Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p5

®Ò thi häc sinh giái To¸n 9 Bµi 1 ( 4 ®iÓm ) Cho biÓu thøc P 1 3 - x 1 x x 1  2 x- x 1 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P Bµi2 (4 ®iÓm) a) Cho ®êng th¼ng y  2x , y  1 x, y2 2 c¾t nhau t¹o thµnh mét tam gi¸c. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®ã. b) T×m trªn ®êng th¼ng y = 4x + 1 nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n: 2 – 5y y x + 4x = 0. Bµi 3.(3®iÓm) a. Cho c¸c sè d¬ng a, b, c thay ®æi vµ tho¶ m·n a + b + c = 4. Chøng minh: a  b  b  c  c  a  4 . b. Cho 3 sè d¬ng x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn xy + yz + zx = 2010.Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau ®©y kh«ng phô thuéc vµo x, y, z:  2010  y   2010  z   y  2010  z   2010  x   z  2010  x   2010  y  2 Px 2 2 2 2 2 2010  x 2 2010  y 2 2010  z 2 BBµi 4(5®iÓm) Cho ba ®iÓm cè ®Þnh A,B,C th¼ng hµng theo thø tù ®ã.vÏ ®êng trßn t©m O qua B vµ C. Qua A vÏ tiÕp tuyÕn AE, AF víi ®êng trßn (O); Gäi I lµ trung ®iÓm BC ,N lµ trung ®iÓm EF . a. Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm E, F lu«n n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh khi ®êng trßn (O) thay ®æi . b. §êng th¼ng FI c¾t ®êng trßn (O) t¹i K. Chøng minh r»ng : EK // AB . c. Chøng minh r»ng t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ONI ch¹y trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi ®êng trßn(O) thay ®æi. Bµi 5(4 ®iÓm) a.Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: (y+2)x2+1=y2 b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 2009  x  2009   ...   1.2 2.3 x( x  1) 2009  x  2010 Bµi 1 . a) §iÒu kiÖn x  0 P P  1 x 1 ( x- 3 x  1)(x - x 1- 3  2 x x 1 x 2 Híng dÉn chÊm: x  1)  x- (0.25) 2 x 1 (0.25) (0.5) x( P  P (0.5) x 1 x x x 1 x- (0.5) 2  1 3  x - x  1   x -    0 x  0 2 4    x  0  x 0 b) Ta cã nªn x  1) P x x 1 x- (0.5) (0.25) 0 ,x 0 P = 0  x = 0 . VËy min P = 0  Ta cã x-2 x x-   ( 0.25) 2 x -1  0 ,  x  0 x x +1 0 +1 x ,x0 (0.5) x  1,  x  0 x 1 (0.25)  P  1  x  0 ; P = 1  x = 1 . VËy MaxP = 1 khi x = 1 Tãm l¹i : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1 Bµi 2. y a. y= 2x y= A B 0 2 (0.25) (0.5) 1 x 2 y=2 12 3 4 2 x TÝnh A( ( 2 ;2); B ( 4;2) (0.5) TÝnh S OAB  4  2 (1.0) b. §iÒu kiÖn: x  0. (0.25) 2 – 5y Khi ®ã ta cã: y x + 4x = 0 y  x . (0.5)  (y  x)(y  4 x)  0   y  4 x Do ®ã ®Ó ®iÓm M(x0; y0) víi víi y0 = 4x0 + 1 lµ ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = 4x + 1 tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n th× ta cÇn cã x0  0 vµ: 1 2 15  4x 0  1  x 0 (2 x 0  4 )  16  0  x  1 . (0.5)   0  4 4x 0  1  4 x 0 2  (2 x 0  1)  0  1  VËy to¹ ®é ®iÓm M cÇn t×m lµ: M =  ;2  . (0.25) 4  Bµi 3. a. Do a , b, c > 0 vµ tõ gi¶ thiÕt ta cã : a + b < a + b + c = 4 => a  b  2  a  b  2 a  b (1 ) 0,5 T¬ng tù ta cã b + c < 2 b  c (2) 0.25 a + c < 2 c  a (3) 0,25 Céng vÕ víi vÕ cña (1) , (2) , vµ (3) ta cã 0.25 2 a  b  c   2 a  b  b  c  a  c  hay b. ( §PCM) 0,25 2010+x2= xy+yz+zx+x2= (x+y)(z+x) 2010+y= xy+yz+zx+y2=(x+y)(y+z) 2010+z2 = xy+yz+zx+z2=(y+z)(z+x) Suy ra: x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx) Do ®ã: P= 2.2010=4020 Bµi 4. 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 ab  bc ca 4 1.  ABF vµ  AFC ®ång d¹ng (g_g) Ta cã : AB/ AF=AF/AC  AF2=AB.AC  AF= AB. AC Mµ AE=AF nªn AE=AF= AB. AC VËy E,F thuéc ®êng trßn (A; AB. AC ) cè ®Þnh. 2. Tø gi¸c AOIF néi tiÕp ®êng trßn Ta cã :  AIF =  AOF (1) 1 1  AOF =  EOF vµ  EKF =  EOF 2 2   EKF =  AOF (2) Tõ(1) vµ(2)   AIF =  EKF Do ®ã :EK vµAB song song v¬Ý nhau 3. Cm ®îc A,N,O th¼ng hµng vµ AO  EF ; Gäi H lµ giao ®iÓm cña BC vµ EF . 0.5 0.5 kh«ng ®æi 0.5 0.5 0.5 0.5 Ta cã :  ANH vµ  AIO ®ång d¹ng nªn AH  AN 0.5 AO AI Suy ra :AH.AI =AN.AO L¹i cã :AN .AO=AE2 =AB.AC 0.5 AB. AC Do ®ã : AI.AH =AB.AC  AH  kh«ng ®æi . AI VËy H cè ®Þnh 0.5 Tø gi¸c OIHN lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn nªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp OIN lu«n qua I vµ H ;Do ®ã t©m ®¬ng f trßn nµy n»m trªn ®êng trung trùc cña IH 0.5 Bµi 5. a. (y+2)x2+1 = y2 0.5  (y+2)x2–(y2-4) = 3 2-y+2) = 3 0.25  (y+2)(x Suy ra: y+2 1 3 -1 -3 2-y+2 x 3 1 -3 -1 y -1 1 -3 -1 x Lo¹i 0 Lo¹i 0 1® VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ: (0;1),(0;-1) 0.25 1 1 1 1 b. 1.2  2.3  ...  x( x  1)  1  x  1 0.5 2009  x  2009 Suy ra: 2009  x  2010  1 1 2009  x  2010 x+1 = 2009  x  2010  2009-x+ 2009  x  0  2009  x ( 2009  x  1)  0  2009  x  0  x = 2009 (tm) ( x  2009) 0.5 0.5 0.5