Tài liệu điểm bất động của toán tử (k,uo)_lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư-Tiến sĩGiảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt đẹp chương trình Cao học và luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin và các đồng nghiệp của trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn-tỉnh Điện Biên đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy 3 Mục lục Mở đầu 2 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón . . . 10 1.3 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực . . . . . . . 10 1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E . . . . . . . . . 11 1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . 17 Không gian Eu0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . 22 1.4.1 Không gian C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Không gian l2 1.4.3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Không gian c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 TOÁN TỬ (K, u0)−LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BAN 2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0)− lõm chính quy 44 2.3 Toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong một số không gian Banach thực nửa 2.3.1 2.3.2 Toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong không gian C 48 Toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong không gian l2 52 4 3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0)− LÕM CH 3.1 Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính 3.2 Ví dụ áp dụng định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Điểm bất động trong không gian C . . . . . . . . . 64 3.2.2 Điểm bất động trong l2 . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét bài toán: Tìm điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. Nên bài toán này đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956). Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0)− lõm (1984). Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0− đo được khiến cho việc ứng dụng các kết quả gặp khó khăn. Hơn nữa, các toán tử trên được xét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón. Nhà toán học M. A Kranoxelxki mở rộng các kết quả đạt được đối với các lớp toán tử trên tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đó một nón là con của nón còn lại. Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach thực với một nón: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu có tính chất u0− đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: 6 “Điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn “Điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón ” nhằm nghiên cứu, trình bày về điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đó hai nón cố định khác nhau và giao nhau khác rỗng, không yêu cầu toán tử có tính chất u0− đo được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: + Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. + Tìm hiểu về toán tử (K, u0)− lõm chính quy. + Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử (K, u0)−lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. +) Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 7 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kết quả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. - Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn. 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu “Điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón ” sẽ cho ta hiểu biết sâu sắc hơn về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác. Luận văn này có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học liên quan. 8 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu k.k ( đọc là chuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau: i,∀x ∈ E, kxk ≥ 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không trong không gian E); ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, kαxk = |α| kxk; iii,∀x, y ∈ E, kx + yk ≤ kxk + kyk (bất đẳng thức tam giác). Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, k.k) hay E. Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy {xn }∞ n=1 ⊂ E gọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim kxn − xk = 0, hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0, kxn − xk < ε. n→∞ Dựa vào các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau: Định lí 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {xn}∞ n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn {kxn k} hội tụ tới kxk, nói khác đi kxk là một hàm liên tục của biến x. 9 Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có: kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk , ∀x, y ∈ E, hay kxk − kyk ≤ kx − yk . Đổi vai trò của x, y ta lại có: kyk − kxk ≤ kx − yk. Do đó ta có |kxk − kyk| ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ E. Suy ra |kxn k − kxk| ≤ kxn − xk (n = 1, 2, . . .) Vì vậy, nếu {xn } hội tụ tới x thì lim kxn − xk = 0, dẫn đến n→∞ |kxnk − kxk| → 0 khi n → ∞ hay kxn k → kxk khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Định lí 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm {xn}∞ n=1 hội tụ thì dãy chuẩn {kxn k} bị chặn. Chứng minh. Giả sử xn → x, n → ∞ trong không gian E, theo định lí 1.1.1 ta có kxnk → kxk khi n → ∞ , do đó tồn tại n0 sao cho ∀n ≥ n0 , kxnk ≤ kxk + 1 Đặt K là số lớn nhất trong các số kx1 k , kx2 k , ..., kxnk , kxk + 1. Khi đó ∀n, kxn k ≤ K hay {kxnk} bị chặn. Định lí 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm ∞ {xn}∞ n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {yn }n=1 hội tụ tới y và trong R dãy số {αn } hội tụ tới α thì: xn + yn → x + y, n → ∞, αn.xn → αx, n → ∞. Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R). 10 Chứng minh. Do xn → x, n → ∞; yn → y, n → ∞ trong không gian E, nên ta có kxn − xk → 0, n → ∞ và kyn − yk → 0, n → ∞. Ta lại có k(xn + yn ) − (x + y)k ≤ kxn − xk + kyn − yk do đó k(xn + yn ) − (x + y)k → 0, n → ∞ hay xn + yn → x + y, n → ∞ trong không gian E, đồng thời: kαn .xn − α.xk = kαn xn − αn x + αn x − αxk ≤ kαn (xn − x)k+k(αn − α) xk ≤ |αn | . kxn − xk + |αn − α| . kxk . Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn |} bị chặn, còn xn → x, n → ∞ trong không gian E nên kxn − xk → 0, n → ∞. Do đó |αn | . kxn − xk + |αn − α| . kxk → 0 khi n → ∞ hay kαn .xn − α.xk → 0, n → ∞ hay αn xn → αx, n → ∞ trong không gian E. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {xn}∞ n=1 ⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu lim kxn − xm k = 0 n,m→∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có kxn − xm k < ε. Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ. 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian định chuẩn thực E, tập K ⊂ E, K khác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các điều kiện sau: 11 a, K là một tập đóng trong không gian E, b, ∀x, y ∈ K ta có x + y ∈ K, c, ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K, d, ∀x ∈ K, x 6= θ ta có −x ∈ / K. Nhận xét 1.2.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực E thì θ ∈ K và K là tập lồi. Thật vậy: +) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K, do đó với t = 0 ta có θ = 0.x ∈ K. +) ∀x, y ∈ K, ∀t nên tx + (1 − t) y ∈ K. 1.2.2 [0; 1] ta có tx ∈ ∈ K, (1 − t) y ∈ K Quan hệ thứ tự trong không gian E Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E. ta xây dựng một quan hệ ′′ ≤′′ trong E như sau: ∀x, y ∈ E, x ≤ y nếu y − x ∈ K. Định lí 1.2.2. Quan hệ ′′ ≤′′ là một quan hệ thứ tự trong E và ta gọi là quan hệ thứ tự theo nón K. Chứng minh. +) ∀x ∈ E, x − x = θ ∈ K nên x ≤ x. +) ∀x, y ∈ E, x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x − y ∈ K. Do y − x = − (x − y) nên nếu x − y 6= θ thì mâu thuẫn với điều kiện d) của định nghĩa 1.2.1. Do đó x − y = θ ⇔ x = y. +) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K. Do z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z. Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự ′′ ≤′′ gọi là không gian nửa sắp thứ tự theo nón K. 12 Định nghĩa 1.2.2. Trong không gian định chuẩn thực E, một nón K được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại một số dương N sao cho ∀x, y ∈ K, x ≤ y ta có kxk ≤ N kyk. Định nghĩa 1.2.3. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Với y ∈ K ta nói x ∈ E thông ước với y nếu tồn tại số α, β > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy. Định lí 1.2.3. Cho x, y ∈ K, nếu x thông ước với y thì y thông ước với x. Chứng minh. Vì x thông ước với y nên tồn tại số α, β > 0 sao cho: αy ≤ x ≤ βy do đó β1 x ≤ y ≤ α1 x hay y thông ước với x. Định lí 1.2.4. Nếu hai phần tử thuộc K\ {θ} cùng thông ước với phần tử thứ ba thuộc K\ {θ} thì thông ước với nhau. Chứng minh. Giả sử hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} cùng thông ước với phần tử z ∈ K\ {θ}. Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho: αz ≤ x ≤ β, Ta có x ≥ αz = α α βz ≥ y, β β αz ≤ y ≤ βz x ≤ βz = Vì vậy tồn tại các số dương α1 = αβ , β1 = x thông ước với y. β α β β αz ≤ y. α α sao cho α1 y ≤ x ≤ β1 y hay Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Kí hiệu K ∗ = K\ {θ}. Mỗi x ∈ K ∗ gọi là một phần tử dương, ta cũng viết x < y nếu y − x ∈ K ∗. Giả sử u0 ∈ K ∗, tập hợp tất cả các phần tử x ∈ K ∗ thông ước với u0 được kí hiệu là K (u0 ). Định lí 1.2.5. Cho E là không gian định chuẩn thực, A ⊂ E là một tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không. 13 Đặt K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A}. Khi đó K (A) là một nón trong không gian E. Chứng minh. Dễ thấy tập A ⊂ K (A), mà A 6= ∅, nên K (A) 6= ∅. Khi đó tồn tại m, M là các số thực dương sao cho ∀y ∈ A, (1.1) m ≤ kyk ≤ M. Thật vậy, do tập A bị chặn nên tồn tại M > 0 : kyk ≤ M, ∀y ∈ A. Đặt m = inf kyk. Giả sử m = 0 thì tồn tại dãy {yn }∞ n=1 ⊂ A sao cho: y∈A lim kyn k = 0 hay lim yn = θ trong không gian E. Do A là tập đóng n→∞ n→∞ nên θ ∈ A. Điều này trái với giả thiết A không chứa phần tử không. Vậy m > 0 và kyk ≥ inf kyk = m > 0, ∀y ∈ A. y∈A +) Ta chứng minh K (A) là tập đóng. Lấy dãy bất kì {un}∞ n=1 ⊂ K (A) sao cho lim un = u trong không gian n→∞ E. Nếu u = θ thì u = 0.y, y ∈ A ⇒ u ∈ K (A) Nếu u 6= θ thì với ε = 21 kuk > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 ta có: 1 kuk . 2 Khi đó, |kun k − kuk| ≤ kun − uk < 21 kuk kun − uk < ε = 3 1 kuk < kun k < kuk , ∀n ≥ n0. 2 2 Mặt khác, vì un ∈ K (A) nên un = tn yn , tn ≥ 0, yn ∈ A, n ∈ N∗ . ⇒ Theo (1.2) ta có 3 1 kuk < ktn yn k = tn kyn k < kuk . 2 2 Do m ≥ |yn ≥ M, ⇒ và 1 2kyn k kuk < tn < 3 2kyn k kuk 3 1 kuk < tn < kuk , ∀n ≥ n0 . 2M 2m (1.2) 14 nghĩa là {tn } là dãy số thực dương bị chặn. Vì vậy, tồn tại dãy con {tni } ⊂ {tn } sao cho lim tni = t0 . Suy ra 1 2M kuk ≤ t0 ≤ 3 2m i→∞ kuk nên t0 > 0. Xét dãy con {yni } ta có: t 1 t 1 n n yn − u = yn − i yn + i yn − u i t0 i t0 i t0 i t0 1 1 ≤ |tni − t0 | kyni k + ktni yni − uk t0 t0 M 1 ≤ |tni − t0 | + ktni yni − uk → 0 khi i → ∞. t0 t0 1 Suy ra lim yni − t0 u = 0. i→∞ Nhưng {yni } ⊂ A, và tập A đóng nên hay u = t0 Do vậy K (A) là tập đóng.  1 u t0  1 t0 u ∈A ∈ K (A) . +) ∀x, y ∈ K (A) ta có: x = t1 z1 , t1 ≥ 0, z1 ∈ A, y = t2 z2 , t2 ≥ 0, z2 ∈ A. Suy ra x + y = t1 z1 + t2 z2 . Nếu t1 = t2 = 0 hiển nhiên x + y ∈ K (A). Nếu t1 = 0 hoặc t2 = 0 thì hiển nhiên x + y ∈ K (A). Nếu t1 > 0 và t2 > 0 thì ta có t1 +t2 > 0 và x+y = (t1 + t2) Vì tập A lồi nên t1 t1 +t2 z1 + t2 t1 +t2 z2 x + y ∈ K (A).  t1 t1 +t2 z1 + t2 t1 +t2 z2 ∈ A, mà t1 + t2 > 0 suy ra +) ∀x ∈ K (A) , ∀α ∈ R, α ≥ 0 ta có x = ty, t ≥ 0, y ∈ A nên αx = αty ∈ K (A) do αt ≥ 0, y ∈ A. +) Giả sử u0 ∈ K (A) , u0 6= θ mà −u0 ∈ K (A).  . 15 Khi đó: u0 = t1y1 , t1 > 0, y1 ∈ A −u0 = t2y2 , t2 > 0, y2 ∈ A. Ta có: θ = u0 + (−u0 ) = t1y1 + t2 y2   t1 t2 = (t1 + t2 ) y1 + y2 ∈ K (A) t1 + t2 t1 + t2 t2 t1 y1 + y2 = θ ∈ A. Điều này trái với t1 + t2 t1 + t2 giả thiết θ không thuộc A. Vì t1 > 0 và t2 > 0 nên Vậy K (A) thỏa mãn các điều kiện về nón nên, K (A) là một nón trong không gian E. Định lí 1.2.6. Nếu K là một nón chuẩn trong không gian định chuẩn thực E, u0 ∈ K ∗ thì Ku0 = K (u0 ) ∪ {θ} là một nón trong không gian E. Chứng minh. Ta có Ku0 6= ∅ vì θ ∈ Ku0 . Ta sẽ chứng minh Ku0 thỏa mãn bốn điều kiện về nón. +) Ku0 là tập đóng. Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ Ku0 , xn → x ∈ E khi n → ∞ trong không gian E. Nếu x = θ thì Ku0 là tập đóng vì θ ∈ Ku0 . Nếu x 6= θ thì với số dương tùy ý ε ≤ kxk tồn tại số n0 ∈ N ∗ sao cho với mọi n ≥ n0 ta có: |kxnk − kxk| ≤ kxn − xk < ε ⇒ kxk − ε < kxn k < ε + kxk . Vì xn ∈ K (u0 ) nên tồn tại các số dương an , bn sao cho: an u0 ≤ xn ≤ bn u0, n = 1, 2, . . . (1.3) 16 Mặt khác, K là nón chuẩn nên tồn tại N sao cho ∀xn ∈ K (∀n ∈ N∗ ) , u0 ∈ K ku0k ≤ ⇒ an ≤ N kxn k , an N ku0 k ⇒ sup an ≤ n≥n0 kxnk ≤ N bn ku0 k ⇒ an ≤ N (kxk + ε) , ∀n ≥ n0 , N ku0 k (kxk + ε) , bn ≥ inf bn ≥ n≥n0 kxn k , ku0k bn ≥ 1 N ku0 k (kxk − ε) , ∀n 1 N ku0 k (kxk − ε) . kxnk N ku0k ≥ n0 Suy ra tồn tại các dãy con đơn điệu {ank } ⊂ {an } , ank → a khi k → ∞, {bnk } ⊂ {bn } , bnk → b khi k → ∞. Từ (1.3) ta có ank u0 ≤ xnk ≤ bnk u0. Cho k → ∞ ta có au0 ≤ x ≤ bu0. Do {xnk } ⊂ {xn} ⊂ Ku0 ⊂ K và tập K đóng, nên x ∈ K. Do đó x ∈ K (u0 ) ⊂ Ku0 hay Ku0 là tập đóng. +) ∀x, y ∈ Ku0 ta chứng minh x + y ∈ Ku0 . Nếu x = y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ Ku0 . Nếu x = θ hoặc y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ Ku0 . Nếu x 6= θ, y 6= θ thì do x ∈ K (u0) , y ∈ K (u0 ) nên tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho: au0 ≤ x ≤ bu0, cu0 ≤ y ≤ du0. (1.4) Suy ra (a + c) u0 ≤ x + y ≤ (b + d) u0 ⇒ x + y ∈ K (u0 ) ⇒ x + y ∈ Ku0 . +) ∀x ∈ Ku0 , ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ Ku0 . Thật vậy, Nếu t = 0 thì tx = θ ∈ Ku0 . Nếu t > 0 và x = θ thì tx = θ ∈ Ku0 . Nếu t > 0 và x 6= θ thì vì x ∈ K (u0) nên tồn tại các số dương a, b sao cho: au0 ≤ x ≤ bu0. Do đó tau0 ≤ tx ≤ tbu0, suy ra tx ∈ K (u0) hay tx ∈ Ku0 . +) ∀x ∈ Ku0 , x 6= θ thì −x ∈ / Ku0 . 17 Thật vậy, vì x ∈ Ku0 , x 6= θ nên x ∈ K (u0 ) ⊂ K hay x ∈ K. Do K là một nón nên −x ∈ / K ⇒ −x ∈ / Ku0 . Vậy Ku0 là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Định lí 1.2.7. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E, u0 ∈ K\ {θ}.Khi đó K (u0) là một nón trong E. Chứng minh. Trước hết ta thấy K (u0 ) là tập đóng khác rỗng. Thật vậy: +) Vì u0 ∈ K (u0) ⊂ K (u0 ) ⇒ K (u0) 6= ∅. +) ∀x, y ∈ K (u0) ta có x + y ∈ K (u0). Thật vậy, ∃ (xn) ⊂ K (u0) , xn → x (n → ∞), ∃ (yn ) ⊂ K (u0 ) , yn → y (n → ∞) . Suy ra xn + yn → x + y (n → ∞) trong đó xn + yn ∈ K (u0)vậy x + y ∈ K (u0). Tương tự, nếu x ∈ / K (u0) , y ∈ K (u0) thì x + y ∈ K (u0). +) ∀x ∈ K (u0), ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ K (u0). Thật vậy, Nếu x = θ hoặc t = 0 thì hiển nhiên tx ∈ K (u0 ). Nếu x 6= θ và t > 0 thì tồn tại dãy {xn} ⊂ K (u0) sao cho xn → x khi n → ∞. Do đó {txn } ⊂ K (u0 ) , txn → x khi n → ∞ hay tx ∈ K (u0 ). / K (u0 ). Thật vậy, vì x ∈ K (u0) nên +) ∀x ∈ K (u0), x 6= θ thì −x ∈ x ∈ K. Mà x 6= θ và K là một nón nên −x ∈ / K. Do đó −x ∈ / K (u0). Vậy K (u0 ) là một nón trong không gian E. 1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Định nghĩa 1.2.4. Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ thứ tự theo nón K trong E gọi là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự. Một không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự đồng thời là không gian Banach thì được gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Định lí 1.2.8. Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K. Khi đó: 18 i, Nếu các dãy {xn } ⊂ E, {yn } ⊂ E, xn ≤ yn , ∀n ∈ N∗ và lim xn = x, n→∞ lim yn = y thì x ≤ y. n→∞ ii, Nếu x, y ∈ E, x ≤ y thì ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ≤ ty. iii, Nếu x ∈ K, α, β ∈ R, α ≤ β thì αx ≤ βx. Chứng minh. Ta chứng minh từng kết luận trên. i) Ta có xn ≤ yn , ∀n ∈ N∗ nên yn − xn ∈ K, ∀n ∈ N∗ . Do lim (yn − xn ) = y − x và K là tập đóng nên y − x ∈ K hay x ≤ y. n→∞ ii) Ta có x ≤ y nên y − x ∈ K. Do K là một nón nên ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có t (y − x) ∈ K. Suy ra ty − tx ∈ K hay tx ≤ ty. iii) Ta có βx − αx = (β − α) x, và β − α ≥ 0, x ∈ K nên (β − α) x ∈ K. Suy ra βx − αx ∈ K hay αx ≤ βx. 1.3 Không gian Eu0 Định nghĩa 1.3.1. Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ}. Phần tử x ∈ E gọi là u0 - đo được nếu tồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 . Tập hợp tất cả các phần tử u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 . Định lí 1.3.1. Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ}. Khi đó Eu0 là một không gian tuyến tính. Chứng minh. Ta có E là không gian tuyến tính thực và Eu0 ⊂ E, do vậy để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh Eu0 là không gian con của E. +) Ta thấy, θ ∈ Eu0 vì với mọi t > 0 ta có −tu0 < θ < tu0. Suy ra Eu0 khác rỗng. +) Với mọi x, y ∈ Eu0 ta có x + y ∈ Eu0 . Thật vậy, vì x, y ∈ Eu0 nên tồn 19 tại các số dương t, t′ sao cho  −tu0 −t′ u 0 ≤ x ≤ tu0 , ≤ y ≤ t′ u0. Suy ra − (t + t′ ) u0 ≤ x + y ≤ (t + t′ ) u0 hay x + y ∈ Eu0 . +) Với mọi x ∈ Eu0 , mọi α ∈ R ta có αx ∈ Eu0 . Thật vậy, vì x ∈ Eu0 nên tồn tại t > 0 sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 . Nếu α ≥ 0 thì −tαu0 ≤ αx ≤ tαu0 . Do đó αx ∈ Eu0 . Nếu α < 0 thì −α > 0 nên −t (−α) u0 ≤ (−α) x ≤ t (−α) u0 hay − [t (−α)] u0 ≤ αx ≤ t (−α) u0 . Do đó αx ∈ Eu0 . Vì vậy Eu0 là không gian con của E hay Eu0 là không gian tuyến tính thực. Định lí 1.3.2. Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ}. Khi đó Eu0 là không gian định chuẩn thực với chuẩn xác định bởi: kxku0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0 } . (1.5) Chứng minh. Dễ thấy θ ∈ Eu0 và nó đóng kín đối với phép cộng hai phần tử của Eu0 và phép nhân một số thực với một phần tử của Eu0 như trong E, nên Eu0 là một không gian tuyến tính thực. Ta chứng minh công thức (1.5) thỏa mãn các điều kiện của chuẩn: +) Hiển nhiên với mọi x ∈ Eu0 ta có kxku0 ≥ 0. Nếu kxku0 = 0 thì tồn tại một dãy số dương {tn } hội tụ tới 0 khi n → ∞ sao cho: −tn u0 ≤ x ≤ tn u0 , ∀n. Từ (1.6) cho n → ∞ ta có θ ≤ x ≤ θ. Vì vậy x = θ. Ngược lại, nếu x = θ thì kxku0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ θ ≤ tu0 } = 0. Vậy kxku0 = 0 ⇔ x = θ. (1.6) 20 +) Với mọi x ∈ Eu0 , mọi α ∈ R ta có kαxku0 = |α| kxku0 . Thật vậy, Nếu α = 0 thì k0.xku0 = kθku0 = 0 = 0. kxku0 ; Nếu α > 0 thì: kαxku0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ αx ≤ tu0 }   t t t = inf α > 0 : − u0 ≤ x ≤ u0 α α α   t t t > 0 : − u0 ≤ x ≤ u0 = α inf α α α = α kxku0 = |α| kxku0 ; Nếu α < 0 thì −α > 0 và ta có: kαxku0 = k− (−α) xku0 = k−αxku0 = −α kxku0 = |α| kxku0 . Do đó với mọi x ∈ Eu0 , mọi α ∈ R ta có kαxku0 = |α| kxku0 . +) Với mọi x, y ∈ Eu0 thì kx + yku0 ≤ kxku0 + kyku0 . Thật vậy, với x ∈ Eu0 , nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương tn sao cho: 1 −tn u0 ≤ x ≤ tn u0 và tn < kxku0 + , n với y ∈ Eu0 , nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương t′n sao cho: 1 −t′n u0 ≤ y ≤ t′n u0 và t′n < kyku0 + . n Do đó, 2 − (tn + t′n ) u0 ≤ x + y ≤ (tn + t′n ) u0 và tn + t′n < kxku0 + kyku0 + . n 2 Suy ra kx + yku0 ≤ tn + t′n ≤ kxku0 + kyku0 + , ∀n ∈ N∗ . n Cho n → ∞ ta có kx + yku0 ≤ kxku0 + kyku0 . Như vậy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên Eu0 và Eu0 trở thành không gian định chuẩn với chuẩn (1.5). Chuẩn (1.5) thường được gọi là u0 - chuẩn.