Trêng THCS §Þnh Long
§Ò thi m«n: To¸n 9
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: TrÞnh §×nh Thanh
C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: Ph¹m Ngäc Toµn
§Ò bµi:
Bµi 1 ( 3 ®iÓm ): Cho biÓu thøc:
P=
x 3
x
x2
x 3
x 3)
2(
x 1
x 3
3
x
1) Rót gän biÓu thøc P
2) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14-6
3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
5
Bµi 2 ( 3 ®iÓm ): Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1)
2)
1
x3
36
x2
x2
4
y 1
1
x2
x 1
28 4 x 2
1
x 1
x
1
y 1
Bµi 3 ( 3 ®iÓm ):
1) Cho biÓu thøc A = x 2 4 x 20 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A
2) Cho (x+ x 2 3 )(y+ y 3 ) = 3. T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y
2
Bµi 4 ( 3 ®iÓm ):
1) Chøng minh r»ng:
5
2
<1+
1
2
1
3
1
4
1
...
50
< 10
2
2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x + y + z
BiÕt x + y + z = 2007
2
2
2
Bµi 5 ( 3 ®iÓm ): Cho a, b, c lÇn lît lµ ®é dµi c¸c c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c
ABC. Chøng minh r»ng:
Sin
A
a
2
2 bc
Bµi 6 ( 5 ®iÓm ): Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh 60 cm. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm
D sao cho BD = 20 cm. §êng trung trùc cña AD c¾t c¸c cacnhj AB, AC theo thø
tù ë E, F. TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c DEF.
------------- HÕt----------
§¸p ¸n chÊm + thang ®iÓm
Bµi
Néi dung
Bµi 1 1) §iÒu kiÖn ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc P x¸c ®Þnh: x 0; x 9
3
Rót gän:
®iÓm
x x 3
2( x 3)
x 3
P=
(
x 1)(
x 3)
=
x
x 3 2(
=
x
=
x
x 1
x 3) 2 (
x 3)(
(
x 3
x 3)(
x 3)(
(
x 3x 8
(
x 3)(
2) x = 14 -6
Khi ®ã P =
3) P =
x 24
x 1)
= ... = (
5
14 6 5 8
3
x8
x 1
=
x 1)
x ( x 8) x ( x 8)
5
(
x 3)(
22 6 5
x 1
VËy min P = 4 khi x = 4
Bµi 2 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
1
1
®iÓm
x3 x2
x2
0
<=>
=
(
x3
x3
x 1
(
x 1;
9
x 1
x 1 x )(
x
x 1
x)
x 1
x 2)
1
x 1
+
9
x 1
9
x
1
)
x2
0,25
®k: x
x2
(
0,5
0,5
x 1
<=> x = 4 tho¶ m·n ®k
x 1
0,25
0,25
5
1
x2
x 2 )(
x8
x 1
x3
x 1)
- 3)2 => x = 3 -
-2 2 9 -2=4
( ¸p dông B§T C«si cho hai sè d¬ng
DÊu " = " s¶y ra <=>
0,5
x 3
58 2 5
11
5 1
4 5
x 1 9
9
x 1
x 1
x 1
0,25
x 1)
x 1)
x 3 2 x 12 x 18 x 3 x
§iÓm
0,5
x 1)(
0,5
x 1
x2
x 1)
<=> ( x 3 - x 2 ) + ( x 2 - x 1 ) + (
=1
<=> x 3 = x + 1
<=> x + 3 = x + 2 x + 1
<=> 2 x = 2
<=> x = 1
<=> x = 1 tho¶ m·n ®k. VËy pt cã nghiÖm x = 1
36
2) ®k ®Ó ph¬ng tr×nh
x2
cã nghiÖm lµ: x > 2; y > 1
(1) <=>
<=>
36 4(
x 2) 2
x2
(6 2
x 2)
2
x2
4
y 1
4(
(2
28 4 x 2
y 1) 2
y 1
y 1) 2
y 1
x 1
-
)
0,5
0,25
y 1
28 0
(1)
0,25
0,25
0
(2)
(6 2 x 2 ) 2 0
2
(2 y 1) 0
Víi x > 2; y > 1 =>
(3)
x 2 0
y 1 0
0,25
(6 2 x 2 ) 2 0
(6 2 x 2 ) 0
Tõ (2) vµ (3) =>
<=>
(2 y 1) 0
(2 y 1) 2 0
6 2 x 2
<=>
<=>
2 y 1
x
0,5
x 11
y 5
Thö l¹i: x = 11; y = 5 lµ nghiÖm cña pt
VËy pt cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x,y) = (11,5)
Bµi 3 1) A = x 2 4 x 20
3
A = ( x 4 x 4) 16 ( x 2)
®iÓm
A = 4 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2
VËy Min A = 4
2
2
16
16 4
0,5
0,5
0,5
2) XÐt biÓu thøc (x+ x 2 3 )(y+ y 3 ) = 3 (1)
Nh©n 2 vÕ cña (1) víi (x- x 2 3 ) 0 ta ®îc:
-3(y+ y 3 ) = 3(x- x 2 3 )
<=> -(y+ y 3 ) = (x- x 2 3 ) (2)
Nh©n 2 vÕ cña (1) víi (y- y 3 ) 0 ta ®îc:
-3(x+ x 2 3 ) = 3(y- y 3 )
<=> -(x+ x 2 3 ) = (y- y 3 ) (3)
LÊy (2) céng víi (3) ta ®îc:
-(x+y) = x+y => x+y = 0
VËy A = x+y = 0
2
2
2
0,5
2
2
2
Bµi 4
1) 5 2 < 1 +
3
®iÓm
1
®Æt S = 1 +
1
2
2
ta cã: S >
1
50
1
3
1
2
1
50
2
2 2
2
2 50
2
Bµi 5
3
®iÓm
2
1 0
1- 0
2 1
1
2
50
+
1
2
Céng 2 vÕ ta ®îc:
S<
2
3
50
MÆt kh¸c ta cã: 1 =
1
1
2
4
1
1
4
<
...
50
1
50
2
1
50
< 10
0,5
2
0,25
1
...
50
1
...
0,5
0
=
1
50
.50 = 5
2
(1)
0,5
;
0,5
;...;
49
0,5
0,25
2
...
2 1
50
)+( 2 - 1 )+...+( 50
49
= 2{(
- 49 )} = 2 50 = 10
(2)
2
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 5 2 < S < 10 2 (®pcm)
2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x2 + y2 + z2
BiÕt x + y + z = 2007
¸p dông B§T Bu nhiac«pxki ta cã:
(x+y+z)2 (x2+y2+z2).(1+1+1)
<=> x2+y2+z2 (x+y+z)2 /3 = 2007/3 = 669
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ: 669
0,5
0,25
0,25
0,5
KÎ Ax lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC, kÎ BM Ax vµ CN Ax
Tõ hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ ANC, ta cã:
A BM
=> BM = c.sin A
2
AB
2
A
CN
A
SinNAC = sin
=
=> CN = b.sin
2
AC
2
Do ®ã BM + CN = sin A (b+c)
2
Sin MAB = Sin
0,5
0,5
0,5
MÆt kh¸c ta cã BM + CN BD + CD = BC = a
=> sin A (b+c) a, v× sin A < 1
2
Do b+c 2
Hay sin
Bµi 6
5
®iÓm
1
2
A
2
bc
nªn
a
2 bc
1
1
bc
2 bc
( ®pcm)
0,5
0,25
GT: Tam gi¸c ABC: AB = BC = AC = 60 cm, BD = 20 cm
KL: DE = ?; DF = ?; EF = ?
§¹t DE = AE = x, DF = AF = y. KÎ DI AB, DK AC.
Ta cã BI = BD.cos600 = 20. 1 = 10
0,5
0,25
2
DI = BD 2 BI 2 = 20 2 10 2 = 300 = 10 3
Ta cã: EI = 50 - x, ¸p dông ®Þnh lý pitago trong tam gi¸c vu«ng
DEI ta cã: ED2 = EI2 + ID2 = (50 - x)2 + (10 3 )2
=> x2 = 2500 - 100x + x2 +300 <=> 100x = 2800 => x = 28
Ta cã: CK = CD. cos600 = 40. 1 = 20; DK = DC 2 CK 2 =
2
40 20 = 1200 = 20 3 .
Ta cã: FK = 40 - y; ¸p dông ®Þnh lÝ pitago trong tam gi¸c vu«ng
DFK ta cã: DF2 = DK2 + FK2 = (40-y)2 + (20 3 )2
<=> y2 = 1600 - 80y + y2 + 1200 <=> 80y = 2800 => y = 35
KÎ EK AF, ta cã: AH = EA. cos600 = 28. 1 = 14.
2
HF = y-14 = 35 - 14 = 21
2
2
EH = x.sin600 = 28.
3
2
= 14
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Suy ra: EF = EH 2 HF 2 = (14 3 )
21 .
VËy: DE = 28, DF = 35, EF = 7 21 .
0,25
2
212
=
1029
=7
- Xem thêm -
.DOC 
6 
99 
94 
