Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
Lời nói đầu
Lượng giác là một trong những vấn đề rất quan trọng của Toán học,
việc vận dụng các hệ thức lượng giác trong tam giác để đưa ra và chứng minh
các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác giữ vai trò đặc biệt
trong giải toán lượng giác. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác là hai
hệ thức quan trọng, là công cụ rất có hiệu lực để giải quyết công việc đó. Học
sinh được rèn luyện nhiều về các bài toán chứng minh các đẳng thức, bất dẳng
thức lượng giác không chỉ giúp cho họ hiểu rõ hơn những ứng dụng của các
định lý này trong tính toán cũng như trong thực tế mà còn giúp họ luyện tập
các kĩ năng giải toán lượng giác.
Để góp phần làm rõ tính ưu việt của hai định lý này trong việc giải các
bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện
và có điều kiện cũng như với mong muốn của bản thân được nắm chắc và sâu
hơn về kiến thức lượng giác ở bậc THPT để sau này ra trường dạy học được
tốt hơn. Mặt khác, với mong muốn giúp các em học sinh không chỉ đào sâu
kiến thức, mà còn thấy được vai trò hết sức quan trọng của kiến thức lượng
giác trong Toán học. Chính vì những lí do kể trên, dưới sự hướng dẫn của
thầy giáo Phan Hồng Trường, em đã nhận đề tài: “Định lý côsin và định
lý sin trong tam giác” làm khoá luận tốt nghiệp cho mình.
Trong khoá luận này, em xin được trình bày một số vấn đề quan trọng
sau đây:
Chương I: Một số kiến thức cần thiết
Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
không có điều kiện.
Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
có điều kiện.
Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành trong thời gian ngắn nên khó
tránh khỏi những khiếm khuyết và sai sót. Kính mong được sự góp ý, trao đổi
của các thầy, cô giáo cùng toàn thể các bạn sinh viên trong khoa để khoá luận
này được hoàn thiện hơn khi đến với bạn đọc.
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên thực hiện
Đỗ Thị Phương
Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Khoá luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa, vận dụng những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Tác giả
Đỗ Thị Phương
Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
Các kí hiệu dùng trong khoá luận
Trong tam giác ABC, ta kí hiệu:
a, b, c: độ dài các cạnh của tam giác (a = BC, b = CA, c = AB);
A, B, C: ba góc ở đỉnh A, B, C của tam giác;
ha, hb, hc: độ dài các đường cao tương ứng của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B,
C;
ma, mb, mc: độ dài các đường trung tuyến của tam giác lần lượt kẻ từ các đỉnh
A, B, C;
la, lb, lc: độ dài các đường phân giác trong của các góc A, B, C tương ứng;
R, r: bán kính đường ngoại tiếp và nội tiếp tam giác;
ra, rb, rc: bán kính các bàng tiếp các góc A, B, C tương ứng;
S: diện tích tam giác;
abc
p: nửa chu vi của tam giác p
.
2
Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
Mục lục
Trang
Lời nói đầu
1
Lời cam đoan
2
Các kí hiệu dùng trong khoá luận
3
Chương I: Một số kiến thức cần thiết
4
Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
không có điều kiện
10
I. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
không có điều kiện
II. Giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
không có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin và
định lý côsin mở rộng trong tam giác.
III. Một số ví dụ
IV. Bài tập đề nghị
10
10
11
32
Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
có điều kiện
I. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
có điều kiện
II. Giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác
có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin và định lý côsin
mở rộng trong tam giác.
III. Một số ví dụ
IV. Bài tập đề nghị
35
36
45
Kết luận
48
Tài liệu tham khảo
50
35
35
Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
Chương I: Một số kiến thức cần thiết
I. Định lý côsin trong tam giác:
Định lý: Với mọi ABC, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA;
b2 = a2 + c2 – 2accosB;
c2 = a2 + b2 – 2bccosC;
Hệ quả:
b2 c 2 a 2
;
cos A
2bc
cos B
a 2 c 2 b2
;
2ac
cos C
a 2 b2 c 2
;
2ab
II. Định lý sin trong tam giác:
Với mọi ABC, ta có:
a
b
c
2R .
sin A sin B sin C
III. Định lý côsin mở rộng:
Trong ABC bất kì, ta có:
b2 c 2 a 2
;
cot gA
4S
cot gB
a 2 c2 b2
;
4S
cot gC
a 2 b2 c 2
;
4S
Chứng minh:
Theo định lý côsin, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA
= b2 + c2 – 2bcsinA.cotgA(*)
1
2
Ta lại có: S bc sin A sin A
2S
thay vào (*) ta được:
bc
Khoá luận tốt nghiệp
a 2 b2 c 2 2bc.
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
b2 c 2 a 2
2S
.cot gA cot gA
4S
bc
a 2 c2 b2
Chứng minh tương tự, ta cũng được: cot gB
4S
cot gC
a 2 b2 c 2
.
4S
IV. Một số kiến thức quan trọng khác:
1. Công thức về diện tích tam giác:
1
1
1
S aha bhb chc ;
2
2
2
1
1
1
S ab sin C acsinB bc sin A;
2
2
2
abc
;
4R
S pr ;
S
S
p( p a)( p b)( p c) : Công thức Hê-rông;
S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rc ;
2. Công thức về bán kính các đường tròn:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
S
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:
r
abc
a
b
c
4 R 2sin A 2sin B 2sin C
S
A
B
C
( p a)tg ( p b)tg ( p c)tg
p
2
2
2
Bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác:
ra
S
A
ptg ;
pa
2
rb
S
B
ptg ;
p b
2
rc
S
C
ptg ;
pc
2
3. Công thức trung tuyến của tam giác:
b2 c 2 a 2
ma 2 4 ;
2
Khoá luận tốt nghiệp
mb
2
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
a 2 c2 b2
;
2
4
a 2 b2 c 2
mc 2 4 ;
2
4. Công thức phân giác trong của tam giác:
la
2bc
A 2 bc
cos =
bc
bc
2
p ( p a );
lb
2ac
B 2 ac
cos =
ac
ac
2
p( p b);
lc
2ab
C 2 ab
cos =
ab
ab
2
p ( p c);
5. Một số đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác:
a, sinA + sinB + sinC = 4cos
A
B
C
cos cos
2
2
2
b, sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC
c, cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin
A
B
C
sin sin
2
2
2
(1)
(2)
(3)
d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4 cosA cosB cosC
(4)
e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC ( ABC không vuông)
f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = 1
(5)
(6)
g, cotg
h, tg
A
B
C
A
B
C
+ cotg + cotg = cotg cotg cotg
2
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2
(7)
(8)
Chứng minh:
A B
A B
cos
+ sinC
2
2
a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin
= 2cos
C
A B
C
C
cos
+ 2 sin cos
2
2
2
2
C
2
= 2cos ( cos
= 4 cos
A B
A B
+ cos
)
2
2
C
A
B
cos cos
2
2
2
Vậy công thức (1) đúng.
b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC
Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
= 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B)
= 2sinC[cos(A-B) - cos(A+B)]
= 4 sinC sinA sinB.
Vậy công thức (2) đúng.
c, Ta có: cosA + cosB + cosC = 2cos
= 2sin
A B
A B
cos
+ cosC
2
2
C
A B
C
cos
+ 1-2sin2
2
2
2
= 1 + 2sin
C
A B
A B
[cos
- cos
]
2
2
2
= 1 + 4 sin
C
A
B
sin sin .
2
2
2
Vậy công thức (3) đúng.
d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos2C – 1
= -2cosC cos(A-B) – 2 cosC cos(A+B) – 1
= -1 – 2cosC[cos(A-B) + cos(A+B)]
= -1 - 4 cosA cosB cosC.
Vậy công thức (4) đúng.
e, Ta có: A + B + C = A + B = -C tg(A+B) = tg( -C)
tg(A+B) = -tgC
tgA tgB
tgC
1 tgAtgB
tgA + tgB = -tgC + tgAtgBtgC
tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
Vậy công thức (5) đúng.
f, Chứng minh tương tự công thức (5).
g, Ta có: A, B, C là 3 góc của ABC . Khi đó:
A
B
C 3 A B C
( )( )( )
2 2
2 2
2 2
2
Hay
2
2
3
2 2
A B C
, , cũng là 3 góc của ABC .
2 2 2 2 2
Từ (5) ta có:
tg(
2
A
B
C
A
B
C
) + tg ( ) + tg ( ) = tg( ) tg ( ) tg ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
Khoá luận tốt nghiệp
cotg
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
A
B
C
A
B
C
+ cotg + cotg = cotg cotg cotg
2
2
2
2
2
2
Vậy công thức (7) được chứng minh.
h, Chứng minh tương tự công thức (7), từ công thức (6) ta suy ra công thức (8).
6. Một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác:
a, sinA + sinB + sinC
3 3
2
b, 1< cosA + cosB + cosC
c, cos
(9)
3
2
(10)
3
A
B
C
+ cos + cos
2
2
2
2
d, 1 < sin
(11)
3
A
B
C
+ sin + sin
2
2
2
2
(12)
e, cotgA + cotgB + cotgC 3
f, tg
A
B
C
+ tg + tg 3
2
2
2
(13)
(14)
g, cotg2A + cotg2B + cotg2C 1
(15)
A
B
C
+ tg2 + tg2 1
2
2
2
(16)
h, tg2
Chứng minh:
a, Ta có:
C
C
A B
A B
3 cos
3
sinA + sinB + sinC + sin = 2sin
cos
+ 2sin
2
2
3
2
2
C
C
A B
A B
= 2sin
cos
+2sin ( ) cos ( )
2 6
2 6
2
2
C
A B
2sin
+2sin ( )
2 6
2
(vì 0 < cos A B 1và 0
1 ( vì sin , sin , sin >0)
2
2
2
2
2
2
3
3
A B
A B
C
2cos
cos
+ 1-2sin2
2
2
2
2
2
4sin2
C
C
A B
-4sin cos
+1 0
2
2
2
(2sin
C
A B 2
A B
0 : luôn đúng
-cos
) + sin2
2
2
2
Vậy bất đẳng thức (10) đúng.
c, Bất đẳng thức (11) được suy ra từ (9).
d, Bất đẳng thức (12) được suy ra từ (10).
e, Ta có: cotgA + cotgB + cotgC 3
(cotgA + cotgB + cotgC)2 3
cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA)
3
cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2 3
cotg2A + cotg2B + cotg2C -1 0
cotg2A + cotg2B + cotg2C -(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA) 0
(cotgA -cotgB)2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2 0: luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức (13) đúng.
Các bất đẳng thức còn lại được suy ra từ (13).
Khoá luận tốt nghiệp
Đỗ Thị Phương – K29B Toán
Chương II: bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng
Thức lượng giác không có điều kiện
I. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không
có điều kiện:
1. Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác không có điều kiện:
Bài toán có dạng: Cho tam giác ABC cùng một số yếu tố trong tam giác.
Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn hệ thức: X = Y (trong đó X,
Y là các biểu thức lượng giác trong tam giác).
Các phương pháp chủ yếu để chứng minh:
1) Biến đổi X thành Y (hay Y thành X): thường chọn biểu thức phức tạp để
biến đổi
2) Biến đổi X thành Z, Y thành Z.
3) Biến đổi X = Y tương đương với một đẳng thức đúng.
2. Bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện:
Bài toán có dạng: Cho tam giác ABC cùng một số yếu tố trong tam giác.
Chứng minh rằng: X Y (*) (hoặc X Y, hoặc X >Y, hoặc X Y, hoặc X
- Xem thêm -
.PDF 
53 
628 
137 
