Tài liệu đề thi hsg toán 9 năm 2012-2013

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh MAI §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : Toán Thêi gian lµm bµi : 150 phót §Ò chÝnh tttttttttttt (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ) Bài 1 ( 6 điểm ) Cho P =  1  x  3 x  x 9    9 x x 3 :   x x  6  2 x    x  2  x  3  1. Rút gọn P. 2. Tìm x để P > 0 3. Với x > 4, x ≠ 9. Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1) Bài 2 ( 4 điểm ) 1. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là 1 số chính phương. 2. Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 A =  a  b  1a 2  b 2   a  b Bài 3 ( 2 điểm )  x  2012  y  2012  2012  x  y  2012 Cho hệ phương trình :  1. Chứng minh rằng : x = y 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình. Bài 4 ( 5 điểm ) Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O ’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R ’). Vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM  AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với B  (O) và C  (O’) 1. Chứng minh OM // O’N. 2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui. 3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 5 ( 3 điểm ) 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng : ma mb mc R  r    ha hb hc r 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1. __________________________________________________________ phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh MAI Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9 N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Bài Bài 1 (6 đ ) Nội dung Điểm 1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9 P=  x 3 x   1   :    x  9    2 =…= 2 2. P > 0   9 x x 3   x 3 x  2 2 x   0,5đ. x  2  x  3  0,5đ. 2,0đ. x  2 x 0   x 0, x 4, x 9 0,5đ.  0 x  4 0,5đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. Bài 2 (4đ) 2 2 1. Đặt n – 14n – 256 = K ( K є N )  ( n – 7 )2 – K2 = 305  ( n – K – 7 )( n + K – 7 ) = 305 = 1.305 = 61.5 Xét các trường hợp: do n + K -7 > n – K – 7 n – K – 7 = 1 và n + K – 7 = 305 => n = 160 n – K – 7 = - 305 và n + K – 7 = -1 => n = -146 ( loại ) n – K – 7 = 5 và n + K – 7 = 61 => n = 40 n – K – 7 = -61 và n + K – 7 = -5 => n = -26 ( loại ) Vậy n = 40, K = 28 hoặc n = 160 , K = 152 2. Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a2 và b2 a 2  b 2 2 a 2 b 2 2ab 2 4 2   2 2 A =  a  b  1 a  b   a  b 2  a  b  1  a  b   A 0,25đ. 0,25đ. 0,25đ. 0,25đ. 0,5đ. 0,5đ.  4   2 a b     a  b  . Áp dụng BĐT a b   4 2  2  a  b .  2 ab 2  4  2 8 a b = 1,0đ. Cô si có 0,5đ. -> Giá trị nhỏ nhất của A=8 a = b = 1 0,5đ Bài 3 (2đ) Điều kiện  0  x 2012   0  y 2012 Từ 2 phương trình của hệ ta có : x 2012  y  2012  x  0,5đ. y <-> x  2012  x  y  2012  y Nếu x > y thì  2012  x   2012  y => VT > VP ( mâu thuẫn ) Tương tự nếu x < y => VT < VP ( mâu thuẫn ) => x = y 0,5đ. 0,5đ. => Hệ  x y    x  2012  x  2012 (1) ( 2) Bình phương 2 vế của pt (2) => x = 0 hoặc x = 2012 => Nghiệm của hệ ( x;y) = (0;0),(2012;2012) 0,5đ. Bài 4 (5đ)   2,0đ. 1. O1 O1' (180 0  2 Aˆ1 ) => OM //O’N 2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’ Có : PO ' O' N R'   PO OM R 0,75đ. Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’ Do OB // O’C => P ' O' O' C R'   P' O OB R => P = P’ -> đpcm 3. MNO’C là hình thang có  OM  O' N O' H  R  R' O' H S= 2 2 Dấu “ = “ xảy ra  H  R  R ' 2 Vậy Max S = 0,75đ.   R  R ' R  R' OO'  2 2  O  OM 2  OO’ và O’N  OO’ 2 Bài 5 (2đ) 1,0đ. 1. Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC A1 , B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Có : AA1 = ma ≤ R + OA1 đẳng thức xảy ra  AB = AC BB1 = mb ≤ R + OB1 đẳng thức xảy ra  AB = BC 0,5đ. CC1 = mc ≤ R + OC1 đẳng thức xảy ra  AC = BC m m m 1 1 1   OA OB OC  => h a  h b  h c  R h  h  h    h 1  h 1  h 1  a b c b c  b c   a  a (1) 2S 2S 2S 2 S a  b  c    r ha hb hc 1 1 1 1 Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => h  h  h  r a b c 2S 2S 2S 2S = a.OA1  b.OB1  c.OC1  h OA1  h OB 1  h OC1 a b c 0,5đ. Có 2S = ( a + b + c)r ->  OA OB OA OC  OB OC 1 1 1 = 2S  h 1  h 1  h 1  => h  h  h 1 a b c b c   a ma mb mc (2) 0,5đ. (3) Rr Từ (1),(2),(3) => h  h  h  r a b c Dấu đẳng thức xảy ra  ∆ABC đều 0,5đ. 2. Theo đề bài có : a + b2 = K(a2b – 1) ( K є N* )  a + K = b( Ka2 – b )  a + K = mb (1) 2 2 Với Ka – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka (2) Từ (1) và (2) có ( m – 1 )( b - 1 )= mb – b – m + 1 = a + K – Ka2 + 1 = ( a + 1)( K + 1 – Ka ) (3) Vì m > 0 theo (1) nên ( m – 1 )( b – 1) ≥ 0 . Từ (3) => K + 1 – Ka ≥ 0 => K + 1 ≥ Ka => 1 ≥ K( a – 1 ) =>  K ( a  1) 0 a 1     K ( a  1 )  1 a  2, K 1   * Nếu a = 1 từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 2 => b = 2 hoặc b = 3 => (a; b) = ( 1; 2) và ( 1; 3) * Nếu a = 2, K = 1 => ( m -1)(b – 1 ) = 0 Khi m = 1 từ (1) => ( a; b ) = ( 2; 3 ) Khi b = 1 => (a; b) = ( 2; 1) Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1) 0,75đ. 0,25đ. phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai §Ò chÝnh thøc §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 N¨m häc 2010 - 2011 M«n thi : Sinh häc Thêi gian lµm bµi : 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò )