Tài liệu định lí skolem noether và định lí tâm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Phương Dung ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Phương Dung ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN THÌN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Văn Thìn, người đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô trong khoa ToánTin học, trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình tôi học tập tại khoa. Cuối cùng, tôi xin gửi đến gia đình, bạn bè lòng biết ơn chân thành vì đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. TP. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013 Tác giả Phan Phương Dung 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU........................................................................................................... 3 LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 6 1.1. Vành đơn, vành Artin, môđun Artin ........................................................................6 1.2. Một vài kết quả về tích tenxơ của các môđun ..........................................................7 1.3. Một vài kết quả về tích tenxơ các đại số ...................................................................8 1.4. Tích tenxơ trong lí thuyết trường ............................................................................11 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM.................... 14 2.1. Định lí Skolem-Noether ............................................................................................14 2.2. Định lí tâm .................................................................................................................18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM ........................................................................................................... 31 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 42 2 BẢNG KÍ HIỆU , ,  các tập hợp số, A ⊗R B tích tenxơ của A , B trên R , Mn (R) tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R , Aop vành đối của vành A , Z ( A) tâm của vành A , A: K chỉ số của K trong A , A≅ B A đẳng cấu với B , L/K L là mở rộng trường của K , N L/ K chuẩn của mở rộng Galois L / K , dim K L số chiều của L trên K , K [ x] vành các đa thức một biến trên K , ZB ( M ) tâm của M trong B , M A vành con của A sinh bởi M , End R ( A) vành các tự đồng cấu R − môđun trên A , B: AR bậc phải của B trên A , Gal ( L / K ) nhóm Galois của mở rộng Galois L / K , σ nhóm con sinh bởi σ , φ|L thu hẹp của φ trên L , 3 FixL (σ ) nhóm bất biến của σ trong L . 4 LỜI NÓI ĐẦU Định lí Skolem-Noether và Định lí tâm là hai định lí nền tảng của đại số. Chúng được sử dụng như một phần cơ sở toán học cho nhiều công trình nghiên cứu. Việc tìm hiểu hai định lí trên và các ứng dụng của chúng rất cần thiết. Do đó, tôi chọn “Định lí SkolemNoether và Định lí tâm” làm đề tài luận văn của mình. Luận văn được chia làm 3 chương. Nội dung chính của luận văn là chương 2 và chương 3. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức cơ sở. Phần lớn các kết quả trong chương này không được chứng minh, thay vào đó nguồn trích dẫn tham khảo chúng được chỉ ra. Chương 2. Định lí Skolem-Noether và Định lí tâm Định lí Skolem-Noether và Định lí tâm được phát biểu và chứng minh. Chương 3. Một số ứng dụng của định lí Skolem-Noether và định lí tâm Một vài ứng dụng của hai định lí trên, đặc biệt các kết quả liên quan tới lí thuyết trường được trình bày trong chương này. Phần lớn các kết quả nêu ra trong luận văn được tham khảo từ cuốn “Skew Fields” của P.K. Draxl. Trong khả năng của mình, tôi đã sắp xếp chúng một cách logic, trình bày rõ ràng và chi tiết hóa các chứng minh. Dù đã có nhiều cố gắng, chắc hẳn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý độc giả để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, các kiến thức cơ sở nhằm chuẩn bị cho việc trình bày Định lí Skolem-Noether, Định lí tâm và một số ứng dụng của chúng được tóm tắt (không chứng minh). Trong luận văn này, ta quy ước vành có đơn vị 1 ≠ 0 , trong đó 1 là kí hiệu của phần tử đơn vị của vành. 1.1. Vành đơn, vành Artin, môđun Artin Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành. Một R − môđun phải M được gọi là Artin phải nếu mọi dãy giảm các R − môđun con phải của M đều dừng. Một vành A được gọi là Artin phải nếu nó là A − môđun phải Artin. Từ đây trở về sau, trong trường hợp không dẫn đến nhầm lẫn, ta quy ước viết gọn cụm từ “Artin phải” là “Artin”. Định nghĩa 1.1.2 Một vành R được gọi là đơn nếu nó không có iđêan hai phía thực sự. Định nghĩa 1.1.3 Cho R là một vành. Một iđêan phải khác không của R được gọi là tối tiểu nếu nó không chứa thật sự bất kì một iđêan phải khác không nào của R . Định lí 1.1.4 [3, tiết 3, Định lí 1, trang 13] Cho A là một vành đơn và r là một iđêan phải tối tiểu của A . n Nếu M ≠ {0} là một A − môđun phải Artin thì tồn tại n ∈  sao cho M ≅ ⊕ r như là i =1 một A − môđun phải. Định nghĩa 1.1.5 6 Cho A là một R − môđun tự do. Khi đó, ta gọi số vectơ trong cơ sở của A trên R là hạng của A trên R . 1.2. Một vài kết quả về tích tenxơ của các môđun Cho R , S là các vành. Định lí 1.2.1 [3, tiết 4, Định lí 3, trang 19] Cho ( Ai )i∈I là một họ các R − môđun phải và giả sử rằng P ⊗ R Ai tồn tại với mỗi i ∈ I . Khi đó, ( ) i) P ⊗ R ⊕ Ai tồn tại. ii) Tồn tại duy nhất một đẳng cấu  − môđun i∈I ( ) P ⊗ R ⊕ Ai ≅ ⊕ ( P ⊗ R Ai ) i∈I i∈I xác định bởi p ⊗ ∑ ai  ∑ p ⊗ ai . i i Định nghĩa 1.2.2 (Song môđun) Cho M vừa là một R − môđun trái, vừa là một S − môđun phải. Nếu r ( ms ) = ( rm ) s , với mọi r ∈ R , m ∈ M , s ∈ S thì ta gọi M là một ( R − S ) − song môđun. Trong trường hợp R = S , ta gọi một cách ngắn gọn một ( R − R ) − song môđun là một R − song môđun. Định lí 1.2.3 [3, tiết 4, Bổ đề 3, trang 22] Cho A là một R − môđun phải, M là một ( R − S ) − song môđun và P là một S − môđun trái. Khi đó, 7 A ⊗ R M là một S − môđun phải với phép nhân a ms , ∀a ∈ A, m ∈ M , s ∈ S ; ( a ⊗ m ) s =⊗ M ⊗ S P là một R − môđun trái với phép nhân r ( m ⊗ p ) = rm ⊗ p , ∀r ∈ R, m ∈ M , p ∈ P . Hơn nữa, tồn tại duy nhất đẳng cấu nhóm aben ( A ⊗R M ) ⊗S P ≅ A ⊗R ( M ⊗S P ) xác định bởi ( a ⊗ m ) ⊗ p  a ⊗ ( m ⊗ p ) , ∀a ∈ A, m ∈ M , p ∈ P . Định lí 1.2.4 [3, tiết 4, Bổ đề 4, trang 23] Cho A , B là các R − môđun. Khi đó, tồn tại duy nhất đẳng cấu các R − môđun A ⊗ R B ≅ B ⊗ R A xác định bởi a ⊗ b  b ⊗ a . 1.3. Một vài kết quả về tích tenxơ các đại số Cho R là một vành giao hoán. Định nghĩa 1.3.1 Một R − môđun A được gọi là R − đại số nếu trên A có phép toán “ × ” thỏa mãn i) ( A, +, ×) là một vành. ii) Với mọi r ∈ R , a, b ∈ A , r ( a × b ) = ( ra ) × b = a × ( rb ) . Hơn nữa, nếu ( A, +, × ) là một vành đơn thì A được gọi là R − đại số đơn. Để đơn giản cách viết, phép “ × ” được viết thành “ ⋅ ” hay bỏ qua nếu không có sự nhầm lẫn. Định nghĩa 1.3.2 8 Cho A , B là các R − đại số. Một đồng cấu R − môđun f : A → B được gọi là một đồng cấu R − đại số nếu f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) , với mọi a , b ∈ A . Định nghĩa 1.3.3 Cho A, B là các R − đại số. Trên A ⊗ R B , ta định nghĩa phép nhân ( a ⊗ b )( a '⊗ b ' ) = aa '⊗ bb ' , với mọi a ⊗ b, a '⊗ b ' ∈ R . Khi đó, A ⊗ R B với phép nhân trên có cấu trúc một R − đại số, gọi là tích ten-xơ của các R − đại số A, B . Việc chứng minh định nghĩa 1.3.3 được xác định có thể tham khảo trong [3], tiết 5, Định lí 1, trang 25. Định lí 1.3.4 [3, tiết 5, Bổ đề 2, trang 26] Cho P là một R − môđun, A là một R − đại số giao hoán, B là một A − đại số. Khi đó, tồn tại duy nhất một đẳng cấu B − môđun trái ( P ⊗R A) ⊗ A B ≅ P ⊗R B xác định bởi ( p ⊗ a ) ⊗ b  p ⊗ ab . Hơn nữa, nếu B giao hoán và P là một R − đại số thì đẳng cấu trên trở thành đẳng cấu B − đại số. Định lí 1.3.5 [3, tiết 5, Bổ đề 3, trang 26] Cho A , B là các R − môđun, C là một R − đại số giao hoán. Khi đó, tồn tại duy nhất đẳng cấu C − môđun ( A ⊗ R C ) ⊗C ( B ⊗ R C ) ≅ ( A ⊗ R B ) ⊗ R C xác định bởi 9 ( a ⊗ c ) ⊗ ( b ⊗ c ')  ( a ⊗ b ) ⊗ cc ' . Hơn nữa, nếu A , B là các R − đại số thì đẳng cấu phía trên trở thành đẳng cấu C − đại số. Định lí 1.3.6 [3, tiết 5, Định lí 3, trang 27] Cho P là một R − môđun, A là một R − đại số, X là một A − môđun trái và f : P → X là một đồng cấu R − môđun. Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu A − môđun trái f A : P ⊗ R A → X sao cho p ⊗ a  af ( p ) . Định nghĩa 1.3.7 Ta gọi f A trong Định lí 1.3.6 là mở rộng A − tuyến tính trái của f . Định lí 1.3.8 [3, tiết 5, Bổ đề 4, trang 27] Cho A là một R − đại số và j : M n ( R ) → M n ( A ) là một ánh xạ nhúng chính tắc cảm sinh bởi iA : R → A , r  r1 . Khi đó, mở rộng A − tuyến tính trái j A : M n ( R ) ⊗ R A → M n ( A ) vừa là đẳng cấu R − đại số, vừa là đẳng cấu A − môđun. Hơn nữa, nó còn là đẳng cấu A − đại số nếu A giao hoán. Định lí 1.3.9 [3, tiết 5, Hệ quả 1, trang 27] M n ( R ) ⊗ R M m ( R ) ≅ M n ( M m ( R ) ) ≅ M nm ( R ) . Định nghĩa 1.3.10 (vành đối) Cho A là một vành. Ta kí hiệu Aop là nhóm cộng A với phép nhân “.” cho bởi a.b = ba (phép nhân ở vế phải được hiểu là phép nhân ban đầu trong A ). Dễ dàng thấy được Aop với phép nhân được định nghĩa ở trên là một vành và ta gọi Aop là vành đối của vành A . Định lí 1.3.11 [3, tiết 5, Hệ quả 2, trang 29] Cho A là một K − đại số đơn hữu hạn chiều, trong đó K = Z ( A) và n = A : K hữu hạn. Khi đó, tồn tại đẳng cấu K − đại số 10 ϕ : A ⊗ K Aop → M n ( K ) . Định lí 1.3.12 [3, tiết 5, Định lí 5, trang 30] Cho A , B là các K − đại số,= K Z ( A) ⊂ Z ( B ) là một trường và A : K hoặc B : K hữu hạn. Khi đó, A ⊗ K B là vành đơn Artin khi và chỉ khi A , B là các vành đơn Artin. 1.4. Tích tenxơ trong lí thuyết trường Định nghĩa 1.4.1 Cho L / K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ . Nếu Γ là nhóm xyclic sinh bởi tự đẳng cấu σ thì L / K được gọi là mở rộng xyclic với tự đẳng cấu sinh σ . Định nghĩa 1.4.2 Cho Γ là một nhóm. Một nhóm aben M cùng với phép nhân "." : Γ × M → M (σ , m )  σ m thỏa các tính chất i) Với mọi m ∈ M , 1m = m ; ii) Với mọi σ ,τ ∈ Γ , m ∈ M , (στ )m = σ (τ m ) ; iii) Với mọi σ ∈ Γ , m, m ' ∈ M , σ m+= σ m + σ m' ; m' được gọi là một Γ − môđun trái. Định nghĩa 1.4.3 11 Cho Γ là một nhóm và M , N là các Γ − môđun trái. Một đồng cấu nhóm aben f : M → N được gọi là một đồng cấu Γ − môđun trái nếu f (σ m ) = σ f ( m ) , với mọi σ ∈ Γ và m ∈ M . Định nghĩa 1.4.4 Cho Γ là một nhóm hữu hạn và M là một Γ − môđun trái. Đặt N Γ : M → M , m  ∑σ m . σ ∈Γ Dễ dàng thấy được N Γ là một đồng cấu Γ − môđun trái. Ta gọi đồng cấu N Γ là đồng cấu chuẩn. Định nghĩa 1.4.5 Cho L / K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ . Khi đó, L là một Γ − môđun trái với phép nhân σ m = σ ( m ) , với mọi σ ∈ Γ , m ∈ M . Ta gọi chuẩn N Γ là chuẩn của mở rộng Galois L / K và kí hiệu lại là N L/ K . Định lí 1.4.6 [3, tiết 6, Định lí Satz 90 của Hilbert, trang 35] Cho L / K là mở rộng xyclic với tự đẳng cấu sinh σ . Khi đó, nếu phần tử x ∈ L thỏa mãn N L/ K ( x ) = 1 thì tồn tại m ∈ L* sao cho x = σ m m −1 . Định nghĩa 1.4.7 Cho L / K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ . Với mỗi σ ∈ Γ , đặt FixL (σ ) = x} . Dễ thấy FixL (σ ) là một trường, {x ∈ L / σ ( x ) = gọi là trường cố định của σ trong L . Đặt FixL ( Γ ) = ∩ FixL (σ ) . Khi đó, FixL ( Γ ) cũng là một trường, gọi là trường cố σ ∈Γ định của Γ trong L . 12 13 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 2.1. Định lí Skolem-Noether Định lí 2.1.1 Cho R là một vành giao hoán, A, B là các R − đại số, f : A → B là một đồng cấu R − đại số. Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu môđun Ωf : A ⊗ R B op → End R ( B ) sao cho Ωf ( a ⊗ b ) = L f ( a ) Rb . Chứng minh Xét ánh xạ Ω : A × B op → End R ( B ) xác định bởi ( a, b )  L f ( a ) Rb . Ω là một ánh xạ song tuyến tính nhờ vào tính chất tuyến tính của f , tính kết hợp kết hợp và tương thích của các phép nhân trong B . Do đó, theo tính chất của tích tenxơ, tồn tại duy nhất đồng cấu môđun Ωf : A ⊗ R B op → End R ( B ) sao cho Ωf ( a ⊗ b ) = L f ( a ) Rb . Định nghĩa 2.1.2 Cho R là một vành giao hoán, A, B là các R − đại số, f : A → B là một đồng cấu R − đại số. Khi đó, theo tính chất của đồng cấu Ωf được xác định như trong Định lí 2.1.1, B có cấu trúc ( A ⊗ R B op ) − môđun trái với phép nhân xb = Ωf ( x )( b ) , với mọi x ∈ A ⊗ B op , b ∈ B . Ta kí hiệu B với cấu trúc R − đại số và ( A ⊗ R B op ) − môđun trái như trên là B f . Với x = a '⊗ b ' ∈ A ⊗ B op , theo Định lí 2.1.1 , phép nhân như trong định nghĩa phía trên có công thức ( a '⊗ b ') b = f ( a ') bb ' . Định lí 2.1.3 14 Cho A, B là các R − đại số và f , g : A → B là các đồng cấu R − đại số. Khi đó, B f đẳng cấu với Bg như là các (A⊗ R B op ) − môđun trái khi và chỉ khi tồn tại phần tử khả nghịch b ∈ B* sao cho g ( a ) = bf ( a ) b −1 với mọi a ∈ A , nói cách khác khi và chỉ khi f và g sai khác nhau một tự đẳng cấu trong của B . Chứng minh Điều kiện cần. Gọi φ : B f → Bg là đẳng cấu các ( A ⊗ R B op ) − môđun. Đặt b = φ (1) . Khi đó, với mỗi x ∈ B , φ ( x) = φ ( (1 ⊗ x )1) =⊗ g (1) φ (1) x = bx . (1 x )φ (1) = Vì φ đẳng cấu nên tồn tại đồng cấu ngược φ −1 . Suy ra tồn tại phần tử φ −1 (1) thỏa mãn = bφ −1 (1) φ= (φ −1 (1) ) 1 . Hơn nữa, φ= (φ −1 (1) b ) b= (φ −1 (1) b ) bφ (1) ) b (= −1 b . Mà φ đẳng cấu nên φ −1 (1) b = 1 . Ta có b ∈ B* . Mặt khác, bf ( a ) =φ ( f ( a ) ) =φ ( ( a ⊗ 1)1) =( a ⊗ 1) φ (1) =g ( a ) b , với mọi a ∈ A . Ta có điều phải chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại b ∈ B* thỏa mãn g ( a ) = bf ( a ) b −1 , với mọi a ∈ A . Ta định nghĩa φ : B f → Bg xác định bởi công thức x  bx . Khi đó, φ là một đẳng cấu nhóm aben. Sử dụng kĩ thuật tính toán như trong chứng minh phần thuận, ta kiểm tra được φ là đẳng cấu ( A ⊗ R B op ) − môđun.  Định lí 2.1.4 ( Định lí Skolem-Noether) Cho A, B là các vành đơn Artin,= K Z ( B ) ⊂ Z ( A) và B : K hữu hạn. Nếu f , g : A → B là các đồng cấu K − đại số thì tồn tại phần tử b ∈ B* khả nghịch sao cho g ( a ) = bf ( a ) b −1 , với mọi a ∈ A . 15 Chứng minh Đặt A*= A ⊗ K B op , ta chứng minh B f , Bg là A* − môđun Artin. Xét dây chuyền giảm các A* − môđun con trong B f : M 1 ⊃ M 2 ⊃ ... ⊃ M n ⊃ ... Do f cố định K, nên với mỗi i ∈ * , ax =f ( a ) x1 =( a ⊗ 1) x =(1 ⊗ a ) x ∈ M i , với mọi a ∈ K , x ∈ M i . Suy ra, với mọi i ∈ N * , M i là K − không gian vector con của B. Từ giả thiết dimK B = t hữu hạn, ta có M i là các K-không gian vector hữu hạn chiều. Điều này dẫn tới dây chuyền giảm trên phải dừng. Vậy B f là A* − môđun Artin. Chứng minh tương tự, ta có Bg cũng là môđun Artin. Theo Định lí 1.3.12, A* là vành đơn. Theo phần chứng minh trên và Định lí 1.1.4, r s B f ≅ ⊕ l , Bg ≅⊕ l , với l là ideal trái tối tiểu nào đó của A* . =i 1 =i 1 Do l là iđêan trái của A* nên nó là nhóm con của nhóm cộng A* . Hơn nữa, với mọi k ∈ K , a ⊗ b∈l , k ( a ⊗ b ) = k (1 ⊗ 1)( a ⊗ b ) ∈ l , do đó Kl ⊂ l . Vì vậy, l là K-không gian vector. Mặt khác, B f , Bg có cùng cấu trúc K-không gian vector nên chúng có số chiều bằng nhau và hữu hạn. 16 Gọi m = dim K l , ta có dim K B f = rm , dim K Bg = sm . Vậy s = r , ta có B f ≅ Bg như các ( A ⊗ R B op ) -môđun. Theo Định lí 2.1.3, tồn tại b ∈ B* khả nghịch sao cho g ( a ) = bf ( a ) b −1 , với mọi a ∈ A . Hệ quả 2.1.5 Cho A là một vành đơn Artin, K = Z ( A) và A : K hữu hạn. Khi đó, mọi tự đẳng cấu K − đại số của A đều là tự đẳng cấu trong. Chứng minh Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ việc áp dụng Định lí Skolem-Noether với A = B .  Hệ quả 2.1.6 Cho A, A ' là các vành con đơn Artin của vành đơn Artin B , K = Z ( B ) ⊂ Z ( A) = Z ( A ' ) , [ B : K ] hữu hạn và A ≅ A ' như các K − đại số. Khi đó, đẳng cấu này chính là sự hạn chế của một tự đẳng cấu của B lên A . Chứng minh Theo giả thiết, A , B là các vành đơn Artin và = K Z ( B ) ⊂ Z ( A) . Đặt ϕ : A → A ' là đẳng cấu K − đại số giữa A và A ' , i A ' : A ' → B là phép nhúng A ' vào B , i A : A → B là phép nhúng A vào B . Áp dụng Định lí Skolem-Noether với g = i A 'ϕ và f = i A , ta được Hệ quả 2.1.6.  17 Ứng dụng trực tiếp Hệ quả 2.1.6, ta được một kết quả khá quen thuộc và thú vị về mối quan hệ giữa các nghiệm khác nhau của một đa thức bất khả quy. Ví dụ 2.1.7 Cho D là một vành chia, K = Z ( D ) ( D : K có thể vô hạn) và f ∈ K [ x ] là một đa thức bất khả quy. Khi đó, theo Hệ quả 2.1.6, nếu d , d ' ∈ D thỏa mãn f ( d )= 0= f ( d ') thì d ' = bdb −1 , với b ∈ D* . Chứng minh Do D là vành chia nên K = Z ( D ) là một trường. Do d , d ' cùng là nghiệm của đa thức bất khả quy f nên chúng cùng nhận f làm đa thức tối tiểu. Theo kết quả trong lí thuyết trường, tồn tại đẳng cấu ϕ : K ( d ') → K ( d ) sao cho ϕ ( d ') = d . Gọi K ' là trường phân rã của đa thức f , ta có K ' : K ( d ') hữu hạn. Áp dụng Hệ quả 2.1.6 của Định lí Skolem-Noether, tồn tại b ∈ K ' ∈ D sao cho = d ' b= .ϕ ( d ') b −1 bdb −1 .  2.2. Định lí tâm Định nghĩa 2.2.1 Cho A là một vành, B là một vành con của A và M là một tập con của A . Ta định nghĩa tâm của M trong B là tập Z B ( M ) = {b ∈ B / bm = mb, ∀ m ∈ M } . Nhận xét 2.2.2 Dựa vào định nghĩa, ta có các kết quả (1) Z B ( M ) là vành con của B , do đó nó cũng là vành con của A ; (2) Nếu C ⊂ B là vành con của A thì Z C ( M ) ⊂ Z B ( M ) ; (3) Nếu M ⊃ N thì Z B ( M ) ⊂ Z B ( N ) ; 18