Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p3

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o Trêng THCS Yªn Hïng §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: NguyÔn Xu©n Hïng. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: 1 NguyÔn Xu©n Niªn 2 NguyÔn Xu©n Hïng x2 C©u 1. (4®) Cho biÓu thøc A = ( x x  1 - x x  1 ): x x x x x2 a, Nªu ®iÒu kiÖn ph¶i cã cña x vµ rót gän biÓu thøc A b, T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2. (4®) Gi¶i ph¬ng tr×nh. a, x 1 x2 x3 x4 + = + 2008 2007 2006 2005 b, x  1  4 x  5 + 11  x  8 x  5 = 4 C©u 3. (4®) Cho ®êng th¼ng (m+2)x – my = -1 (1) (m lµ tham sè) a, T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua. b, T×m ®iÓm cè ®Þnh cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®êng th¼ng (1) lµ lín nhÊt. C©u 4. (6®) Cho ABC (AB = AC ) BiÕt � = 800 . A � � LÊy ®iÓm I n»m trong tam gi¸c sao cho ICB = 200; IBC = 100 a, LÊy K ®èi xøng víi i qua AC . Chøng minh r»ng tø gi¸c AKCB néi tiÕp . b, TÝnh � AIB C©u 5. (2®) Cho 2 sè d¬ng x,y cã tæng b»ng 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc . A= 1 1 + x y §¸p ¸n – biÓu ®iÓm C©u 1. (4®) C©u a, LËp luËn gi¶i kÕt hîp ®Ó t×m ®iÒu kiÖn cña A. ( x > 0, x  1, x  2) cho (0,5®) 2 biÕn ®æi biÓu thøc trong ngoÆc: 2 x 2  2 x (0,75®) x x 2 x  2 2x  4 A = 2 x2  2 x  = (0,75®) x2 x2 2 x  4 2( x  2)  8 8 C©u b, A = = =2(0,5®) x2 x2 x2 8 §Ó A nguyªn  nguyªn  8M(x+2) hay x+2 lµ ¦8 (0,5®) x2 x x V× x > 0  x+2 > 2 Do ®ã x+ 2 = 4; x+2 = 8 (0,5®) TÝnh x = 2 hoÆc x = 6 vi x  2 nªn x =6 . Th× A cã gi¸ trÞ nguyªn. (0,5®) C©u 2. (4®) x 1 x2 x3 x4 + = + 2008 2007 2006 2005 x 1 x2 x3 x4 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 2008 2007 2006 2005 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009  + = + (0,5®) 2008 2007 2006 2005 a,  (x + 2009)( 1 1 1 1 + )=0 2008 2007 2006 2005  x + 2009 = 0  x = -2009 b, x  1  4 x  5 + 11  x  8 x  5 = 4  x  5  4 x  5  4 + x  5  2.4 x  5  16 = 4 (0,5®) (0,5®) (0,5®)  (2  x  5) 2 + (4  x  5) 2 =4 (0,5®)  2  x  5 + 4+ x  5 = 4 (x  5)  2 x  5 = -2 V« lý (0,5®) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm (0,5®) C©u 3 . (4®) a, (2®) (m+2)x – my = -1 (1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng (1) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M(x0;y0) m lµ : (m+2)x0 – my0 = -1 m BiÕn ®æi ®îc:  x0  y0  0  2 x0 1 0  x0  1 2  y  1  0 2 VËy ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M(-1/2;-1/2) b, (2®) Gäi A lµ ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc tung x=0y= 1 1 do ®ã OA = m m B lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc hoµnh 1 1 Y = 0  x = m  2 do ®ã OB = m  2 H lµ kho¶ng c¸ch tõ ) ®Õn ®êng th¼ng (1). 1 1 1 = m2 + (m + 2)2 2 = 2 + h OA OB 2  = 2(m + 1)2 + 2  2  1  2; max h = h2 2  m = -1 2 C©u 4. (6®) a, (4®) Chøng minh ®îc ICK ®Òu . - ChØ ra ®îc BIK = BIC (c.g.c). (0,5®)  � = � = 300 (1,5®) AKC ABK do ®ã B,C cïng nh×n AK díi mét gãc 300 (1®)  tø gi¸c AKCB néi tiÕp ®îc (1®) b, (2®) � � ChØ ra ®îc KAC = KBC = 200 � �  IAC = 200  IAB = 600 (1®) Trong ABI � = 800 (1®) AIB C©u 5. (2®) A= 1 1 x y 5    x y xy xy A K I C B (0,5®) §Ó A nhá nhÊt  xy lín nhÊt víi x > 0; y > 0 ; x + y = 5 ta lu«n cã ( x  y ) 2  0  x + y  2 xy V©y xy sÏ lín nhÊt khi x = y =2,5 (1®) Khi ®ã Min A = 4 5 (0,5®)