Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p7

trêng THCS §Þnh T©n §Ò thi m«n: to¸n 9 (Thêi gian lµm bµi : 150 phót) Hä vµ tªn gi¸o viªn ra ®Ò: Lª V¨n Yªn §Ò bµi x 1 1 Bµi 1( 4,5®iÓm): Cho biÓu thøc: A= x4  2 2  2 2 a). T×m ®iÒu kiÖn cñ x ®Ó biÓu thøc A x¸c ®Þnh. b). Rót gän gän biÓu thøc A. c). TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 25. d). T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A =  1 3 Bµi 2(4 ®iÓm): Mét ®oµn häc sinh tæ chøc ®i tham quan b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh. NÕu bít ®i 1 « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu c¸c häc sinh trªn c¸c « t« cßn l¹i. BiÕt mçi « t« chØ trë ®îc kh«ng qu¸ 32 ngêi, hái ban ®Çu cã bao nhiªu « t« vµ cã tÊt c¶ bao nhiªu häc sinh ®i tham quan? Bµi 3 (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c MNP c©n t¹i M.. C¸c ®êng cao MD vµ NE c¾t nhau t¹i H. VÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh MH. Chøng minh r»ng: a)E n»m trªn ®êng trßn (O). b) Bèn ®iÓm M, N, D, E cïng thuéc mét ®êng trßn. c). DE  OE. Bµi 4 (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 150; gãc B b»ng 450 trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2BC. a). TÝnh gãc ADB. b). TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn AC, nÕu biÕt BC = 3 cm. Bµi 5 (3,5 ®iÓm): Cho hai sè thùc a,b tho· m·n a > b vµ ab = 2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Q = a2  b2 a b . HÕt §¸p ¸n Bµi 1 (4,5 ®iÓm): a). (1 ®iÓm) BiÓu thøc A ®îc x¸c ®Þnh :  x Xac dinh x0    x 0 x  04 (0,5diem) x4   x4  x  4  x  02  (0,5 ®iÓm) b). (1,5 ®iÓm): Rót gän biÓu thøc A A= = x  x4 = 2 2 ( x  2) x  x  2)( x ( = x 2 x  2  ( (  1  x (0,5 ®iÓm) = 1 2 2  ( x  2 x  2) x x  2)(  x 2 x 2  ( 0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) x 2 c). ( 0,5 ®iÓm): Khi x = 25 th× A = d). (1,5 ®iÓm): A = x  2)  (0,25 ®iÓm) x  2) x  2) x  2) ( x 2   1 3  3 25 25  2 x x 2 x  =   1 3 x 2 5 3 (0,5 ®iÓm). (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm)  4 x 2 (0,25 ®iÓm) 1  x (0,25 ®iÓm) 2 1  x= ( T/m ®iÒu kiÖn) 4 A=  1 . (0,25 ®iÓm). 3 (0,25 ®iÓm) VËy víi x= 1 th× 4 Bµi 2(4 ®iÓm) : Gäi sè « t« ban ®Çu lµ x (x  Z, x>1). (0,25 ®iÓm) Th× sè häc sinh sÏ lµ : 22x + 1 (0,25 ®iÓm) 22 x  1 Khi ®ã ta cã : x  1  N (0,5 ®iÓm).  22 + 23 N x 1 23 Z x 1 (0,5 ®iÓm). (0,5 ®iÓm). Suy ra x - 1 lµ íc sè cña 23. (0,5 ®iÓm). 1; 23  x  2 ; 24 . V× x > 1 nªn (x - 1) (0,5 ®iÓm). V× mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 32 häc sinh nªn x = 24. (0,5 ®iÓm). VËy sè « t« lµ 24 , sè häc sinh lµ 529 em. (0,5 ®iÓm).  x2  Bµi 3 (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c MNP c©n t¹i M. C¸c ®êng cao MD vµ NE c¾t nhau t¹i H. VÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh MH. Chøng minh r»ng: a)E n»m trªn ®êng trßn (O). b) Bèn ®iÓm M, N, D, E cïng thuéc mét ®êng trßn. c) DE  OE. M O E H N D P a). Tam gi¸c HME lµ tam gi¸c vu«ng t¹i E nªn néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh MH. Tõ ®ã E  ®êng trßn (O). (1 ®iÓm) b). C¸c tam gi¸c MDN vµ MEN lµ c¸c tam gi¸c vu«ng cã chung c¹nh huyÒn MN nªn 4 ®iÓm M,N,D,E cïng thuéc mét ®êng trßn ®êng kÝnh MN. (1 ®iÓm). c). Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O): Ta cã : ENP = DMP ( v× cïng phô víi gãc MPN). (1) (0,25 ®iÓm) V× OM = OE nªn tam gi¸c OME c©n , suy ra: OME = OEM (2) (0,25 ®iÓm) Tam gi¸c NEP vu«ng t¹i E, cã ED lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn NP nªn: DN = DE. Suy ra tam gi¸c DNE lµ tam gi¸c c©n. Suy ra DNE = DEN (3) (0,5 ®iÓm) Tõ (1), (2), vµ (3) Suy ra : OEM = DEN . (0,25 ®iÓm) L¹i cã: OEM + HEO = 90o , Nªn OEH + HED = 90o Suy ra DE  OE ( 0,5 ®iÓm) Suy ra DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). ( 0,25 ®iÓm). A Bµi 4 ( 4 ®iÓm): H B C D a). TÝnh gãc ADB: ( 3 ®iÓm) KÎ DH AC , nèi B víi H : XÐt tam gi¸c ABC ta cã: gãc ACB = 1800 - (A + B) = 1200 (0,25 ®iÓm) Suy ra gãc HCD = 600 . (0,25 ®iÓm) Tam gi¸c HCD vu«ng t¹i H cã gãc HCD = 600 nªn gãc HDC = 300. (0,25 ®iÓm) Suy ra HC = CD = .2BC = BC. (0,25 ®iÓm) Suy ra tam gi¸c HCB c©n gãc HBC = 300. (0,25 ®iÓm) Tam gi¸c HBD cã gãc HBC = gãc HDC = 300 tam gi¸c HBD c©n (0,25 ®iÓm) HB = HD (1) (0,25 ®iÓm) Tam gi¸c HAB cã: gãc HAB = gãc HBA = 150 tam gi¸c HAB c©n. (0,25 ®iÓm) HA = HB (2). (0,25 ®iÓm) Tõ (1) vµ (2) HA = HD (0,25 ®iÓm) 0. Tam gi¸c HAD vu«ng c©n gãc HDA = 45 (0,25 ®iÓm) Gãc ADB = gãc ADH + gãc HDB = 450 + 300 = 750 (0,25 ®iÓm) b). TÝnh kho¶ng c¸h tõ D ®Õn AC: ( 1 ®iÓm) V× DH AC nªn DH chÝnh lµ kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn AC. (0,25 ®iÓm) XÐt tam gi¸c vu«ng HDC ta cã : CD = 2 BC = 2 . 3 = 6 ( cm). (0,25 ®iÓm) 0 = 3 (cm). DH = CD . cos C = 6 . cos60 (0,5 ®iÓm) Bµi 5 ( 3,5 ®iÓm): Ta cã : Q = ( 0,5 ®iÓm) =a-b+ . ( 0,5 ®iÓm) V× a > b nªn a - b > 0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si ta cã: Q = (a - b) + = 4. ( 0,5 ®iÓm) DÊu b»ng x¶y ra ( 0,5 ®iÓm) ( 0,5 ®iÓm) ( 0,5 ®iÓm) VËy Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q ®¹t ®îc lµ: Qmin=4. ( 0,5 ®iÓm) (Ghi chó: Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a)