Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 p11

Trêng THCS: Yªn Trêng §Ò thi m«n:To¸n Thêi gian lµm bµi: 150p Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: TrÞnh ThÞ Giang C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò(§èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn):…………… §Ò thi C©u1: Cho biÓu thøc: A= ( x2 x x 1  x x x 1  1 1 x ): x 1 2 Víi x>0 vµ x  1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: 0< A < 2 C©u2: Cho c¸c ®êng th¼ng (d1): y = mx -5 (d2): y = -3x +1 a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d1) vµ (d2) khi m = 3 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó M(3; -8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) C©u3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: a) 1+ 3 x  16  3 x  3 b) xy – x – y = 5 yz - y- z = 5 zx –z –x =7 C©u4: Cho hai ®êng trßn cã chung t©m lµ ®iÓm Ovµ cã b¸n kÝnh lÇn lît lµ R vµ R . 2 Tõ mét ®iÓm A c¸ch t©m O Mét ®o¹n OA = 2R, ta kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC ®Õn ®êng trßn (O ; R). Gäi D lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AO víi ®êng trßn (O; R) vµ ®iÓm O thuéc ®o¹n th¼ng AD. a) Chøng minh ®êng th¼ng BC tiÕp xóc víi ®êng trßn (O ; R ) 2 b) Chøng minh tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu c) Chøng minh r»ng ®êng trßn (O ; R ) néi tiÕp trong tam gi¸c BDC. 2 C©u5: Cho x> 0; y>0 vµ x+y  6 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 12 16 P = 5x + 3y + x  y Híng dÉn chÊm: C©u1: §iÓm = 4 a.  x2 A   3  x 1 x   A   x 1 x2     : x 1  1 x  x 1 2  (0,5 ®)   x 1  1 (0,5 ®)  x  x 1 x  2  x  x  1   x  x  1 2 A .  x  1 x  x  1 x 1   x x 1 x    2 x 1  2 V× 2  x 1 x  x 1 b. V× x  0 nªn Mµ x 1 A x 2 x x 1 x0 x  (0,5 ®) 2 (0,5 ®) x  x 1 x 1  1 (1)  A0 x 1  1 2 x x 1 2 tøc A<2 (0,5 ®) (2) (0,5 ®) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 0  A  2 (0,5 ®) C©u2: §iÓm = 4 a. Víi m  3 , ta cã (d1): y  3 x  5 (0,5 ®) Gäi A( x, y ), hoµnh ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3 x  5  3 x  1  6x  6  x 1 Thay x  1 vµo (d2); y  3.1  5  2 VËy A(1;-2) b. V× M(3;-8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) tøc M(3;-8) thuéc ®êng th¼ng (d1): y  mx  5 (0,5 ®) Thay x  3; y  8 ta cã: (0,5 ®) 3m  5  8  3m  3 m  1 (0,5 ®) VËy víi m  1 th× M(3;-8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) C©u 3: §iÓm = 3 a. §Æt x  3  a; 3 x  16  b (0,25 ®) 3 3 (1)  a  b  x  3  x  16  19 Vµ 1  b  a hay a  b  1 (2) 2 2 2 Tõ (1) vµ (2):  a  b   a  ab  b   19  a  ab  b 2  19 (0,5 ®)  a 2  a  6  0 (thay b  a  1 )  a  3 hoÆc a  2 Víi a  3 ta cã: 3 x  3  3  x  3  27  x  24 (0,25 ®) Víi a  2 ta cã: 3 x  3  2  x  3  8  x  11 (0,25 ®)  xy  x  y  5  b.  yz  y  z  11  zx  z  x  7  Thªm 1 vµo mçi vÕ råi ph©n tÝch thµnh nh©n tö ta ®îc hÖ: DÔ thÊy ( x  1)( y  1)  6  ( y  1)( z  1)  12 ( z  1)( x  1)  8  (0,5 ®) x  1; y  1; z  1 . Nh©n tõng vÕ c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ ta ®îc (0,5 ®)  x  1 .( y  1) 2 . z  1 2  576 (0,5 ®) 2  x  1 y  1 ( z  1)  24 Chia tõng vÕ cña ph¬ng tr×nh nµy lÇn lît víi c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ trªn, ®îc nghiÖm lµ: (3;4;5) vµ (-1;-2;-3) (0,5) C©u 4: §iÓm B F O A D E I C a. ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng vµo tam gi¸c OBA, vu«ng t¹i B vµ BE OA, ta cã; 2 =OE.OA OB (0,5 ®) => OE= OB 2 OA  R2 R  2R 2 VËy ®iÓm E n»m trªn ®êng trßn (O; R ) (0,5 ®) (0,5 ®) 2 MÆt kh¸c ta cã: OE BC=> BC tiÕp xóc víi ®êng trßn (O; R ) t¹i ®iÓm E (0,5 ®) 2 b. Trong tam gi¸c vu«ng ABO, ta cã (0,5 ®) AB 2  OA 2  OB 2  4 R 2  R 2  3R 2  AB  R 3 (0,5 ®) Trong tam gi¸c vu«ng BEO, ta cã: 2 2  R  3R EB  OB  OE  R     4 2 2 2 2 2 (0,5 ®)  EB  R 3 2 (0,5 ®) Tõ ®©y ta cã: BC=AB=AC= R 3 Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu Tõ gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm nªn nã lµ h×nh thoi (0,25 ®) => AB=BD=CD=> BD=DC=CB=> Tam gi¸c BCD ®Òu (0,25 ®) 1 c. Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu: OE= ED nªn O lµ träng t©m cña tam gi¸c ®Òu 3 (0,5 ®) => OE=OF=OI= R (0,5 ®) 2 R 2 => ®êng trßn (O; ) néi tiÕp trong tam gi¸c BCD (0,5 ®) C©u 5: §iÓm = 12   16  12    12  2 3 x. P  2 x  y    3 x  2 y   x   y  x  Cosi) (0,5 ®)  12  12  8  32 16 12  3 x  vµ y  y x Dêu “=” x¶y ra  x  2 vµ y  4 VËy min P= 32 khi vµ chØ khi x  2; y  4 y. 16 y (¸p dông B§T (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®)