Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p9

Trêng THCS §Þnh Thµnh §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150’ Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: §ç ThÞ H¬ng C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh: Ph¹m V¨n Long §Ò thi: C©u 1 (6 ®iÓm): Cho biÓu thøc A=   a    . 1 : 1  1  a       1 a 1  2 ( a  1)(   a  1)  a a) T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó A cã nghÜa. b) Rót gän biÓu thøc A. c) víi gi¸ trÞ nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2(4 ®iÓm): Cho hµm sè: y = x  m cã ®å thÞ lµ (Dm) vµ hµm sè: y = 2 ®å thÞ lµ (T). a) Víi m = 2 . VÏ (T) vµ (D-2) trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é. b) Dïng ®å thÞ biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x + 2m - 2 x 2  2 x  1  0 C©u 3(3 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: C©u 4(2 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3 4 x 1  x86 x 1 cã x  y  2 x 3  y 3  26  x 1  5 C©u 5: ( 6 ®iÓm): Cho hai ®êng trßn ( O;R) vµ (O’; r) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B  (O), C  (O’). a) TÝnh sè ®o gãc BAC b) TÝnh BC. c) Gäi D lµ giao ®iÓm cña CA víi ®êng trßn t©m O, ( D ≠ A). Chøng minh r»ng ba ®iÓm B,O,D th¼ng hµng. d) TÝnh BA,CA ………………………****HÕt***………………………………….. Trêng THCS §Þnh Thµnh Híng dÉn chÊm m«n to¸n 9: C©u 1: Ta cã: A =   a    . 1 : 1  1  a        1 a  1 :  1 a  A= A= 1 a 1  2 ( a  1)(   a  1)  a a  a 1 2 a .  ( a  1)( a  1)  (0,5 ®iÓm)   1 ( a  1) 2 1 : .   1  a  ( a  1)( a  1)  a) BiÓu thøc A cã nghÜa khi: a  0 1 a  0 a  0 a  0 a1 0   a 1 a 1     a 1  0 (0,5 ®iÓm) (*) ( 1 ®iÓm) b) Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: A= A=  1 1 :  1 a  (1  a) ( ( a  1)( c) Ta cã: A=  ( a  1) 2 .   ( a  1)( a  1) a  1) 2  a  1) a 1 a 1 a 1 =1- 2 a 1 a 1 (1 ®iÓm) (1 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn khi: ( 2 a  1) (0,5 ®iÓm) hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3} KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) => a = 0 (1 ®iÓm) C©u 2: Víi m = - 2 ta cã hµm sè: y = (0,25 ®iÓm) Ta l¹i cã: y = x 1 = Tõ ®ã ta cã ®å thÞ sau: x 2 2  x  1 neu x  1  x  1 neux  1  (0,25 ®iÓm) y (T) 2 1 0 -5 1 5 x (Dm) -2 (D-2) (1 ®iÓm) b) Tõ ph¬ng tr×nh x + 2m - 2  x + 2m = 2  x 2  2x  1  0 => x + 2m = 2 x 2  2 x  1 (0,25 ®iÓm) (02,5 ®iÓm) x 1 x  m  x 1 2 (0,5 ®iÓm) Nh vËy, sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña (T) vµ (Dm) (0,5 ®iÓm) Khi m thay ®æi th× (Dm) còng thay ®æi nhng lu«n s«ng song víi ®êng th¼ng (D-2) (Dm) ®i qua ®iÓm (1;0) khi m = - 1 2 Dùa vµo ®å thÞ ta cã: NÕu m < - 1 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm NÕu m = NÕu m > - 2 1 2 1 2 ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt (1 ®iÓm) x  y  2  x  y  2 x 3  y 3  26 ( x  y) 3  3xy( x  y)  26   C©u 3: ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (1 ®iÓm) §Æt : S = x + y; P = x.y Ta cã: (1) S  2 S 3  3SP  26 (2)  (1 ®iÓm) Thay S = 2 vµo (2) ta ®îc 8 - 6 P = 26  P = -3 Suy ra x ; y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : t2-2t-3 = 0 hay: (t+1)(t-3)= 0 Gi¶i ra ta cã t = -1 ; t = 3 Do ®ã nghiÖm cña hÖ lµ (-1;3) ; (3; -1) (1 ®iÓm) C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( §iÒu kiÖn x  1 ) x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  5 Khi ®ã ta cã: x  1  2 .2  ( Hay :   x 1  4  x  1  2) 2  x 1  2  x 1  3  3  x 1  3  0 ( v× ( x  1  2.3 x 1  9  5 x  1  3) 2  5 x 1  3  5 (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) x 1 A  A  A0 (0,5 ®iÓm) Tõ ®ã ta cã: x  1  3 x - 1 ≤ 9 hay x ≤ 10 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: 1  x  10 (0,5 ®iÓm) C©u 5: H×nh vÏ: (0,5 ®iÓm) a) KÎ tiÕp tuyÕn chung t¹i A , c¾t BC ë I. Ta cã: b i IB = IA= IC ( tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) (0,5 ®iÓm) c 0 => gãc BAC = 90 (0,5 ®iÓm) o b) häc sinh chøng minh ®îc: IO  IO’ (tia ph©n gi¸c o' a cña hai gãc kÒ bï) (0,5 ®iÓm) => Gãc OIO’ = 900 Tam gi¸c IOO’vu«ng t¹i I, ®êng cao IA nªn: d IA2 = OA.O’A = R.r (0,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) Nªn BC = 2 IA = 2 R.r (0,5 ®iÓm) 0 c) Do gãc BAC = 90 nªn gãc BAD = 900. Tam gi¸c ABD vu«ng t¹i A néi tiÕp ®êng trßn (O) nªn BD lµ ®êng kÝnh. (0,5 ®iÓm) Do ®ã ba ®iÓm B,O,D th¼ng hµng . (0,5 ®iÓm) d) Do tam gi¸c CBD vu«ng t¹i B nªn: 1 1 1 1 1 Rr      2 2 2 2 4 R.r 4 R 2 .r BA BD BC 4R Suy ra: BA= T¬ng tù: CA = 2R r Rr 2 R Rr (0,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm)