Tài liệu Dethihsgmontoanlop11nam2012_2013truongthptthuanthanhso1_2575

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1 Web: http://bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1 Ngày 14/03/2013 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên  0;1004  : 8sin 2 xcosx  3 sinx  cosx 0   sin  x   6  Câu 2 (3,0 điểm) a) Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau. b) Tính tổng S  1 0 1 1 1 n Cn  C n  ...  Cn . 1.2 2.3  n  1. n  2  Câu 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình x 5  x  2  0 có nghiệm x 0 thỏa mãn x 0  9 8 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3 . M và I là hai điểm thỏa mãn          3MB  MS  0 , 4IS  3ID  0 . Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N. a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (AMI). b) Chứng minh ANI  900 ;AMI  900 . c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S.ABCD. Câu 5 (1,0 điểm). Cho ba số dương a, b, c thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P bc ca ab   a  3 bc b  3 ca c  3 ab --------------------------------- Hết -------------------------------Họ tên thí sinh: …………………………………….. SBD: …………………….. ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TOÁN 11 Câ u 1 ĐÁP ÁN      0  x   k  k  6 6  PT  4sin 2x sinx  3 sinx  cosx  0 ĐKXĐ: sin  x  Điể m 2,0  0,25 1 3  2(cosx  cos3x)  3 sinx  cosx  0  cos3x= cosx  sinx 2 2    x  6  k    cos3x=cos  x     k     3  x    k   12 2 Kết hợp với điều kiện xác định  Phương trình đã cho có nghiệm là x     k 12 2 0,25 0,25 0,25 k   . 1 1     k   2008 x  0;1004   0    k  1004   6 6 12 2 k   1  k  2008  k  0,5    k với 12 2 1  k  2008   5   ,gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng có x1   ,  12 2 12 k   công sai d  nên tổng các nghiệm là: 2 n 2008  5   3025052 S   2x1   n  1 d   .    2 12   2008  1 2   2 2  3  0,5  Các nghiệm của phương trình đã cho trên  0;1004  là x k   2 a) 3,0 1,5 Gọi a1a 2a 3a 4a 5a 6 là số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ {0;2;3;5;6;8}. - Để lập thành một số dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 : 0,5 a1  0 nên có 5 cách chọn a1 , sau đó chọn một hoán vị 5 chữ số còn lại. Do đó có tất cả 5.5! = 600 số dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 . - Ta tìm tất cả các số có hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau trong các số trên: Có 5 vị trí trong mỗi số a1a 2a 3a 4a 5a 6 để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, trong đó vị trí đầu bên trái chỉ có một khả năng là 50a 3a 4a 5a 6 , các vị trí còn lại có thể hoán vị 0 và 5. 0,5 Sau khi chọn vị trí để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, ta chọn một hoán vị các chữ số còn lại. Do đó có 9.4! = 216 số dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 ,trong đó có chữ số 0 và chữ số 5 đứng cạnh nhau. Vậy có tất cả 600 – 216 = 384 số thỏa mãn yêu cầu. b) Ta chứng minh bổ đề: 1 1 Ck  C k 1 n  k  1  n  1 n1 0,5 1,5 (*) 1 n! 1  n  1! .  .  k  1  n  k !k!  n  1  n  k ! k  1! n! n!   (luôn đúng).  n  k ! k  1!  n  k ! k  1! Thật vậy: (*)  0,5 Áp dụng bổ đề, số hạng tổng quát của S là: 1  k  1 k  2  Vậy S   Ck  n 1 1 k 1 1  1  . Cn 1  Ck  2   n2 k  2 n 1 n  1 n  2  1 C  n  1 n  2  1  n  1 n  2  2 n2 2 n 2 C 0 n2 0,5 n2  C3 2  ...  C n  2  n 1 n2 C  2n  2  n  3  .  n  1 n  2  3 0,5 1,0 5 Đặt f  x   x  x  2 f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn [1; 2]. f(1).f(2) = -2.28 = -56 < 0 Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x 0  1;2  . 5 0,5 5 Mặt khác: x 0  x 0  2  0  x 0  x 0  2  2 2x 0 Dấu “=” không xảy ra vì , x 0  1;2  Vậy x 5  2 2x 0  x10  8x 0  x 0  9 8 (đpcm). 0 0 4 a) 0,5 3,0 1,0 S I c N M A b D a B    Đặt AB  a,  1    BC  b, 2 C      AD  b, AS  c            a  a, b  2 a  2a, c  a 3, a.b  a 2 , a.c  0, b.c  0 0,5     3  4   3  1    Ta có: SD  b  c, AI  b  c, AM  a  c 7 4 4       7    SD.AI  0, SD.AM  0 Do đó SD  AI, SD  AM . Vậy SD   AMI  b) 0,5 1,0  1  1  1   1 5  1  a  b  c, NI   a  b  c 2 4 2 2 28 14   0  AN.NI  0  AN  NI  ANI  90 .  3  1     3 3 9  + AM  a  c, MI   a  b  c 4 4 4 7 28      AM.MI  0  AM  MI  AMI  900 . Ta có: AN  0,5 0,5 c) 1,0 Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AMNI.  a 3   a 6  a 42 AM  , AN  AN  , NI  NI  2 2 14 2 1 3a 7  SANI  AN.NI  ; 2 28      15a 2  AM.AN 5 14 + AM.AN   cosMAN    sin MAN  16 AM.AN 4 2 8 45a 2 7 Vậy SAMNI  SANI  SAMN  (đvdt). 224 + AM  0,5 0,5 5 1,0 Đặt x  a , y  b, z  c với x, y, z > 0. yz zx xy Khi đó P  2  2  2 x  3yz y  3zx z  3xy 3yz 3zx 3xy Ta có 3P  2  2  2 x  3yz y  3zx z  3xy 0,25  x2  y2 z2 3 2  2  2  3Q x  3yz y  3zx z  3xy   Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:   x y z  x 2  3yz  y 2  3zx  z 2  3xy   x 2  3yz  y 2  3zx z 2  3xy    Q  x 2  y 2  z 2  3xy  3yz  3zx  2  x  y  z  x  y  z Q Mặt khác: xy  yz  zx  2 3  x  y  z   xy  yz  zx 2 0,25 2 3 9 3 , do đó 3P   P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 4 4 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . 4 0,25 Suy ra Q  Các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng 0,25 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU - Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích. Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước. Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh kiến thức và tối ưu kết quả học tập. - CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ - Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học): + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học. + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới. HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM - - Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp. Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình. Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất. Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn. Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc. Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học. www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1