Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p13

®Ò thi häc sinh giái líp 9 Gi¸o viªn: TrÇn thÞ Yªn §¬n vÞ: Trêng THCS Yªn B¸i C©u 1.(4®) Cho c©u 2 A= x 2 5 1   x 3 x x 6 2 x a) Rót gän A b) T×m x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn  x  ( m  1) y  2   (m  1) x  y  m  1 1)(4®) Cho hệ phương trình a) Giải hệ khi m= 1 (1 điểm). 2 b) Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn điều kiện x > y. (1 điểm). 2) (2®) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: : ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz C©u3: (3®) . Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) C©u 4: (2 điểm) Cho h×nh chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trªn cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng : 1 1 1   . 2 2 AB AE 4 AF 2 C©u 6. (5®) Cho nöa ®êng trßn(O) ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm M trªn nöa ®êng trßn ®ã (M  A; B). N lµ ®iÓm ®èi xøng víi O qua AM. a) Chøng minh tø gi¸c OANM lµ h×nh thoi b) Gäi P; Q; Rlµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c MAB; MAN; NAO. Tø gi¸c OPQR lµ h×nh g×? c) Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn nöa ®êng trßn th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh §¸p ¸n: C©u 1. a) ®k x  0; x  4 A=  x 2    x 2 5 x 3   x 2  x 3  x 4 (2®) x 2 x 4 2  1 nguyªn khi 2 M x -2)  x = 0; 1; 9; 16 (2®) ( x 2 x 2 1  x  2 y  2 2x  y  4 1    c©u 2: 1) a) Khi m= ,hệ (I) trở thành  (0,5®) 2  3x  2 y  3 3 x y  3 2 2 4x  2 y  8 x  5     (0,5đ)  3x  2 y  3  3.5  2 y  3 x  5   y  6 b) A= Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y)=(5;6) (0,5đ) m 1 m 1 ;y (m  0) (1đ) 2 m m2 m2  m x  y  x y 0 0 (1đ) m2 m  1   (0,5đ) m  0 b)Giải hệ (I) tìm được x  2 2 2) (2®) Ta cã x2 +1  2x , y2 + 4  4y, z2 + 16  8z =>( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16)  64xyz Nªn ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz khi x 2  1  2x x  1  2  (1®) y  4  4y  y  2 z2 16  8z z  4   (1®) C©u3) (3®): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) <=> x6+(y-x3)2 = 64 (0,75®) => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x  Z => x  {-1; -2; 1; 0; 1; 2} (0,75®) Xét các trường hợp (1,25®) + x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8 + x = 1 => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt này không có nghiệm nguyên + x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8 + x = - 1 => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt này không có nghiệm nguyên + x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8 Vậy nghiệm nguyªn của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8). (0,25®) C©u 4(3®) A B E K D C F Kẻ AK  AF ( K  CD) (0,5đ) ABE ADK (g.g) (0,75đ) AE AB   2 (0,25đ) Suy ra AK AD 1 AK  AE (0,5đ) Hay 2 Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông AKF,ta có : 1 1 1   (0,5đ) 2 2 AD AK AF 2 1 1 1   2 2 AF 2 Suy ra  1  1  AB   AE   2  2  M N 1 1 1   Hay (0,5đ) 2 2 Q AB AE 4 AF 2 H R C©u 5(4®) a) ON  AM t¹i H vµ HN=HO (0,5®) (O ®èi xøng víi N qua AM) A P . O I B HA = HM (®k vu«ng gãc víi d©y)(0,5®) VËy OANM lµ h×nh thoi (2 ®êng chÐo Vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng) (0,5®) 1 1 b) OPQR lµ h×nh b×nh hµnh v× QR//= AN ; OP = OM  QR// = OP (1®) 3 3 c) NQ=2QH ; HP = 2PB  PQ//NB(0,5®) XÐt tam gi¸c BON ta thÊy: OQ OI 2 = . Mµ O; B cè ®Þnh nªn I cè ®Þnh (0,5®)  ON OB 3 VËy ®êng th¼ng PQ lu«n ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh. (I n»m trªn AB c¸ch A mét kho¶ng b»ng 5 AB (0,5®) 6