TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH
KHOA GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC
-----oOo-----
TOÙM TAÉT LUAÄN VAÊN TOÁT NGHIEÄP
MOÂN TOAÙN
ÑEÀ TAØI:
ÑÒNH LYÙ ÑIEÅM BAÁT ÑOÄNG VAØ SÖÏ TOÀN TAÏI
NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN
TRONG KHOÂNG GIAN BANACH
GVHD
SVTH
KHOÙA
: Thaïc só TRAÀN HOAØNG
: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
: 2000 – 2004
Thaønh phoá Hoà Chí Minh 2004
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
PHAÀN I
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
§1. TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH.
I-Ñònh nghóa tích phaân xaùc ñònh :
Cho haøm f(x) lieân tuïc treân [a,b], F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x)
b
∫ f ( x) = F ( x)
= F (b) − F (a )
b
a
a
* Chuù yù :
a.Roõ raøng
b
∫ f ( x)dx
chæ phuï thuoäc vaøo haøm f vaø caùc caän a,b, khoâng phuï thuoäc
a
vaøo bieán tích phaân, töùc laø
b
∫
a
b
f ( x)dx = ∫ f (t )dt
a
b.ÔÛ ñònh nghóa, ta giaû thieát a < b. Neáu a > b thì ñònh nghóa :
a
∫
b
Taát nhieân :
b
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a
a
∫ f ( x)dx = 0
a
c.Töø ñònh nghóa ta thaáy ngay haøm f khaû tích treân [a,b] thì phaûi giôùi noäi treân ñoù.
II-Tính chaát cô baûn cuûa tích phaân :
Ñònh lyù 1: Giaû söû f vaø g laø hai haøm khaû tích treân moät ñoaïn chöùa caùc ñieåm a, b vaø
c thì:
i.
b
b
b
a
a
a
∫ (af ( x) + bg ( x))dx = a ∫ ( f ( x))dx + b ∫ ( g ( x))dx ,
b
c
b
a
a
c
∀ a, b ∈ R;
ii. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f ( x)dx ;
iii. Neáu a ≤ b vaø f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ (a,b) thì
iv. Neáu a ≤ b thì
b
b
∫ f ( x)dx ≤ ∫
b
a
a
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ;
f ( x) dx ;
a
a
v. Neáu f laø haøm chaün thì
b
a
∫
−a
a
f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ; neáu f laø haøm leû thì
0
a
∫ f ( x)dx = 0
−a
Ñònh lyù 2 (Ñònh lyù giaù trò trung bình) : Giaû söû f(x) khaû tích treân [a,b] vaø treân ñoaïn
naøy thì m ≤ f(x) ≤ M. Khi ñoù,∃µ ∈ [m,M] sao cho :
b
∫ f(x)dx = µ (b – a)
a
Noùi rieâng, neáu f lieân tuïc treân [a,b] thì ∃ c∈ [a,b] ñeå
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang1
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
b
∫ f(x)dx = f(c) (b - a)
a
Giaù trò µ =
b
1
f(x)dx goïi laø giaù trò trung bình cuûa f treân [a,b]
b − a ∫a
III-Phöông phaùp tính tích phaân:
1.Phöông phaùp ñoåi bieán soá :
a.Ñoåi bieán daïng u =u(x)
Ñònh lyù 3ù : Neáu u = u(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc ñoái vôùi x ∈ ( a,b) vaø coù
f(x)dx = g(u)du thì trong (a,b) ta coù : ∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du
b. Ñoåi bieán daïng x = ϕ(t)
Ñònh lyù 4 : Giaû söû f(x) laø haøm soá lieân tuïc ñoái vôùi x treân [a,b] vaø x = ϕ(t) laø haøm soá
khaû vi, ñôn ñieäu ñoái vôùi t treân [a,b] vaø laáy giaù trò treân [a,b].
Khi ñoù ta coù: ∫ f ( x)dx = ∫ f [(ϕ (t ))]ϕ ' (t )dt
2.Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn :
Ñònh lyù 5 : Giaû söû u =u(x), v=v(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc ñoái vôùi x ∈ ( a,b).
Khi ñoù trong (a,b) ta coù :
∫ u(x ).v' (x )dx = u(x ).v(x ) − ∫ v(x ).u' (x )dx
3.Tích phaân haøm höõu tæ :
a.Tích phaân cuûa caùc haøm höõu tæ ñôn giaûn :
dx
1
(i)
∫ ax + b = a ln ax + b + C
(ii)
∫ (ax + b )
(iii)
∫x
dx
k
2
=
,a≠0
1
1
+C ,
.
1 − k a (ax + b )k −1
Adx
+ bx + c
Phöông phaùp: + Bieán ñoåi x2 + bx + c =
+ Ñaët u = x +
(iv)
k ≠ 1, a ≠ 0
( Ax + B )dx
2
+ bx + c
(
x+
b
2
)2 − b
2
− 4c
4
b
chuyeån tích phaân ñaõ cho veàdaïng
2
Adu
2
±1
∫u
∫x
Ab
B−
Ax + B
A 2x + b
2
Phöông phaùp :Bieán ñoåi 2
=
+
x + bx + c 2 x 2 + bx + c x 2 + bx + c
du
Sau ñoù ñöa tích phaân ñaõ cho veà daïng : ∫
vaø tích phaân daïng (iii)
u
2x + 3
Ví duï 1 : Tính ∫ 2
dx
x + x +1
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang2
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
∫x
2x + 3
dx =
+ x +1
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
2
2x + 1
dx
dx + ∫ 2
+ x +1
x + x +1
d ( x 2 + x + 1)
2dx
4
2
1
=∫ 2
arctg
+∫
= ln( x 2 + x + 1) +
x + +C
2
2
x + x +1
3
3
1
3
x + +
2
4
P (x )
dx
b> Tích phaân caùc haøm höõu tæ daïng toång quaùt :daïng ∫ n
Qm ( x )
2
∫x
2
b1. Baäc P n (x) < baäc Q m (x) (n < m)
xdx
3
−1
x
A
Bx + C
A x 2 + x + 1 + (Bx + C )( x − 1)
x
Ta coù : 3
=
=
=
+
(x − 1) x 2 + x + 1 x − 1 x 2 + x + 1
(x − 1) x 2 + x + 1
x −1
Ví duï 2 : Tính I =
∫x
(
2
(
)
=> x = ( A + B)x + ( A – B + C)x + A – C
Ñoàng nhaát thöùc hai veá cuûa (*) ta ñöôïc :
)
(
)
(*)
1
A = 3
A + B = O
1
A − B + C = 1 ⇔ B = −
3
A − C = 0
1
C = 3
1 dx
1
x −1
− ∫ 2
dx
∫
3 x −1 3 x + x +1
3
2 3
1
1
1
2
arctg
= ln x − 1 − ln x + x + 1 +
x + +C
3
6
3
3
2
b2. Baäc P n (x) ≥ baäc Q m (x) ,( n ≥ m)
⇒I=
Ta chia P n (x) cho Q m (x), phaân tích
Ví duï 3: Tính I =
Ta coù :
Pn ( x)
ñöa veà daïng (b1).
Q m ( x)
x 4 + 2x
∫ x 3 + 1 dx
x 4 + 2x
∫ x 3 + 1 dx =
x
dx
+1
x2 1
1
1
2
1
=
− ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 +
arctg
x− +C
2 3
6
2
3
3
∫ xdx + ∫ x
3
4) Tích phaân caùc haøm voâ tæ:
m
r
a) Daïng ∫ R( x, x n ,......x s )dx; R höõu tæ;m,n,r,s ∈ N.
Phöông phaùp :Giaû söû k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caùc maãu soá n,…,s thì
(
r
m
=,..., = ) .Ñaët x = tk, ta ñöôïc:
n
s
m
r
k-1
m
r
k
∫ R (x, x n ,...,x s )dx = ∫ R (t , t 1 ,...,t 1 )k .t
dt,
thaønh moät tích phaân cuûa haøm höõu tæ.
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang3
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
Ví duï 4: Tính I =
I= ∫
4
∫ x(
x −8 x
x + 1)
4
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
dx. Ñaët x= t8 ta ñöôïc:
t −1
tdt
dt
8t 7 dt = 8∫ 2
− 8∫ 2
=4 ln(t 2 + 1) − 8arctgt + C
2
t (t + 1)
t +1
t +1
2
8
=4ln( 4 x + 1 )-8arctg 8 x +C
m
r
ax + b n
ax + b s
b) Daïng ∫ R ( x,
,...,
)dx
cx + d
cx + d
Phöông phaùp:+Goïi k laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa n,….. s.
ax + b
= t k , ta cuõng höõu tæ hoùa ñöôïc tích phaân.
cx + d
x + 1 dx
dx
.
= ∫3
Ví duï5: Tính I = ∫
2
3
x −1 x +1
( x − 1)( x + 1)
+ Ñaët
t3 +1
− 6t 2 dt
2t 3
x +1
=> x = 3 , dx = 3
; x+1 = 3
Ñaët t =
x −1
t −1
(t − 1) 2
t −1
3
Do ñoù : I =
∫t
3dt
= -ln
3
−1
t −1 +
1
2t + 1
x +1
ln t 2 + t + 1 + 3arctg
+ C , vôùi t = 3
2
x −1
3
c) Daïng ∫ R( x, ax 2.. + bx + c)dx, a ≠ 0
Phöông phaùp:
+Neáu a>0 thì ñaët
Töø ñoù: x=
ax 2. + bx + c = ± a x + t
t2 − c
b − 2 at
Pheùp bieán ñoåi naøy ñöa tích phaân veà tích höõu tyû
+ Neáu c>0 thì ñaët ax 2. + bx + c = xt ± c
Töø ñoù: x =
± 2 ct − b
a −t2
+ Neáu ax2 +bx +c coù hai nghieäm thöïc a vaøb thì ñaët :
ax 2 + bx + c = ( x − a)t
Bôûi vì : ax2 + bx + c = a(x- a)(x-b) = (x-a)2t2 neân ta coù : x =
Ví duï 6: Tính I =
Ñaët
I=
∫
aβ − a t 2
a − t2
dx
x2 + x +1
x 2 + x + 1 = x+t thì x =
2(−t 2 + t − 1)
t 2 −1
,dx =
dt
1 − 2t
(1 − 2t ) 2
2(−t 2 + t − 1)
1 − 2t
2dt
d (1 − 2t )
.
∫ − t 2 + t − 1 (1 − 2t ) 2 dt = ∫ 1 − 2t = −∫ 1 − 2t = − ln 1 − 2t + C
= -ln 1 + 2 x − 2 x 2 + x + 1 +C
Ví duï 7: Tính I =
∫
dx
x + 3x − 4
2
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang4
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
Ñaët
=> I =
x 2 + 3x − 4 = ( x + 4)t thì x=
2dt
∫1− t
= ln
2
1+ t
+C = ln
1− t
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
1 + 4t 2
,dx=
1− t2
x + 4 + x −1
x + 4 − x −1
10tdt
(1 − t )
2 2
+C
5. Tích phaân caùc haøm löôïng giaùc :
a. Daïng ∫ R(cos x, sin x)dx, ( vôùi R(.,.) laø bieåu thöùc höõu tæ cuûa sinx, cosx)
x
2
1− t2
2t
2dt
Khi ñoù : sin x =
,
cosx
=
vaø dx=
2
2
1+ t
1+ t2
1+ t
Phöông phaùp chung :+ Ñaët t = tg
+Bieán ñoåi tích phaân daïng naøy veà tích phaân haøm höõu tæ .
2t
2dt
; sinx=
2
1+ t2
1+ t
2
2
1
2dt
dx
⇒∫
.
= ∫
= −
+C = −
+C
2
2t
x
sin x + 1
1+ t
1+ t
+1
1 + tg
1+ t2
2
Ví duï 8: Tính
dx
x
∫ sin x + 1 . Ñaët t = tg 2
=> dx =
* Ñaëc bieät : Neáu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì ñaët t = cosx
Neáu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì ñaët t = sinx
Neáu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì ñaët t = tgx
b. Daïng ∫ cos ax. cos bxdx, ∫ sin ax. sin bxdx, ∫ cos ax. sin bxdx,
Phöông phaùp : Bieán ñoåi caùc haøm döôùi daáu tích phaân thaønh toång
Ví duï 9: Tính ∫ cos 3x sin 5 xdx
Ta coù : ∫ cos 3x sin 5 xdx =
1
1
11
∫ 2 sin 8 xdx + ∫ 2 sin 2 xdx = − 4 4 cos 8 x + cos 2 x + C
c. Daïng ∫ sin n xdx; ∫ cos n xdx
Phöông phaùp :
+ Caùch 1 : AÙp duïng daïng a) phaàn ñaëc bieät.
+ Caùch 2 : Neáu n chaün (n nhoû) duøng coâng thöùc haï baäc:
cos2x =
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
,sin2x =
ñöa cosnx, sinnx veà haøm löôïng giaùc coù baäc
2
2
nhoû hôn hoaëc duøng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn, suy ra coâng thöùc truy hoài .
Ví duï10: Tính ∫ cos 4 xdx
1
1 + cos 2 x
2
Ta coù: ∫ cos xdx = ∫
dx = ∫ 1 + 2 cos 2 x + cos 2 x dx
4
2
1
1 1
= ∫ + cos 2 x + (1 + cos 4 x )dx
8
4 2
3
1
1
= x + sin 2 x + sin 4 x + C
8
4
32
2
4
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
(
)
Trang5
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
cos 3 x
∫ sin x dx
Ví duï11:Tính I =
Ñaët t = sinx, dt = cosxdx .
⇒I=
(1 − t 2 )dt
t2
sin 2 x
+C
=
−
+
=
+
ln
t
C
ln
sin
x
∫ t
2
2
§2 TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG
I-Tích phaân coù caän voâ haïn ( Tích phaân suy roäng loaïi 1)
1-Ñònh nghóa :
♦Ñònh nghóa 1 : Giaû söû f(x) xaùc ñònh treân [a,+∞) vaø khaû tích treân [a,b], ∀ b> a
b
* lim
b − > +∞
ñöôïc goïi laø tích phaân suy roäng cuûa f(x) treân [a, +∞) vaø kí hieäu
∫ f ( x)dx
a
+∞
+∞
a
a
∫ f ( x)dx . Töùc laø ∫ f ( x)dx =
laø
b
lim
b − > +∞
( 1a)
∫ f ( x)dx
a
♦Ñònh nghóa 2 : Giaû söû f(x) xaùc ñònh treân (-∞, b] ,khaû tích treân [a,b], ∀ a < b .
b
* lim
a → −∞
b
∫
goïi laø tích phaân suy roäng cuûa f(x) treân (-∞,b] kí hieäu laø
∫ f ( x)dx
a
f ( x)dx . Töùc laø
−∞
b
∫
f ( x)dx = lim
b
a − > −∞
−∞
(1b)
∫ f ( x)dx
a
♦Ñònh nghóa 3 : Giaû söû f(x) xaùc ñònh trong (-∞, +∞) , khaû tích treân [a,b],b∈R, a
< b, tích phaân suy roäng cuûa f(x) trong ( -∞,+∞) kí hieäu vaø xaùc ñònh nhö sau :
+∞
∫
+∞
c
∫
f ( x)dx =
∫ f ( x)dx
f ( x)dx +
−∞
−∞
vôùi c∈ R
( 1c)
c
Neáu caùc tích phaân suy roäng (1a), (1b), 1c) laø 1 soá höõu haïn thì ta noùi caùc tích
phaân suy roäng ñoù hoäi tuï, ngöôïc laïi neáu noù laø soá voâ haïn hoaëc khoâng toàn taïi ta noùi
noù phaân kyø.
Ví duï12 :Tính caùc tích phaân suy roäng sau :
a.
+∞
dx
∫1 (x + 1) 2
;
b)
1
dx
∫ x+3
−∞
Giaûi
a.
+∞
dx
1
dx
1
= lim −
= lim −
+
∫1 (x + 1) 2 = blim
∫
2
b − > +∞
− > +∞ ( x + 1)
b − > +∞
+
1
x
b
+
1
1
1
b
b
1 1
=
2 2
⇒Tích phaân suy roäng naøy hoäi tuï.
b.
1
1
dx
dx
1
= lim ln x + 3 a = lim (ln 4 − ln a + 3 ) = −∞
∫
∫−∞ x + 3 = alim
− > −∞
a − > −∞
x + 3 a − > −∞
a
⇒Tích phaân suy roäng naøy phaân kyø .
2.Tieâu chuaån hoäi tuï :
* Tröôøng hôïp f(x) ≥ 0 :
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang6
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
+∞
Ñònh lyù 6 :Neáu f(x) ≥ 0 treân [a,+ ∞) thì
∫ f ( x)dx hoäi tuï khi vaø chæ khi ∃ M >0
a
sao cho
b
∫ f ( x)dx ≤ Μ , ∀b
∈[a,+ ∞).
a
Ñònh lyù 7 : ( Tieâu chuaån so saùnh1) Giaû söû f(x) vaø g(x) khoâng aâm vaø khaû tích
treân [a,b], ∀ b ≥ a vaø f(x) ≤ g(x) ,∀x ≥ a. Khi ñoù :
+∞
+ Neáu
∫ g ( x)dx
hoäi tuï thì
+∞
∫ f ( x)dx
a
+∞
+ Neáu
∫
a
hoäi tuï
a
+∞
f ( x)dx phaân kyø thì ∫ g ( x)dx phaân kyø
a
Ñònh lyù 8 : ( Tieâu chuaån so saùnh 2 ) : Giaû söû f(x) vaø g(x) khoâng aâm vaø khaû
f ( x)
=k:
g ( x)
tích treân [a,b], ∀ b ≥ a vaø lim
x − > +∞
a)Neáu k = 0,
+∞
+∞
a
a
∫ g ( x)dx hoäi tuï =>
∫ f ( x)dx
hoäi tuï
b)Neáu 0 < k < + ∞, thì hai tích phaân cuøng tính chaát.
+∞
c)Neáu k = + ∞ :
∫
f ( x)dx hoäi tuï =>
+∞
∫ g ( x)dx
+∞
phaân kyø =>
∫ g ( x)dx
a
Ñònh lyù 9:
+∞
∫
a
Ví duï 13: Xeùt
x
∫ 1 + x dx
b
dx
Do
∫
vôùi x>1 ta coù:
1
phaân kì ( α = < 1) neân
2
x
Ví duï 14: Xeùt
phaân kyø
−∞
dx
1
∫ f ( x)dx
(b < 0) hoäi tuï khi a>1,phaân kyø khi a ≤ 1 .
∫ xα
1
+∞
+∞
a
dx
(a > 0) vaø
xa
+∞
hoäi tuï
a
a
+∞
x
∫ 1 + x dx
x
x
1
>
=
1+ x
x+x 2 x
phaân kì.
1
+∞
x3 2
∫2 1 + x 2 dx
x3 2
1
≈ 1 2 khi x-> +∞, töùc k = 1
2
x
1+ x
+∞
+∞
1
x3 2
Maø ∫ 1 2 dx phaân kyø neân ∫
dx phaân kyø
2
2 x
2 1+ x
Ta coù :
• Tröôøng hôïp f(x) coù daáu tuøy yù :
Ñònh lí 10 a: Tích phaân
+∞
∫ f ( x)dx
hoäi tuï khi vaø chæ khi :
a
( ∀ε > 0) ( ∃Α > 0) ( ∀b > A)( ∀b’> A)
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
b
∫
b'
f ( x ) dx 〈ε
Trang7
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
+∞
Ñònh lí 10 b : Neáu
+∞
∫ f ( x) dx hoäi tuï thì ∫ f ( x)dx hoäi tuï.
a
+ Neáu
+∞
a
∫
f ( x) dx hoäi tuï, ta noùi laø
+∞
+∞
a
+ Neáu
+∞
∫ f ( x)dx
hoäi tuï tuyeät ñoái.
a
∫ f ( x)dx
hoäi tuï nhöng
a
f ( x) dx phaân kyø thì ta noùi
∫
a
+∞
∫ f ( x)dx
hoäi tuï
a
khoâng tuyeät ñoái hoaëc baùn hoäi tuï.
a
Vôùi caùc tích phaân suy roäng
∫
f ( x)dx vaø
−∞
+∞
∫ f ( x)dx ta coù caùc tieâu chuaån töông töï.
−∞
II-Tích phaân suy roäng loaïi 2 :
1-Ñònh nghóa : Giaû söû f(x) khaû tích treân [a,c], ( ∀c∈ [a,b]) vaø lim f ( x) ) = ∞
x − >b −
Neáu toàn taïi giôùi haïn ( höõu haïn hay voâ cuøng)
b
c
lim
c − >b −
∫ f ( x)dx
=
∫ f ( x)dx
(1)
a
a
thì giôùi haïn ñoù goïi laø tích phaân suy roäng ( loaïi 2) cuûa f(x) treân [a,b]. Neáu (1) höõu
haïn thì ta noùi tích phaân suy roäng
b
∫ f ( x)dx
hoäi tuï, neáu giôùi haïn khoâng toàn taïi hoaëc
a
baèng voâ cuøng ta noùi tích phaân suy roäng naøy phaân kyø .
Ñònh nghóa hoaøn toaøn töông töï ñöôïc phaùt bieåu cho tröôøng hôïp lim f ( x) ) = ∞:
x −>a +
b
∫ f ( x)dx = ∫a f ( x)dx
b
lim
c −>a +
c
Neáu f(x) coù ñieåm giaùn ñoaïn voâ cuøng ôû d ∈(a,b) thì ta ñònh nghóa
b
d
b
a
a
d
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
( töùc laø tích phaân hoäi tuï khi vaø chæ khi hai veá cuûa tích phaân phaûi hoäi tuï )
2.Tieâu chuaån hoäi tuï :
Ñònh lí 11:
b
∫
0
dx
(b > 0) vaø
xα
0
dx
∫ x a (a < 0) hoäi tuï khi 0 < α < 1 , phaân kì khi α ≥ 1 .
a
b
-
Ñònh lí 12 : Neáu f(x) ≥ 0 treân [a,b] -> +∞ khi x -> b thì
∫ f ( x)dx hoäi tuï khi vaø
a
c
chæ khi ∫ f ( x )dx ≤ M coá ñònh, ∀ c ∈ [a,b)
a
Ñònh lí 13: Neáu f vaø g khoâng aâm vaø ôû laân caän traùi cuûa b, ta coù f(x) ≤ g(x) . Khi
ñoù :
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang8
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
b
b
a. ∫ g ( x)dx hoäi tuï thì
∫ f ( x)dx hoäi tuï
a
a
b
b.
∫
a
b
f ( x)dx phaân kì thì g ( x)dx phaân kì
∫
a
Ñònh lí 14 : Giaû söû f vaø g khoâng aâm vaø lim
x − >b
−
f ( x)
=k
g ( x)
b
b
a.Neáu k = 0 : ∫ g ( x)dx hoäi tuï =>
a
∫ f ( x)dx hoäi tuï
a
b. Neáu 0 < k < +∞ : thì hai tích phaân cuøng tính chaát.
b
c. Neáu k = + ∞ : ∫ f ( x)dx hoäi tuï => ∫ g ( x)dx hoäi tuï
b
a
a
b
b
∫ g ( x)dx phaân kì =>
∫ f ( x)dx phaân kì
a
a
Ñònh lí 15 : Neáu
b
∫ f (x )dx
b
hoäi tuï tuyeät ñoái ( töùc laø
∫ f ( x) dx hoäi tuï ) thì noù hoäi
a
a
tuï.
Ví duï15 : Xeùt söï hoäi tuï cuûa
(
)
ln 1 + 3 x
∫0 e sin x − 1 dx
1
Ta thaáy haøm döôùi daáu tích phaân trong (0,1] neân coù theå aùp duïng ÑL so saùnh
Khi x->0+ ta coù :
1
3
ln(1+ x ) ∼ x , esinx-1 ∼sinx ∼ x .
3
(
)
1
ln 1 + 3 x
x 3
Do ñoù : sin x
∼
∼
x
e −1
1
maø
x2 3
xeùt cuõng hoäi tuï.
1
∫
0
dx
x
2
3
hoäi tuï ( vì a <
2
< 1) neân tích phaân caàn
3
§3 ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH
I. Tính dieän tích hình phaúng :
1.Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = f(x), y = g(x) lieân tuïc ñôn trò
treân [a,b] vaø caùc ñöôøng x=a, x=b vôùi f(x) ≥ g(x), ∀x ∈[a,b] ñöôïc tính theo coâng
thöùc :
S=
b
∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
y
a
f(x)
s
g(x)
0
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
a
x
b
Trang9
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
2. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong cho theo phöông trình tham soá
x = x(t), y = y(t) vaø ñöôøng x = a, x= b, truïc Ox, ñöôïc tính theo coâng thöùc :
S=
t2
∫ y(t ).x' (t ) dt
vôùi a = x(t 1 ), b= x(t 2 )
t1
x(t), x’(t), y(t) lieân tuïc treân [t 1 , t 2 ]
3. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng y = f(x) vaø truïc Ox treân [a,b] ñöôïc
tính theo coâng thöùc :
S=
y
b
∫
f ( x) dx
a
=
c
∫
a
b
c
f ( x)dx − ∫ f ( x)dx
b
x
a
c
Ví duï 16:Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = x2, y =
Giaûi :
Dieän tích hình phaúng caàn tìm S = S 1 +S 2
x3
x2
Vôùi : S 1 = ∫ x 2 − dx =
2
6
2
0
S 2 = ∫ 2 x −
y = 2x
8
8 4
= =
6 3
8
dx =
3
2
4 8
Vaäy S = S 1 +S 2 = + = 4 (ñvdt)
3 3
4
y
x2
, y =2x
2
2
x
2
y = x2
4
S1
0
x
2
II.Theå tích vaät theå :
1- Vaät theå baát kyø :
Theå tích vaät theå höõu haïn giôùi haïn bôûi 1 maët cong vaø 2 maët phaúng x = a, x = b coù
tieát dieän caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc truïc Ox taïi x, a≤ x ≤ b laø S(x) lieân tuïc treân
[ a,b] ñöôïc tính theo coâng thöùc :
b
V = ∫ S ( x)dx .
a
2- Vaät theå troøn xoay
Theå tích vaät theå troøn xoay do hình thang cong giôùi haïn bôûi ñöôøng x = a, x = b,
y = b f(x) ≥ 0 lieân tuïc treân [a,b], truïc Ox , quay quanh truïc Ox ñöôïc tính theo coâng
thöùc :
1
V = π∫ f 2 ( x )dx
0
Ví duï 17: Tính theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng
y = x2, y = x quay quanh truïc Ox.
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang10
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
Giaûi :
Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ñaõ cho laø :
V = V1 - V 2
Vôùi V 1 laø theå tích troøn xoay do hình phaúng giôùi
haïn bôûi y = x , x=1, truïc Ox, quay quanh Ox :
1
V1 = π ∫
( )
x2
x dx = π
2
1
2
0
=
0
y = x2
y
y= x
π
2
1
0
ø V 2 do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = x2 ,
x=1,truïc Ox, quay quanh Ox:
1
V 2 = π∫ (x
)
2 2
0
Vaäy V =
π
2
−
π
5
1
x5
dx = π
5
=
=
0
π
5
3π
(ñvtt)
10
III. Ñoä daøi cung phaúng :
1. Ñoä daøi cung L töø A (a,f(a)) ñeán B (b,f(b)) cuûa ñöôøng cong y = f(x) coù ñaïo haøm
lieân tuïc treân [a,b] ñöôïc tính theo coâng thöùc :
(ñdL)=
b
∫
1 + ( y ') dx
2
a
Ví duï 18: Tính ñoä daøi d cuûa cung phaúng cuûa ñöôøng y = lnx töø ñieåm coù hoaønh ñoä
x 1 = 3 ñeán ñieåm coù hoaønh ñoä x 2 = 8
Giaûi :
y
Ñoä daøi cung phaúng AB ñaõ cho laø :
8
d=
∫
1 + [(ln x )'] dx =
2
3
d=
∫
x + 1 => u = x + 1 => xdx = udu
2
∫ (1 +
2
1
1 + dx
x
3
3
Ñaët u =
2
8
2
2
A
0
1
3
lnx
B
8
1
du ) = 1+ 1 ln 3 .
2
u −1
2 2
2. Ñoä daøi cung L töø A (x(t 1 ), y(t 1 )) ñeán B(x(t 2 ), y(t 2 )) cuûa ñöôøng cho theo
phöông trình tham soá x = x(t), y = y(t) coù x’(t), y’(t) lieân tuïc vaø bieán thieân ñôn
ñieäu treân [t 1 , t 2 ] ñöôïc tính theo coâng thöùc :
t2
(ñdL) = ∫ ( x' t ) 2 + ( y' t ) 2 dt
t1
IV. Dieän tích maët troøn xoay :
Dieän tích cuûa maët troøn xoay do cung ñöôøng cong y = f(x), x∈[a,b] quay quanh
truïc Ox taïo thaønh ñöôïc tính theo coâng thöùc :
b
S = 2π∫ f ( x ) 1 + f ' 2 ( x )dx
a
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang11
TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN VAØ ÖÙNG DUÏNG
SVTH-NGOÂ THÒ THANH THAÛO
Ví duï19: Tính dieän tích cuûa maët xuyeán do ñöôøng troøn x2 + (y – b)2 = a2 ( b>a>0)
quay xung quanh truïc Ox taïo thaønh .
Giaûi :
Nöûa treân ñöôøng troøn coù phöông trình y = b + a 2 − x 2 , nöûa döôùi coù phöông trình
y = b - a 2 − x 2 , x ∈[-a,a]. Maët xuyeán coù dieän tích baèng dieän tích hai nöûa ñöôøng
troøn naøy quay xung quanh Ox taïo thaønh . Do ñoù :
a
S = 2π ∫ b + a 2 − x 2 1 +
−a
a
= 4πab ∫
−a
x2
x2
2
2
dx
+
dx
2
π
b
−
a
−
x
1
+
∫−a
a2 − x2
a2 − x2
a
dx
x
= 4 πab arcsin
2
2
a
a −x
a
= 4 πab.2.
−a
π
= 4 π 2 ab
2
V- Moät vaøi öùng duïng vaät lyù :
1-Tính khoái löôïng :
Giaû söû coù moät ñoaïn vaät chaát [a,b] naèm treân truïc Ox vaø moãi x ∈[a,b] ñoaïn vaät
chaát naøy coù maät ñoä khoái löôïng laø p(x).
b
Khoái löôïng cuûa ñoaïn vaät chaát ñöôïc tính theo coâng thöùc : m = ∫ p( x )dx .
a
2-Tính coâng cuûa moät löïc bieán thieân
Giaû söû coù moät chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng moät chuyeån ñoäng töø a ñeán b döôùi
taùc ñoäng cuûa moät löïc f höôùng theo truïc Ox, löïc naøy taïi ñieåm x ∈[a,b] coù cöôøng
ñoä laø F(x) . Coâng thöùc sinh ra khi löïc laøm chaát ñieåm chuyeån ñoäng töø a ñeán b ñöôïc
tính theo coâng thöùc :
b
A = ∫ F( x )dx
a
Ví duï 20: Löïc ñaåy cuûa hai ñieän tích e 1 vaø e 2 cuøng daáu ñaët caùch nhau moät
khoaûng r cho bôûi coâng thöùc : F =
e1e 2
. Giaû söû ñieän tích e 1 ñöôïc ñaët coá ñònh
r2
taïiñieåm goáùc coù hoaønh ñoä x = 0. Haõy tính coâng sinh ra laøm cho ñieän tích e 2 dòch
chuyeån töø ñieåm M 1 coù hoaønh ñoä r 1 ñeán ñieåm M 2 coù hoaønh ñoä r 2 .
Aùp duïng coâng thöùc treân ta coù :
A=
e1e 2
e e (r − r )
dr = 1 2 2 1
2
r1 r2
r1 r
r2
∫
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang12
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
PHAÀN II
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ TREÂN KHOÂNG GIAN
BANACH VAØ ÖÙNG DUÏNG
§1-KHOÂNG GIAN BANACH
I-Ñònh nghóa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån :
1-Ñònh nghóa:
* Ñònh nghóa1:Giaû söû E laø khoâng gian tuyeán tính treân tröôøng voâ höôùng K vaøø
R* = [0,+∞ ) ⊂ R . Haøm soá P : E → R* (x → P(x) ) ñöôïc goïi laø chuaån treân E , neáu
noù thoûa maõn 3 ñieàu kieän sau ñaây :
(I)
P(x) ≥ 0 ; P(x) = 0 khi vaø chæ khi x = 0 .
(II) P(λx) = |λ|P(x) , vôùi moïi x ∈ E vaø λ ∈ K .
(III) P(x+y) ≤ P(x) + P(y) , vôùi moïi x , y ∈ E .
* Ñònh nghóa 2 : Moät khoâng gian tuyeán tính E maø treân noù coù xaùc ñònh moät
chuaån ñöôïc goïi laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån . Giaù trò cuûa chuaån taïi x ∈ E
thöôøng kyù hieäu laø x . Khi ñoù caùc ñieàu kieän töø (I) ñeán (III) ñöôïc vieát nhö sau:
(I)
x ≥ 0 ;
(II)
||λx || =
x = 0 khi vaø chæ khi x= 0 .
|λ| x
(III) x + y ≤ x + y ; ∀ x,y ∈ E .
2-Ví duï 1:
K (K = R hay C ) laø khoâng gian ñònh chuaån vôùi chuaån ôclic thoâng thöôøng :
n
x =
x1 + .... + x n
2
2
x = (x 1 ,…, x n ) ∈ Kn
Vaø nhö vaäy tröôøng voâ höôùng K = K1 laø khoâng gian ñònh chuaån .
II- Daõy Cauchy :
Moät daõy {x n } trong khoâng gian chuaån E ñöôïc goïi laø daõy cô baûn (hay daõy
Cauchy) neáu :
*
lim x n − x m = 0 ,töùc laø vôùi moïi soá ε > 0 cho tröôùc , toàn taïi soá n 0 ∈ N sao
n, m →∞
cho vôùi moïi n > n 0 , m > n 0 (n,m ∈ N* ) ta coù :
xn − xm < ε .
III-Söï hoäi tuï trong khoâng gian ñònh chuaån:
Cho x n laø daõy trong khoâng gian ñònh chuaån E:
+ x n → x o (daõy x n hoäi tuï tôùi x o ) nghóa laø x n − x o → 0
+ Neáu x n → x o thì x n → x o . Hay chuaån x laø moät haøm lieân tuïc
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang 14
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
+ Moïi daõy hoäi tuï ñeàu bò chaën, töùc laø: neáu x n hoäi tuï thì ∃ k > 0 sao cho:
xn ≤ k
IV- Ñònh nghóa khoâng gian Banach :
1- Ñònh nghóa :Moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E ñöôïc goïi laø khoâng gian
tuyeán tính ñònh chuaån ñaày ( goïi taét laø khoâng gian chuaån ñaày ) neáu moïi daõy cô
baûn cuûa E ñeàu hoäi tuï .
Khoâng gian chuaån ñaày ñöôïc goïi laø khoâng gian Banach .
2- Ví duï 2:
a) Tröôøng voâ höôùng K vôùi chuaån ñaõ neâu trong ví duï 1.3 laø khoâng gian Banach
b) Giaû söû E 1 , E 2 , … , E n laø caùc khoâng gian Banach vôùi chuaån töông öùng :
x1 , x 2 , … , x n , vôùi x i ∈ E i , i= 1, n .Khi ñoù khoâng gian tích :
E = E1 × E2 × … × En .
vôùi chuaån : x = x1 + x 2 + … + x n , x = (x 1 , … , x n ) ∈ E .
laø moät khoâng gian chuaån .
♦ Baây giôø ta noùi veà söï hoäi tuï trong E. Ta coù daõy :
x k = ( x 1 (k) , x 2 (k) , … , x n (k) ) → x = ( x 1 , … , x n ) .
Khi vaø chæ khi :x j (k) → x j ( k → ∞ , j = 1, n ) .
Thaät vaäy, ta coù :
(k )
(k )
(k )
(k )
x1 ,..., x n − ( x1 ,.., x n ) = x1 − x1 ,..., x n − x n
)
(
(
)
= x1(k ) − x1 + … + x n (k ) − x n → 0 .
khi vaø chæ khi : x j (k ) − x j → 0 vôùi moïi j = 1, n .
♦Baây giôø ta chöùng minh raèng E laø khoâng gian Banach .
Giaû söû {x k } laø daõy cô baûn trong E . Khi ñoù vôùi moãi j = 1, n , ta coù :
xj
(k )
− xj
(1)
≤ x1
(k )
− x1
{ }
(1)
+ … + x n (k ) − x n (1) = x1(k ) − x1(1) ,..., x n (k ) − x n (1) .
Do ñoù , caùc daõy x j (k ) , j = 1, n ñeàu laø daõy cô baûn trong E j , j = 1, n .
(k)
Vì vaäy ta coù : x j → x j ∈ E j , j = 1, n .
Chöùng toû raèng : {x k } ⊂ E hoäi tuï tôùi x = (x 1 , …, x n )
∈E.
Töø ñoù , vì K laø khoâng gian Banach neân Kn cuõng laø khoâng gian Banach.
§2 TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
I-Tích phaân phuï thuoäc tham soá vôùi mieàn laáy tích phaân khoâng ñoåi :
1- Ñònh nghóa :
Cho haøm f :D × U → F vôùi giaù trò trong khoâng gian Banach F , ôû ñaây D laø taäp
compac trong Rn coøn U laø khoâng gian meâtric .
Giaû söû vôùi moãi u ∈ U haøm x a f (x,u) ∈ F khaû tích treân D . Khi ñoù tích phaân
∫ f (x, u )dx toàn taïi vaø xaùc ñònh moät haøm
D
I :U → F
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang 15
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
I(u) =
∫ f (x, u )dx
,u∈U.
D
Bieåu thöùc ôû veá phaûi ñaúng thöùc treân ñaây goïi laø tích phaân phuï thuoäc tham soá
u ∈ U vôùi mieàn laáy tích phaân khoâng ñoåi D .
2- Tính chaát :
a-Tính lieân tuïc :
Ñònh lyù1 : Giaû söû f : D x U → F laø haøm vôùi giaù trò trong khoâng gian
Banach F ,D ⊂ Rn laø taäp compac coù theå tích , coøn U laø khoâng gian meâtric .Khi ñoù
haøm
I :U → F
I(u) = ∫ f (x, u )dx , u ∈ U laø xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân U.
D
b- Tính khaû vi:
Ñònh lyù2 :Giaû söû D ⊂ Rn laø taäp compac coù theå tích , U laø taäp môû trong
khoâng gian Banach E vaø f :D × U → F laø haøm lieân tuïc treân D × U vôùi giaù trò
trong khoâng gian Banach F . Neáu :
∂f
: D ×U → L ( E , F )
∂u
∫ f (x, u )dx , u ∈ U
toàn taïi vaø lieân tuïc treân D x U , thì haøm I(u) =
D
xaùc ñònh vaø khaû vi lieân tuïc treân U . Ngoaøi ra
∂f
(x, u )dx ,vôùi moïi u
∂
u
D
I’(u) = ∫
1
∈U
x
u
Ví duï3: Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá :F(u) = ∫ arctg dx (u ≠ 0) .
0
x
1
2
xdx
1
= - ln u 2 + x 2
F’(u) = ∫ u 2 dx = - ∫ 2
2
2
x
0 u + x
0
1+ 2
u
−
1
(
)
1
=
0
1
u2
.
ln
2 1+ u2
c- Tính khaû tích :
Ñònh lyù 3:Giaû söû D vaø U laø caùc taäp compac coù theå tích Rn vaø Rm töông öùng,
F laø khoâng gian Banach . Neáu haøm f : D × U → F lieân tuïc thì haøm I: U → F
cho bôûi I(u) = ∫ f (x, u )dx khaû tích treân U vaø
D
∫ I (u )du
U
=
∫ du ∫ f (x, u )dx
U
D
=
∫ dx ∫ f (x, u )du
D
Ví duï 4: Xeùt haøm voâ höôùng : (x , y) a xy vôùi x
( 0 < a < b ) . Khi ñoù tích phaân :
I(x) =
b
∫x
y
dy
.
U
∈ [ 0 ,1 ] , y ∈ [ a , b ]
, x ∈ [ 0 , 1 ] laø haøm khaû tích treân ñoaïn [ 0 , 1 ] .
a
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang 16
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
1
Vaäy ta coù : ∫ I ( x )dx =
0
1
b
∫ dx ∫ x
0
=
y
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
dy =
1
b
∫ dy ∫ x
1
x y +1
∫a y + 1 dy =
0
b
dx
0
a
a
y
b
dy
b +1
∫ y + 1 = ln a + 1
.
a
II-Tích phaân phuï thuoäc tham soá vôùi mieàn laáy tích phaân thay ñoåi
1-Ñònh nghóa : Cho ñoaïn [ a , b] ⊂ R vaø U laø khoâng gian meâtric . Khi ñoù vôùi hai
haøm α vaøβ töø U vaøo [ a , b ] .
Ta xeùt taäp con Dαβ = { (x, u)
∈ R x U : x ∈ [α (u) , β (u) ] }
Hieån nhieân : [α(u) , β (u) ] x {u} ⊂ Dαβ vôùi u ∈ U , vaø Dαβ laø taäp con ñoùng khi
α vaøβ laø hai haøm lieân tuïc .
Baây giôø cho f : Dαβ → F laø haøm lieân tuïc töø Dαβ vaøo khoâng gian Banach F sao
cho vôùi moïi u ∈ U,haøm x a f(x,u) khaû tích treân [α(u), β(u)].
Nhö vaäy , coù theå xaùc ñònh haøm J : U → F bôûi J(u) =
β (u )
∫ f (x, u )dx , u ∈ U .
α (u )
Ñoù laø moät daïng tích phaân phuï thuoäc tham soá vôùi mieàn laáy tích phaân
D(u) = [α(u) , β (u) ] cuõng phuï thuoäc tham soá .
2-Tính chaát :
a-Tính lieân tuïc :
Ñònh lyù 1 : Giaû söû U laø khoâng gian meâtric , α , β : U → [ a, b ] ⊂ R laø hai
haøm lieân tuïc vaø f laø haøm lieân tuïc töø moät laân caän môû G cuûa Dαβ trong R xU vaøo
khoâng gian Banach F . Khi ñoù haøm
J(u) =
β (u )
∫ f (x, u )dx , u ∈ U
α (u )
xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân U.
b-Tính khaû vi :
Ñònh lyù2: Cho U laø taäp môû trong khoâng gian Banach E vaø α , β : U → [ a, b ]
laø hai haøm khaû vi lieân tuïc . Giaû söû f : G → F laø haøm lieân tuïc treân moät laân caän
môû G cuûa Dαβ trong R x U sao cho toàn taïi ñaïo haøm rieâng
(x , u)
∈
Neáu
∂f
: Dαβ → L(E ,F) lieân tuïc thì haøm J(u) =
∂u
∂f
taïi moïi
∂u
Dαβ .
β (u )
f ( x, u )dx , u ∈ U ,xaùc ñònh vaø
∫
α( )
u
khaû vi lieân tuïc treân U . Ngoaøi ra:
∂f
J’(u) = ∫ (x,u)dx + β’(u) f[β (u) , u ] – α’ (u) f [ α (u) , u ] .
∂u
Ví duï5 : Tính J’(u) neáu : J(u) =
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
ln(1 + ux )
dx , (u ≠ 0) .
x
0
u
∫
Trang 17
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
(ñieåm x = 0 laø ñieåm kyø dò boû ñöôïc ) .
ln(1 + ux)
1
1+ u2
Ta coù : J’(u) = ∫
=
dx + ln
1 + ux
u
u
0
u
u
ln(1 + u 2 )
2
= ln 1 + u 2
u
u
(
+
0
)
II-Tích phaân phuï thuoäc tham soá vôùi caän voâ taän
1- Ñònh nghóa :
Xeùt haøm f : [ a , + ∞ ) × U → F , vôùi [ a , + ∞ ] ⊂ R , U laø taäp tuøy yù, coøn F laø
khoâng gian Banach .
+∞
∫ f (x, u )dx ∈ F
Giaû söû vôùi moïi u ∈ U , tích phaân
hoäi tuï , töùc laø toàn taïi giôùi
a
haïn
A
lim ∫
f ( x, u )dx vôùi moïi u
A→ +∞ a
+∞
∈ U . Khi ñoù ϕ (u ) = ∫ f (x, u )dx , u ∈ U (1) laø
a
haøm töø U → F .
Tích phaân daïng (1)laøtích phaân phuï thuoäc tham soá vôùi caän voâ taän .
Töông töï , ta coù haøm ψ : U → F cho bôûi ψ(u) =
b
∫ f (x, u )dx
,u∈U
(2)
−∞
vaø haøm χ : U → F daïng χ(u)=
+∞
∫ f (x, u )dx , u ∈ U
(3)
−∞
trong ñoù ta hieåu
+∞
∫
f ( x, u )dx =
−∞
c
∫
f ( x, u )dx +
−∞
+∞
∫ f (x, u )dx
phaûi hoäi tuï vôùi c baát kyø ∈ ( -∞ , +∞ )
Ví duï5: Xeùt haøm f : [ 0 , + ∞ ) × R → R cho bôûi :
+∞
Khi ñoù : u = ϕ (u) =
∫ ue
−ux
, neáu caû hai tích phaân ôû veá
c
f (u,x) = u e-u x
dx .Haõy tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá ϕ .
0
A
Ta coù : ∫ ue
− ux
dx = −e
− ux
A
0
-Au
= 1–e
0
neân lim ∫ ue −ux dx = lim (1 − e − Au ) =
A
A → +∞
0
A → +∞
1 voi u > 0
= 0 voi u = 0
− ∞ voi u < 0
Vì vaäy mieàn xaùc ñònh cuûa haøm ϕ laø [ 0 , + ∞ )
2- Söï hoäi tuï ñeàu :
a- Ñònh nghóa : Ta baûo tích phaân
+∞
∫ f (x, u )dx
hoäi tuï ñeàu trong F veà haøm ϕ
a
treân U, neáu vôùi moïi soá ε > 0 cho tröôùc , toàn taïi A 0 > a sao cho vôùi moïi A > A 0
vaø moïi u ∈ U , ta coù
+∞
∫ f (x, u )dx
<ε .
A
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang 18
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
Ví duï6 : Xeùt söï hoäi tuï ñeàu cuûa tích phaân :
+∞
∫e
−ux
0
Ta coù : ∫ e + ax sin bxdx =
e
ax
sin x
dx treân taäp u ≥ 0
x
(a sin bx − b cos bx ) , vôùi a, b laø haèng soá .
2
2
a +b
e (u sin x + cos x )
neân ∫ e −ux sin xdx = −
+ C = Φ u (x ) + C
1+ u2
Maët khaùc vôùi x ≥ 0vaø u ≥ 0 thì :
e − ux
( u sin x + cos x ) ≤ u2 + 1 ≤ 2u + 21 ≤ 1 + 1 = 3
Φ u (x ) ≤
2
2
u +1 u +1 u +1 2
1+ u
− ux
Aùp duïng vaøo tích phaân ñang xeùt ta ñöôïc :
+∞
− ux
∫e
A
Φ ( x)
sin x
dx ≤ u
x
x
≤
≤
Vì vaäy , neáu choïn A 0 =
+∞
∫ε
− ux
A
3
ε
+∞
+∞
+
∫
Φ u ( x)
A
A
x2
Φ u ( A) +∞ Φ u ( x)
+∫
dx
A
x2
A
3 3
+
2A 2
+∞
dx
∫x
2
=
A
3
3
3
+
=
2A 2A A
thì vôùi moïi A > A 0 ta coù :
sin x
3
3
dx ≤ <
=ε
x
A A0
Vôùi moïi u ≥ 0.
Chöùng toû tích phaân noùi treân hoäi tuï ñeàu trong R vôùi moïi u ∈ [ 0 , +∞ )
b. Ñònh lyù 3ù : (Daáu hieäu hoäi tuï ñeàu ) .
Ñoái vôùi tích phaân
+∞
∫ f (x, u )dx
( giaû söû noù toàn taïi vôùi moïi u ∈ U )
a
Neáu coù haøm Φ : [ a , + ∞ ) → R+sao cho f (x, u ) ≤ Φ(x ) vôùi moïi u
∈ U vaø moïi
x∈[a,+∞)
Vaø tích phaân
+∞
+∞
a
a
∫ f (x )dx hoäi tuï thì tích phaân ∫ f (x )dx hoäi tuï ñeàu ñoái vôùi u ∈ U
Ví duï 7: Xeùt söï hoäi tuï ñeàu cuûa tích phaân :
+∞
∫e
−ux
sin xdx
(3)
0
trong nöûa ñoaïn [ u 0 , +∞ ), ôû ñoù u 0 laø soá döông baát kyø .
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
Trang 19
TÍCH PHAÂN PHUÏ THUOÄC THAM SOÁ
SVTH: NGOÂ THÒ THANH THAÛO
Vôùi moïi x ≥ 0 vaø vôùi moïi u ≥ u 0 > 0, ta coù : e −ux sin x ≤ e −ux ≤ e −u x .
0
Maët khaùc ta coù :
+∞
∫e
0
−u0 x
+∞
− e −u0 x
dx =
u0 .
0
1
=
töùc laø
u0
+∞
∫e
−u0 x
dx hoäi tuï .
0
Vaäy tích phaân (3) hoäi tuï ñeàu trong nöûa ñoaïn [ u o , + ∞ )
3 - Tính chaát cuûa tích phaân phuï thuoäc tham soá vôùi caän voâ taän :
a-Tính lieân tuïc :
Ñònh lyù 4: Neáu haøm f : [ a , +∞ ) × U → F , ôû ñaây U laø khoâng gian Meâtric
coøn F laø khoâng gian Banach , lieân tuïc vaø tích phaân
+∞
∫ f (x, u )dx
hoäi tuï ñeàu ñoái vôùi
a
u ∈ U, thì haøm ϕ : U → F cho bôûi: ϕ (u) =
+∞
∫ f (x, u )du
,u
∈ U lieân tuïc treân U.
a
b- Tính khaû tích :
Ñònh lyù 5 : Giaû söû thoaû maõn taát caû caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù 4 vaø ngoaøi ra taäp
U ⊂ Rn laø compac vaø coù theå tích . Khi ñoù haøm ϕ : U → F cho bôûi :
ϕ (u ) =
+∞
∫ f (x, u )dx , u ∈ U khaû tích treân U .
a
+∞
+∞
a
a
Hôn nöõa ta coù : ∫ ϕ (u )du = ∫ du ( ∫ f ( x, u )dx) = ∫ dx( ∫ f ( x, u )du )
U
U
U
c-Tính khaû vi:
Ñònh lyù 6 :Gæa söû U laø taäp môû trong trong khoâng gian Banach E,F laø khoâng
gian Banach .Gæa söû haøm f:[a,+∞) x U →F lieân tuïc vaø ñaïo haøm rieâng
lieân tuïc treân [a,+∞) x U.Neáu caùc tích phaân
+∞
∫ f ( x, u )dx
hoäi tuï vôùi u∈ U vaø
a
∫
+∞
a
∂f
(x,u)dx hoäi tuï ñeàu ñoái vôùi u ∈ U , thì haøm:
∂u
ϕ : U → F vôùi ϕ (u) =
+∞
∫ f (x, u )dx
, u ∈ U khaû vi treân U vaø
a
GIAÙO DUÏC TIEÅU HOÏC –K6
∂f
cuõng
∂u
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
24 
3 
64 
