Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

Trêng THCS Yªn Th¸i §Ò thi häc sinh giái to¸n 9 (n¨m häc 2009- 2010) Thêi gian lµm bµi 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: NguyÔn ThÞ Thuý H»ng §Ò bµi: C©u1. ( 4 ®iÓm) Cho biÕu thøc  x x M =  2x  x  x  x 1 x x x 1  x 1   2x  x  1  2  x x 1 a, H·y t×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M. b, Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã cña M? C©u 2. ( 4 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ 2 y 2  x 2  xy  2 y  2 x  7  3 3 x  y  x  y  8  C©u 3. (4 ®iÓm) Cho A (6,0); B (0,3) a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. b, Mét ®iÓm M (x;y) di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB. Gäi C; D theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn OA; OB. Gäi N lµ ®iÓm chia ®o¹n th¼ng CD theo tû sè 1:2. TÝnh to¹ ®é (x’; y’) cña N theo ( x; y) . c, LËp mét hÖ thøc gi÷a x’; y’ tõ ®ã suy ra quÜ tÝch cña N. C©u 4. (5 ®iÓm ) Cho ( 0; R )®êng th¼ng d c¾t ( O ) t¹i 2 ®iÓm A; B. trªn d lÊy 1 ®iÓm M vµ tõ ®ã kÎ 2 tiÕp tuyÕn MN; MP ( N; P lµ tiÕp ®iÓm) a, C/M: PMO = PNO b, T×m 2 ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng trßn ( MNP ) lu«n ®i qua khi M di ®éng trªn d. c, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó  MNP lµ  ®Òu. C©u 5.( 3 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Q 1  x 10 y 10  2  2 2 y x   1 16 16 2 2   4 x  y  1 x y     §¸p ¸n: C©u 1. (4®) a, §iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa lµ:   (1®)  x  x  1 x 2 x  0, x  1 4 vµ x#1.  x 1 .  2x  x  1  2 x x 1  x 2x  x  1 x x x 1    x  1  2x  x  1 2 x x 1 x x M =  2x       x 1 x    2 x  x x x 1  x 1  x 1  x 1  x 2 x 1  (0,5®) x x 1 x (0,5®) x 1 x  x   x  1 2 x 1 x x 1  x 2 x 1  (0,5®) x  x  x 1 x 1 b, Do x  0 nªn M  0 . §¼ng thøc x¶y ra khi x = 0 (0,5®) VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ 0 khi x = 0 (1®) C©u 2. ViÕt l¹i hÖ ®· cho díi d¹ng (x+2y+2) ( x-y) =-7 (1) x3+y3+x-y = 8 (2) (1,5®) Tõ (1) do x, y nguyªn ta cã c¸c trêng hîp sau: a, x- y=-1 vµ x+2y+2 = 7 =>x=1 vµ y = 2 tho¶ m·n ( 2) (0,5®) b, x-y = 1 vµ x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y kh«ng nguyªn (o,5®) c, x- y= -7 vµ x+ 2y +2 = 1 Gi¶i hÖ nµy®îc nghiÖm ( x, y) = ( -5,2) kh«ng tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (2) (0,5®) d, x-y = 7 vµ x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y kh«ng nguyªn (0,5®) Tãm l¹i hÖ ®· cho cã duy hÊt mét nghiÖm nguyªn (x, y) =(1, 2) (0,5®) C©u 3. (4®) a, Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB cã d¹ng y = ax + b ( a # 0) (0,5®) §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A ( 6; 0) nªn ta cã 6a+ b = 0 (1) vµ ®i qua ®iÓm B ( 0;3) nªn ta cã b = 3. Thay b = 3 vµo (1) => a = - 1 (0,5®) 2 1 2 VËy ®êng th¼ng AB lµ y = - x +3 (0,5®) b, Gäi H lµ h×nh chiÕu cña N trªn OA, K lµ h×nh chiÕu cña N trªn OB Tam gi¸c DOC cã KN// OC nªn => KN  DN  2  KN  2 OC  x '  2 x (1) (0,5®) T¬ng OC DC 3 NH CN 1 1 1 tù NH // OD =>    NH  OD  y '  y DO CD 3 3 3 2 1 =>N cã to¹ ®é ( x’ = x ; y’ = y) 3 3 3 c, Tõ (1) => x= x’; y= 3y’ thÕ vµo y= - 1 x+ 2 2 (0,5®) VËy quÜ tÝch ®iÓm N lµ phÇn ®êng th¼ng y= - nhÊt. 90 C©u 4. (5®) a, MN, MP lµ hai tiÕp tuyÕn cña ( O) => 1 4 3 3 (2) (0,5®) (0,5®) 3 => y’ = - 1 4 x+1 x + 1 n»m trong gãc phÇn t thø (0,5®) ON  NM ; OP  PM  ONM = 900, OPM = (0,5®) => tø gi¸c ONMP cã gãc ONM + OPM = 1800. Do ®ã tø gi¸c ONMP néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh OM (1®) b, KÎ OQ vu«ng gãc víi AB => QA = QB ( ®êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y) (0,5) 0 V× AB cè ®Þnh => Q cè ®Þnh . (0,5®) Gäi I lµ trung ®iÓm cña OM tam gi¸c OQM vu«ng t¹i Q => QI = IO = IM. VËy Q thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh OM. (0,5®) KÕt hîp víi c©u a => 5 ®iÓm M, N, O, Q, P thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh OM => ®êng trßn ( MNP) lu«n ®i qua hai ®iÓm O, Q cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn d . (0,5®) c, §Ó tam gi¸c MNP ®Òu => gãc NMP = 600 mµ MO lµ ph©n gi¸c cña gãc NMP => NMO = 300 => ON = 1 OM => OM = 2NO = 2R. (0,5®) 2 Dùng cung trßn t©m O b¸n kÝnh 2R c¾t d t¹i M => M lµ ®iÓm cÇn dùng ®Ó tam gi¸c MNP ®Òu (0,5®) ThËt vËy OM = 2R= 2ON => sin NMO = ON  1  NMO =300 => NMP = 600 OM 2 VËy tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu. (0,5®) C©u 5. (3®) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si cho bèn sè kh«ng ©m ta cã:  1  x 10 y 10 x 10 y 10 .1.1  2  2  1  1  2 4  2x 2 y 2  2 y x x2 y2   1 16  x  y 16  1  1  4 x16 y 161.1  x 4 y 4 4 1  x 10 y 10  1 3   2  2    x 15  y 16    1  x 4 y 4  2 x 2 y 2  1  y  4 2 2 x   1  x 10 y 10  2  2 2 y x  Q  1 16 2 5 16 2 2   4 x  y  x y 1   2      (1®) ( 1®) 5 2 Do ®ã gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q lµ - 5 khi x2 = y2 = 1 2 (1®)