a; b bởi khoảng hữu hạn hay vô hạn thì định lý vẫn còn đúng. Vận dụng định lý trên cho các bài toán về giới hạn rất tiện lợi. Phạm Thị Lan Hương 14 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 2.2. Định lý Stolz và các hệ quả 2.2.1. Định lý Stolz Giả sử lim yn = + ¥ và y ( n) tăng hoặc bắt đầu từ một giá trị N n® + ¥ nào đó tăng thực sự yn+ 1 > yn , " n > N . Khi đó Nếu lim n® + ¥ xn - xn- 1 x = a thì lim n = a ( a hữu hạn hoặc vô hạn). n® + ¥ y yn - yn- 1 n Nghĩa là lim n® + ¥ xn x - xn- 1 = lim n yn n® + ¥ yn - yn- 1 Chứng minh Trường hợp 1: Xét a hữu hạn, tức là lim n® + ¥ xn - xn- 1 =a yn - yn- 1 Khi đó với " e > 0, $ N0 sao cho " n > N0 thì xn - xn- 1 e - a< yn - yn- 1 2 Û aSuy ra a- e xn - xn- 1 e < < +a 2 yn - yn- 1 2 e xk + 1 - xk e < < + a ( " N0 £ k £ n - 1 ) 2 yk + 1 - yk 2 Mà y ( n) tăng thật sự nên yk + 1 - yk > 0 æ eö æ eö çça + ÷ y y < x x < Do đó çça - ÷ ( ) ÷ ÷ k+ 1 k k+ 1 k ÷ ÷( yk + 1 - yk ) ç èç ø è 2 2ø Thay k = N0, N0+1,…,n-1 rồi cộng lại ta được æ eö æ eö çça - ÷ ça + ÷ y y < x x < ( ) ÷ ÷ N0 n N0 ÷ n ÷(yn - y N0 ) çè èçç 2ø 2ø Û a- Phạm Thị Lan Hương e xn - xN0 e < < +a 2 yn - yN0 2 15 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Û xn - xN0 yn - y N 0 - a< e 2 (1) Ta lại có Û xn x - ayn xn - ayn - ( xN0 - ay N0 ) xN0 - ay N0 - a= n = + yn yn yn yn = = xn - xN0 - a( yn - yN0 ) yn Vì với n đủ lớn thì 0 < 1 - yn ö x - ay y N0 æ N N0 çç xn - xN0 - a÷ ÷ + 0 ÷ ç ÷ yn çè yn - yN0 ÷ yn ø y N0 yn <1 xn - xN0 xN0 - ayN0 xn - a£ - a+ yn yn - y N 0 yn Vì lim yn = + ¥ nên lim n® + ¥ xN0 - ay N0 ö x - ay yn - y N 0 æ N N0 çç xn - xN0 - a÷ ÷ + 0 ÷ ç ÷ yn çè yn - yN0 ÷ yn ø = 1- Þ + n® + ¥ xN0 - ayN0 yn = 0. Khi đó tồn tại số tự nhiên N 0' sao cho n  N 0' thì Từ (1) và (2) suy ra " n > Max {N0 , N0' } thì Do đó lim n® + ¥ x N0  y N0 yn   2 (2) xn e e - a< + =e yn 2 2 xn = a. yn Trường hợp 2: Xét a vô hạn, tức là lim n® + ¥ xn - xn- 1 = +¥ yn - yn- 1 (hoặc a= - ¥ ) Phạm Thị Lan Hương 16 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Với mọi n đủ lớn n > N thì xn - xn- 1 > yn - yn- 1 (3) Mà ( yn ) tăng thực sự nên yn - yn- 1 > 0 Suy ra xn - xn- 1 > 0  dãy ( xn ) là dãy tăng . Þ xn > xn- 1 Từ (3) suy ra xk + 1 - xk > yk + 1 - yk "k : N £ k £ n- 1 Thay k = N , N + 1,..., n - 1 rồi cộng lại ta được xn - xN > yn - yN Û xn > yn - yN + xN Þ lim xn = + ¥ n® + ¥ Và ( xn ) tăng Áp dụng phần trên ta có lim n® + ¥ yn y - yn- 1 x = lim n = 0 Þ lim n = + ¥ n® + ¥ y xn n® + ¥ xn - yn- 1 n Với a = - ¥ ta xét tương tự. 2.2.2. Hệ quả a) Hệ quả 1 Cho dãy ( xn ) thỏa mãn lim xn = a . Khi đó n® + ¥ lim n® + ¥ x1 + x2 + ... + xn = a n Chứng minh n Thật vậy, áp dụng định lý Stolz với dãy un , un = å xi và vn = n i= 1 " n ta có lim n® + ¥ x1 + x2 + ... + xn u u - un- 1 x = lim n = lim n = lim n = a n® + ¥ v n vn - vn- 1 n® + ¥ 1 n Phạm Thị Lan Hương 17 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 b) Hệ quả 2 Nếu dãy ( xn ) , un > 0, " n và lim un = a > 0 thì lim n® + ¥ n® + ¥ n u1.u2 ...un = a . Chứng minh Thật vậy, từ lim un = a suy ra lim (ln un ) = ln a n® + ¥ n® + ¥ Theo hệ quả 1 thì lim n® + ¥ ln u1 + ln u2 + ... + ln un = ln a n Hay lim n® + ¥ Û lim n® + ¥ Vậy lim n® + ¥ n ln (u1u2 ...un ) = ln a n n u1.u2 ...un = a u1.u2 ...un = a . 2.3. Định lý Toeplitz và các hệ quả 2.3.1. Định lý Toeplitz   Cho bộ số pnk  k  1, n; n  1, 2....  thỏa mãn các điều kiện:     i) pnk  0 n ii) p nk k1 1 iii) lim pnk = 0 (với mỗi k- cố định ) n® + ¥ Khi đó nếu dãy  xn  hội tụ thì dãy  yn  xác định bởi n yn   pnk xk (n=1,2...) k 1 Cũng hội tụ và lim yn = lim xn . n® + ¥ Phạm Thị Lan Hương n® + ¥ 18 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh Giả sử lim xn = a thì n® + ¥ " e > 0, $ N0 Î N sao cho xn - a < e " n > N0 . 2 $ D > 0 sao cho xn - a < D n . Từ lim pnk = 0 Þ $ M 0 Î N (M 0 > N0 ) sao cho n® + ¥ pnk < e 2 DM 0 (" k = 1, M ) 0 Khi đó " n > M 0 ta có n å n pnk xk - a = å k= 1 n £ å pnk (xk - a ) k= 1 pnk xk - a = M0 å k= 1 n pnk xk - a + k= 1 < M0 < e + 2 DM 0 å pnk xk - a k= M0 + 1 n å pnk k= M0 + 1 e 2 e e + = e. 2 2 n Vậy lim yn = lim n® + ¥ n® + ¥ å pnk xk = a . k= 1 n Biểu thức å pnk xk là trung bình chung trọng lượng của x1,..., xn . Do k= 1 đó định lý Toeplitz là cơ sở để xét sự hội tụ của các dãy trung bình cơ bản. Từ cách chứng minh định lý Toeplitz ta có thể mở rộng thành hệ quả. Phạm Thị Lan Hương 19 K32-CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 2.3.2. Hệ quả Cho bộ số Pnk ( k = 1, n ; n = 1,2,... ) thỏa mãn các điều kiện: i) lim pnk = 0 (với mỗi k_cố định) n® + ¥ n ii) lim n® + ¥ å pnk = 1 k= 1 n iii) $c > 0 sao cho å pnk £ c , " n Î Z + k k= 1 n Khi đó, nếu lim xn = a thì lim n® + ¥ n® + ¥ å pnk xk = a . ( a có thể hữu hạn k= 1 hoặc vô hạn). Phạm Thị Lan Hương 20 K32-CN Toán