Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 quảng bình có đáp án

Ngêi ra ®Ò: Lª D¬ng QuyÒn §¬n vÞ: Trêng THCS Mü Thuû, LÖ Thuû, Qu¶ng B×nh Së GD-§T qu¶ng b×nh ®Ò thi häc sinh giái N¨m häc: 2007 -2008 M«n: To¸n líp 9 Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1(2,0 ®). Chøng minh r»ng nÕu ba sè a, a + k, a + 2k ®ång thêi lµ ba sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k chia hÕt cho 6. C©u 2 (2,0 ®). a./ Cho a1, a2, ... , an vµ b1, b2, ... , bn lµ hai d·y sè víi bi > 0 ( i = 1, 2,3 ,..., n). Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a2 (a  a 2  ...  a n ) 2 a12 a 22   ...  n  1 b1 b2 bn b1  b2  ...  bn b./ Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c, chøng minh r»ng: a2 bc a  b2 ac b  c2 ab c  abc C©u 3 (2,0 ®). Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn x: 2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16 C©u 4(3,0 ®).Cho ®êng trßn t©m O, d©y cung AB vµ M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. Qua M kÎ d©y cung thay ®æi sao cho c¾t d©y cung AB ë P vµ c¾t ®êng trßn ë Q. Chøng minh r»ng: a./C¸c ®êng th¼ng MA vµ MB theo thø tù lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c APQ vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BPQ. b./Khi d©y cung kÎ qua M thay ®æi th× tæng hai b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c APQ vµ BPQ kh«ng ®æi. C©u 5 (1,0®). T×m sè h÷u tØ x sao cho x2 + x + 6 lµ sè chÝnh ph¬ng./. Hä vµ tªn: Sè b¸o danh: ……………………………………………………………………………………… ........................................................................................................................ * C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Së GD-§T qu¶ng b×nh ®Ò thi häc sinh giái N¨m häc: 2007 -2008 M«n: To¸n líp 9 ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm Yªu cÇu chung *§¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. Trong bµi lµm cña häc sinh yªu cÇu ph¶i lËp luËn l« gic chÆt chÏ, ®Çy ®ñ, chi tiÕt vµ râ rµng. *Trong mçi bµi, nÕu häc sinh gi¶i sai ë bíc gi¶i tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi nh÷ng bíc gi¶i sau cã liªn quan. *§iÓm thµnh phÇn mçi bµi nãi chung chia ®Õn 0,25 ®iÓm. §èi víi ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt chiÕt thµnh 0,25 ®iÓm. *Häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng ®èi víi C©u 4 th× cho ®iÓm 0 ®èi víi C©u 4. Ngêi ra ®Ò: Lª D¬ng QuyÒn §¬n vÞ: Trêng THCS Mü Thuû, LÖ Thuû, Qu¶ng B×nh *Häc sinh cã lêi gi¶i kh¸c ®¸p ¸n (nÕu ®óng) vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo møc ®iÓm cña tõng bµi. *§iÓm cña toµn bµi lµ tæng ®iÓm cña tÊt c¶ c¸c c©u (bµi) vµ lµm trßn ®Õn mét ch÷ sè thËp ph©n. ®¸p ¸n vµ thang ®iÓm c©u néi dung V× a, a + k, a + 2k lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn k lµ sè ch½n. Ta cÇn chøng minh k  3. ThËt vËy, sè nguyªn tè a > 3 cã thÓ cã mét trong hai d¹ng sau 3t + C©u 1 1, 3t + 2. (2,0®). NÕu a = 3t + 1, víi k = 3p + 1 th× a + 2k  3, v«lÝ. Víi k = 3p + 2 th× a + k  3 còng v« lÝ. Do ®ã chØ cã thÓ k  3. NÕu a = 3t + 2, lËp luËn t¬ng tù ta còng cã k  3. VËy a  3 vµ a  2 nªn a  6. a) ¸p dông B§T Bunhiacopxki cho hai d·y sè: a1 a a ; 2 ;..... n b1 b2 bn vµ b1 ; b2 ;...... bn . Ta cã: 2  a1   a2 a2 a a a2   . b1  2 . b2  ....  n . bn   1  2  ...  n . b1  b21  ...  bn   b  bn  b2 bn  b1 b2  1  2 2 2 C©u 2   a1  a2  ...  an  2  a1  a2  ...  an . b1  b2  ...  bn  bn  (2,0®).  b1 b2  a12 a22 a 2  a  a2  ...  an    ...  n  1 b1 b2 bn b1  b2  ...  bn ®iÓm 0,5 0,25 0,5 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 DÊu b»ng x¶y ra khi: 0,25 a1 a a : b1  2 : b2 ...  n : bn b1 b2 bn  a1 a2 a  ....  n b1 b2 bn 0,25 0,25 b) Do a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c, theo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c, ta cã: b + c - a > 0, a + c - b > 0 vµ a + b - c > 0. ¸p dông B § T c©u a), cho hai d·y sè: a2, b2, c2 vµ b + c - a, 0,5 a + c - b, a + b - c, ta ®îc: a2 b2 c2  a  b  c2   a  b  c a c  b a b  c b c  a a c  b a b  c kiÖn: - 2 x 2 bc a  §iÒu Víi ®iÒu kiÖn trªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ pt, ta cã: 4(2x + 4) + 16 2 4  x 2  +16( 2 - x) = 9x2 + 16  8(4 - x2) + 16 24  x 2  +16 = x2 +8x + 16 C©u 3 (2 2 4  x 2  + 4)2 = (x + 4)2 (2,0®). V× - 2 x 2 nªn 2 24  x 2  + 4 > 0 vµ x + 4 > 0. Ta cã pt: 2 24  x 2  + 4 = x + 4  2 24  x 2  = x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x 0  x 0  x 0 4 2      2 32   4 2  x  2 2 x  3 4.2(4  x )  x  x   9 3  C©u 4 - H×nh vÏ ®óng. (30). 0,5 0,25 Ngêi ra ®Ò: Lª D¬ng QuyÒn §¬n vÞ: Trêng THCS Mü Thuû, LÖ Thuû, Qu¶ng B×nh m h a p b o o1 o2 0,5 q n a.)Gäi 01 lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp APQ, ta cã 0,25 0,25 ˆ H  1 AO ˆ B  AQ ˆP AO 1 1 2 MÆt kh¸c AQˆ P  MAˆ P ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau MAvµ MB ), suy ra MAˆ B  AOˆ 1 H . V× thÕ MAˆ B  HAˆ O1  MAˆ O1 90 0 . Do ®ã O1A vu«ng gãc víi AM t¹i A, hay AM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m O1 t¹i A. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m O2 ngo¹i tiÕp BPQ. b.)Ta gäi AO1 vµ BO2 c¾t nhau t¹i N, ta cã tø gi¸c MNPQ néi tiÕp ®êng trßn tam O ®êng kÝnh MN( do cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 vµ A, M, B  ( 0 ) ), do ®ã M cè ®Þnh. Ta l¹i cã AO1P vµ BO2P lµ c¸c tam gi¸c c©n nªn AO1 = O1P vµ O2B = O2P; ®ång thêi tø gi¸c PO1NO2 lµ h×nh b×nh hµnh nªn O1N = O2P. Suy ra: O1P + O2P = AO1 + O1N = AN kh«ng dæi. Gi¶ sö x p q 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 víi p, q Z, (p, q) = 1 vµ q >0. 2 Ta cã x2 + x+ 6 =  p p p 2  pq  6q 2     6  q q2 q Do x2 + x + 6 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn ta ®Æt x2 + x + 6 = n2 (n N) p 2  pq  6q 2 q2 = n2  p2 = q(n2 - p - 6q)  p2 0,25 q C©u 5 (1,0®). mµ (p, q) = 1 nªn 2p q vµ q =21. VËy x = p, ta cã p + p + 6 = n 0,25  (2p +1)2 + 23 = 4 n2  (2n + 2p +1)(2n - 2p - 1) = 23 Do 23 lµ sè nguyªn tè, nªn x¶y ra c¸c kh¶ n¨ng sau: HoÆc suy ra p = 5  x = 5.Thö l¹i x2 + x+ 6 = 36. hoÆc suy ra p = -6  x -6.Thö l¹i x2 + x+ 6 = 0,25 36. VËy x = 5, x = 6. 2 n  2 p  1  23  2 n  2 p  1 1 2n  2 p  1 1  2n  2 p  1  23 Ngêi ra ®Ò: Lª D¬ng QuyÒn §¬n vÞ: Trêng THCS Mü Thuû, LÖ Thuû, Qu¶ng B×nh