Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p12

Trêng THCS §Þnh Têng §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn). §Ò thi: C©u 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc  x y x y    : 1  x  y  2 xy   A    1  xy 1  xy 1  xy       a, Rót gän A b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x 2 2 3 c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. C©u 2: (4 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x 2  9 y 2  9  6 xy  2  x  4 xy 2  4 xy  4  C©u 3: (2 ®iÓm) Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi x 2  2 y  1  y 2  2z  1  z 2  2x  1  0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P  x 2010  y 2010  z 2010 C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a. Chøng minh r»ng: b 2  a 2  c 2  2ac. cos B C©u 5: (4 ®iÓm): Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®êng trßn. b, Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn ( d) e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng. C©u 6: (2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c íc tù nhiªn cña p4 lµ 1 sè chÝnh ph¬ng. C©u 1: a, 1,5 ® §¸p ¸n: §iÒu kiÖn ®Ó A cã nghÜa lµ Ta cã : (0,5®)  x y x y    : 1  x  y  2 xy   A    1  xy 1  xy 1  xy       x  y . 1  xy  x  y . 1  xy 1  x  y  xy  : 1  xy 1  xy  (0,25) x  0; y  0; xy  1  x x    y   x  x x 1  xy y  y  y (0,25) (0,25)  (0,25) b, 1,5 ® Ta cã : x (0,25) x   x  2y 1  xy 2  x 2 x 1  y  1  x 1  y  2 2 3  .  1  xy 1  x .1  y  2 x 1 x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x  0 2 2 3 42 3  2 3 2 3    (0,25) Thay x vµo A ta cã:   2 2 3 1 2 3 1 A  4  2 3 1 5  2 3 (0,25)    (0,25)     25 3 652 3 (0,25)    2 3 1 5  2 3 52 3 52 3   52  2 3   2    2 3 3 1 2 3 3 1  25  12 13 (0,25) c, 1 ® Víi mäi x  0 ta cã (0,25) (0,25)    3 1 2 x 1  0  x  2 x 1 0  x 1  2 x 2  y  y x : 1  x  y  xy 1  xy 2 x ( v× x+1>0) 1 x 2 x  1 A 1 1 x 1 (0,25) VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 1 khi x  1  0  x  1 (0,25) C©u2: 4 ® HÖ ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi  x 2  9 y 2  6 xy  9  2  x  4 xy 2  4 xy  4  (0,25)  x  3 y  2  9   2  x  2 y   4  (0,25)  x  3 y  3  x  2 y  2 (0,25) Ta cã c¸c trêng hîp sau: x  3 y  3  x  3 y  3  x  3 y  3  x  3 y  3 ; ; ;  x  2 y  2  x  2 y  2  x  2 y  2  x  2 y  2 Ta gi¶i tõng trêng hîp: 1 y5 x3y3 5y1    x2y2 x2y2   yx 12  5 (0,5)  yx  33  y55 y1     2yx 2  yx  22 x0  3yx 3 5y5 y1     yx  22  yx  22 x0 (0,5) (0,5) 1 y5 x3y3 5y1    x2y2 x2y2 x12  5 (0,5) VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm  x; y  1  12 1   12  ; ;  0;1 ;  0;1 ;   ;  5 5  5 5  (0,5) C©u 3: 2 ® x2  2 y  1  0  Tõ gi¶ thiÕt ta cã:  y 2  2 z  1  0 z 2  2x  1  0  (0,5) Céng c¸c vÕ c¸c ®¼ng thøc ta cã: x 2       2x  1  y2  2 y  1  z2  2z  1  0 (0,25) 2 2 2   x  1   y  1   z  1  0 (0,25) x  1  0   y 1  0 z  1  0   x  y  x  1 (0,5) 2010 2010 2010  P  x 2010  y 2010  z 2010    1    1    1  1  1  1 (0,25) VËy P = 3 (0,25) C©u4: 4 ® KÎ AH  BC   ABC vu«ng t¹i H ¸p dông ®Þnh lÝ Pi ta go ta cã: AC2= AH2+HC2 = AC2+(BC-BH)2 = AH2+ BC2-2BC.BH+BH2 = (AH2+ BH2)+BC2-2BC.BH = AB2+ BC2-2BC.AB cosB = c2+ a2- 2ac cosB (2) V× trong tam gi¸c vu«ng AHB th×: AH2+ BH2=AB2= c2 ; BH = AB cosB VËy b 2  a 2  c 2  2ac. cos B (2) C©u 5: 2 ®iÓm a, V× MN lµ 2 tiÕp cña (O) (0,25)  MN  NO; MP  OP (0,25)   MNO vu«ng t¹i N  N n»m trªn ®êng kÝnh MO (0,25)  MPO vu«ng t¹i P  P n»m trªn ®êng kÝnh MO (0,25) V× AK = KB (gt)  OK  AB t¹i K ( ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y) (0,25)  MKO vu«ng t¹i K  K n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh MO (0,25) VËy 3 ®iÓm N, P, K n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh MO (0,25) Hay 5 ®iÓm M,N,O,P,K cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh MO (0,25) b, 1 ® Ta cã K lµ trung ®iÓm cña AB nªn K cè ®Þnh (0,25) Mµ theo c©u a) ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP chÝnh lµ ®êng trßn ®êng kÝnh MO (0,25) Theo c©u a) ®êng trßn ®êng kÝnh MO ®i qua O; K (0,25) VËy ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh O, K (0,25) c, 1 ® Tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng  MN= ON, MON  900   MNO vu«ng c©n t¹i N (0,25)  OM= ON 2 = R 2 ( R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn (O)) (0,25)  M lµ giao ®iÓm cña (O; R 2 ) víi ®êng th¼ng d (0,25) VËy ta x¸c ®Þnh ®îc 2 ®iÓm M1; M2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò ra. (0,25) C©u 6 : 2 ® V× p lµ sè nguyªn tè nªn p4 cã c¸c íc lµ 1; p; p2; p3; p4 (0,25) Gi¶ sö 1  p  p 2  p 3  p 4  n 2 ( n   )   2  4n 2  4  4 p  4 p 2  4 p 3  4 p 4  4 p 4  4 p 3  4 p 2  2 p 2  p (1) MÆt kh¸c :   4n 2  4 p 4  4 p 3  4 p 2  4 p  4  4 p 4  4 p 2  4  4 p 3  8 p 2  4 p  2 p 2  p  2 (2) (0,5) Tõ (1) vµ (2)  4n 2  2 p 2  p  2 2 (0,25)    4n 2  4 p 4  4 p 3  5 p 2  2 p  1  4 p 4  4 p 3  4 p 2  4 p  4 (0,25)  2 p 2  2 p  3  0   p  3 p  1  0 (0,25) V× p  N  p  3  2