Tài liệu Dethihsgmontoanlop11nam2015_2016truongthpttranphu_9632

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN –KHỐI 11 (Thời gian làm bài: 180 phút) Câu I (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: 1. cos2x  cos x  1  0 2. 2 sin 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0 Câu II (4,0 điểm). 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2010 trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:  2  x  2  x   2. 2016 ; x  0 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 2 học sinh lớp 11C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A. Câu III (4,0 điểm). x 2 x  1  3 3x  2  2 x 1 x2 1 1. Tính giới hạn sau: A  lim 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6. Câu IV (4,0 điểm.) Cho hình chóp SABC có SC   ABC  và tam giác ABC vuông tại B với AB  a; AC  a 3 ; H, K lần lượt là hình chiếu của C lên SA, SB biết CHK   với sin   13 . 19 1. Chứng minh rằng CK  ( SAB), SA  (CHK ) . 2. Tính độ dài SC theo a. www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 Câu V (4,0 điểm).  x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y  (x, y  R) . 1. Giải hệ phương trình:  x2  x  y  2  x  y  3   2. Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất của của biểu thức : S ab bc ca   ab  2c bc  2a ca  2b ------------------------------Hết------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 2 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 11 NĂM HỌC 2015-2016 Câu Nội dung Điểm 2 2 cos2x  cos x  1  0  2cos x  1  cos x  1  0  2cos x  cos x  0 I.1  cos x  0  2 2  k 2 , x    k 2 (k  Z )  1  x   k , x   cos x   2 3 3  2 2 2  k 2 , x    k 2 (k  Z ) 2 3 3 2 sin 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0  sin x  cos x 2 sin x  1  0  sin x  cos x  0 hoặc 2 sin x  1  0    x  6  k 2 1   tan x  1 hoặc sin x   x   k hoặc  2 4  x  5  k 2  6  Đáp số: x  I.2  Xét khai triển:  x  II.1  Số hạng chứa x 2010 2  x2   2,0  k , x  2016 k 2016  2  k  Ck x 2016 k  x 2    2 k C2016 x 2016 3k 2016 k 0 k 0   ứng với 2016  3k  2010  k  2 là 22 C2 x 2010 có hệ số là 2016 2016 2,0  2,0 2 2 22 C2016  4C2016 . Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là  Số phần tử của không gian mẫu là: C95  126 Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A”. Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là : II.2 1,0 + 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C + 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C + 3 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 1 học sinh lớp 11C 1 1 3 1 1 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C42 .C3 .C22  C42 .C32 .C2  C4 .C3 .C2  78 . Xác suất cần tìm là P  78 13  . 126 21 1,0 x 2 x  1  3 3x  2  2 x 2 x  1  1  3 3x  2  1  lim x 1 x 1 x2 1 x2 1  x 2 x  1 1 3 3x  2  1  lim    2 x 1 x2  1   x 1 Ta có lim III.1 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 3 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017     2 x3  x 2  1 3x  3  lim    2 x 1  3 3 x  2 2  3 3 x  2  1  2  x 1 x 2x 1 1 x 1             2,0      2 x2  x  1 3  lim    x 1   x  1 x 2 x  1  1  x  1  3  3x  2  2  3 3 x  2  1           4 3 3   4 6 2 Số cần lập có dạng a1a 2a 2 a 4a 5 , trong đó luôn có mặt chữ số 6. Xảy ra các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a1  6 . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số III.2 4 0;1;2;3;4;5 cho 4 vị trí còn lại  trường hợp này có A 6 số. Trường hợp 2: Nếu a1  6 , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5 cách chọn a1  1;2;3;4;5 . Sau khi chọn a1 và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 2,0 vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là A 3  trường hợp 5 này có 4.5. A 3 số. 5 4 Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là A 6 + 4.5. A 3 =1560. 5 Vì H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Do đó : S CK  ( SAB), SA  (CHK ) . IV.1 H 2,0 x Suy ra CHK vuông tại K và SA  KH . K C A B Đặt SC  x  0 . Trong tam giác vuông SAC ta có IV.2 1 1 1 3a 2 x 2    CH 2  2 . CH 2 CA 2 CS 2 3a  x 2 Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK 2  www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 2,0 2a 2 x 2 . 2a 2  x 2 Trang | 4 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 Ta có sin   13 CK 2 13 2(3a 2  x 2 ) 13      x  6a , vì x > 0. Vậy 19 CH 2 19 3(2a 2  x 2 ) 19 SC  6a  x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y (1)  (x, y  R) . Giải hệ:  x2  x  y  2  x  y  3 (2)   x  y  0 (*) x  y  0 Điều kiện:  Đặt t  x  y  0 , từ (1) ta có: t  t  3  t2  2 t  t  t2  t  3  2 t  0  t(1  t)    0  (1  t)  t  t 3 2 t  3(1  t) 3  t  1 (Vì t   0 t 3 2 t  3  0, t  0 ). 2,0 t 3 2 t V.1 Suy ra x  y  1  y  1  x (3).Thay (3) vào (2) ta có: x2  1 2  ( x  3  2)  ( 2x  1  1)  0  x 2  3  2x  1  3 x2  3  2  2x  2 0 2x  1  1   x 1 2  (x  1)   0  2 2x  1  1   x 3 2   x  1 (Vì x 1 x2  3  2 2  2x  1  1  0, x  1 ). 2 Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 1; y = 0). V.2 Ta có ab ab   ab  2c ab   a  b  c  c www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 ab 1 a b      a  c  b  c  2  a  c b  c   2,0 Trang | 5 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 a b  ac bc bc 1 b c  ca 1 c a        Tương tự ta cũng có ,  bc  2a 2  b  a c  a  ca  2b 2  c  b a  b  1  ab bc ca  3 Cộng các vế ta được S      . 2 ab bc ca  2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 6 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU - Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích. Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước. Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh kiến thức và tối ưu kết quả học tập. CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ - Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học): + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học. + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới. HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM - Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp. Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình. Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất. Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn. Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc. Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học. www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 7