Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p14

Phßng gi¸o dôc yªn ®Þnh Trêng thcs yªn thÞnh Ngêi ra ®Ò: Hoµng Duy ThÕ Ngêi thÈm ®Þnh: §µo Quang §¹i. §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn líp 9 M«n to¸n - thêi gian 150 phót N¨m häc: 2009 - 2010 Bµi 1: (3 ®). TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) A= 13  100  53  4 90 b) B= a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 Víi a + b + c = 0 Bµi 2: (4 ®). Cho biÓu thøc: x x 3 P= a) b) c) x2 x 3 2( x  3)  x 1 Rót gän biÓu thøc P. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14 - 6 T×m GTNN cña P.  x 3 3 x 5 Bµi 3 (4 ®). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh. 1 a) 2 x  4x  3 b) + 1 2 x  8 x  15 x64 x2   1 2 x  12 x  35  1 2 x  16 x  63  1 5 x  11  6 x  2  1 Bµi 4: (3 ®). Cho 2 sè d¬ng x, y tháa m·n x + y =1 a) T×m GTNN cña biÓu thøc M = ( x2 + 1 y 2 )( y2 + N = ( x + 1 )2 + ( y + b) Chøng minh r»ng: x 1 y 1 x )2  2 ) 25 2 Bµi 5 (2 ®). Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, ®iÓm M  BC. C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AM, BC c¾t nhau t¹i N ( kh¸c B). BN c¾t CD t¹i L. Chøng minh r»ng: ML vu«ng gãc víi AC. Bµi 6 (4 ®) Cho (O;R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®êng trßn. Tõ mét ®iÓm M di ®éng trªn ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi OA t¹i A, vÏ c¸c tiÕp tuyÕn MB, MC víi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) d©y BC c¾t OM vµ OA lÇn lît t¹i H vµ K. a, Chøng minh r»ng OA.OK kh«ng ®æi, tõ ®ã suy ra BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b, Chøng minh r»ng H di ®éng trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. c, Cho biÕt OA = 2R. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MBOC nhá nhÊt. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u 1: (3®) a) A= 13  100  = 13  4 10  = (2 =2 2  2 - 5 53  4 (0,5®) 53  2.6 10 5)2  -2 90 2 3 (2 2 -3 5 = -4 5)2 5 1 (0,25®) (0,5®) VËy A= 13  100  53  4 90 = -4 (0,25®) 5 b, V× a + b + c = 0  a = - b - c  a2 = b2 + 2bc + c2  a2 - b2 - c2 = 2bc T¬ng tù cã: (0,5®) b2 - c2 - a2 = 2ac c2 - a2 - b2 = 2 ab B= a 2  2bc (0,25®) b c a b c 3abc 3     2ac 2ab 2abc 2abc 2 2 2 3 3 3 (0,5®) 3 2 VËy B = Bµi 2( 4 ®iÓm). §iÒu kiÖn ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x¸c ®Þnh : x0; x 9 a) Rót gän: = x x  1)( ( = = x 3 x P= x x  3  2( x 1 x  3) 2 x  3)( ( ( x 3  x 3 x  3)( x  1) (0,25 ®). x  1) x  3  2 x  12 x  18  x  3 x  x x 3 (0,25 ®). ( x  3)( x  1) x  3x  8 ( x  3) x  3) 2(  (0,5 ®). x  3)( b) x = 14 - 6 x  24 = x  1) 5 =( x ( x  8)  3( x  8) ( 5 )2 - 2.3. x  3)( x  1) x8 = 5 - 3)2  5 +9=( (0,5 ®) x 1 x =3- 5 (0,75 ®). Khi ®ã P = 14  6 5  8 = 22  6 5 = 58  2 5 (0,5 ®). VËy víi x = 14 - 6 (0,25 ®). 3 c) P= x8 x 1  5 1 x 1 9 x 1 4 5 58  2 5 5 th× P = 11  x 1 9 x 1 ( ¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d¬ng DÊu"=" x¶y ra  x 1  9 x 1 11  x 1 x  1; 9 x 1 9 x 1 22 924 (1 ®). )  x = 4 (tháa m·n ®iÒu kiÖn) VËy minP = 4, ®¹t ®îc khi x = 4. Bµi 3: 4 ®iÓm (mçi c©u 2 ®iÓm). a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)  §KX§: x  -1; x  -3; x  -5; x  -7; x  -9 =>pt  (0,25 ®). (0,25 ®). (0,5 ®) 1 1 1 1 1     ( x  1)( x  3) ( x  3)( x  5) ( x  5)( x  7) ( x  7)( x  9) 5  1 1 1 1 1 1 1 1 1  1          2  x 1 x  3 x  3 x  5 x  5 x  7 x  7 x  9  5  1 1 1 1 (  )  2 x 1 x  9 5  5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9)  2x2 + 20x + 18 - 40 = 0  x2 + 10x - 11 = 0 (0,5 ®) (0,25 ®) 2 Ph¬ng tr×nh cã d¹ng a + b + c = 0  x1 = 1; x2 = -11. x1; x2 tháa m·n §KX§. VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : S =   11;1 b) §KX§: x  -2. 2 2 Pt  ( x  2  2)  ( x  2  3)  1  x2 2 + x+2-3 = 1 x2 2 + x+2-3  1 DÊu "=" x¶y ra khi : ( x  2  2 )( 3 - x  2 )  0  2  x  2  3  2 x  7 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : S =  x / 2  x  7 Bµi 4: ( 3 ®iÓm) ( mçi c©u 1,5 ®iÓm) 1 y 2 )( y2 + 1 2 x 2 )= (x y 2  1) 2 2 2 x y (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®)  ( xy  1 2 ) xy 1 1 15 ) + MÆt kh¸c : xy + = ( xy + xy 16 xy 16 xy 1 1 ¸p dông B§T C«si : xy + 2 1 = 16 xy 16 2 xy  (0,5 ®) ( 0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) ¸p dông B§T |A|+ |B| | A + B| ta cã : a) Ta cã : M = ( x2 + (0,5 ®) ( 1). (2). x y 1 1   xy 2 2 4 ( 3) 15 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã : xy + 1 1 17  + 1= xy 2 16. 4 4 1 17 2 289  (xy + xy )2  ( ) = 4 16 VËy minM =  xy  1  289 , ®¹t ®îc khi  16 xy 16 x  y  x=y= 1 2 2 b) ¸p dông B§T : A2 + B2  ( A  B ) , ta cã : 2 x y 2 1 2 1 2 (x  y  ) (1  ) 1 2 N=(x+ ) +(y+ )  = xy xy y x 2 2 MÆt kh¸c : (x + y)2  4xy ( do ( x -y)2 0)  1  4xy  xy  1 4 2    1   25 1 2 1  1  N . VËy N  . (1  ) 2   xy 4   25  2 2 2 DÊu "=" x¶y ra khi x  y  1  x = y = 1  2 x  y A Bµi 5: ( 2 ®iÓm). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ ML Ta cã: gãc NCD = gãcNCB B M 3 D N E L C (cïng phô víi goc BCN) gãc NBC = gãc NAM ( cïng ch¾n cung MN)  Tam gi¸c NCL ®ång d¹ng víi NC NL  tam gi¸c NAM  NA NM MÆt kh¸c : gãc ANC = gãc MNL ( cïng b»ng 900 + gãcMNC)  tam gi¸c ANC ®ång d¹ng víi tam gi¸c MNL  gãc NAC = gãc NML hay gãc NAE = gãc NME  Tø gi¸c AMEN néi tiÕp  E thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AM  gãc AEM = 900 hay ML vu«ng gãc víi AC ( ®pcm). Bµi 6: ( 4 ®iÓm). a) (2 ®) Chøng minh ®îc OM  BC HOK  AOM  OH OK = OA OM  OA.OK = OH.OM (1) XÐt BOM vu«ng t¹i B nªn OB2 = OH.OM (2) Tõ (1) vµ (2)  OA.OK = = OB2 = R2 (kh«ng ®æi) R2  OK = kh«ng ®æi OA  K cè ®Þnh trªn OA b) (2 ®) H n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OK cè ®Þnh c) S = dtMBOC = M C 1 MO.BC 2  S nhá nhÊt  OM nhá nhÊt vµ BC nhá nhÊt  OM nhá nhÊt  M  A BC nhá nhÊt  BC  OK  M  A 4 H O K A B