Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p6

®Ò thi häc sinh giái m«n to¸n C©u I:. Cho ®êng th¼ng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. b) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é ®Õn ®êng th¼ng (d) b»ng 1. c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é ®Õn ®êng th¼ng (d) cã gi¸ trÞ lín nhÊt. C©uII: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 2 x 2  2 x  1  x 2  6 x  9  6 b) x  2 x  1  x  2 x  1  1 C©u III: a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= b) xy yz zx   víi x, y, z lµ sè d¬ng vµ x + y + z= 1 z x y  x  1  y  2  z  2  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  5 3 2 3x  2 y  z  12  c) B = x  x 2 x  2x 2 x  2x  2 x x  2x x x  2x 2 1. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña B 2. Rót gän B 3. T×m x ®Ó B<2 C©u IV: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A, víi AC < AB; AH lµ ®êng cao kÎ tõ ®Ønh A. C¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M. §o¹n MO c¾t c¹nh AB ë E. §o¹n MC c¾t ®êng cao AH t¹i F. KÐo dµi CA cho c¾t ®êng th¼ng BM ë D. §êng th¼ng BF c¾t ®êng th¼ng AM ë N. a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña BD b) Chøng minh EF // BC c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN d) Cho OM =BC = 4cm. TÝnh chu vi tam gi¸c ABC. C©u V: Cho (O;2cm) vµ ®êng th¼ng d ®i qua O. Dùng ®iÓm A thuéc miÒn ngoµi ®êng trßn sao cho c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ A víi ®êng trßn c¾t ®êng th¼ng d t¹i B vµ C t¹o thµnh tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch nhá nhÊt. §¸p ¸n C©u Néi dung §iÓm I a) y lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m 0.5 (3®) b) X¸c ®Þnh giao cña (d) víi Ox lµ A vµ Oy lµ B, ta cã: OA = 2: (|2 - m|); OB = 2 0.5 +OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn AB. Do OH = 1. Thay vµo tÝnh 0.5 m = 2 - 3 hoÆc m = 2 + 3 . 0.5 + C¸c ®êng th¼ng t¬ng øng y = 3 x + 2 vµ y = - 3 x + 2 0.5 0.5 c) OH ®¹t GTLN  m2 - 4m + 5 ®¹t GTNN  m = 2 + §êng th¼ng y = 2 vµ OH = 2 II (4®) a) §a vÒ d¹ng: 2|x+1| + |x-3| = 6 + X¸c ®Þnh §K cña x: + Víi x < -1 cã x = - 0.5 0.5 5 8 0.5 + Víi -1 x < 3 cã x =1 + Víi x > 3 cã x = 7  TX§. 3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 5 KÕt luËn : x = vµ x =1 lµ nghiÖm 8 b) §KX§: x 1 + §a vÒ d¹ng: 2x + 2 x 2  4( x  1) + Pt : x + | 2 - x| = 2 + KÕt luËn 1 x 2 lµ nghiÖm III (6®)  4 a) Dïng B§T C« si xy yz xy yz hay xy  yz  2y  2 . z x z x z x yz zx   2z ; t¬ng tù x y 0.5 0.5 0.5 zx xy   2x y z 0.5 1 KL: A nhá nhÊt b»ng 1 víi x = y = z = 3 0.5 b) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ®a vÒ d¹ng: 3( x  1)  2( y  2)  z  2  6 2  15 3x  2 y  z  12  0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.5 Gi¶i t×m hÖ sè tØ lÖ lµ 1 TÝnh ®óng x = 6; y = 5; z = 4 c) 1. T×m §KX§ cña B lµ x 0 vµ x  2 2. BiÕn ®æi vµ rót gän cã kÕt qu¶ B = 2 x 2  2 x 3. B< 2  2 x 2  2 x < 2  ( x - 1)2 < 2 KÕt luËn gi¸ trÞ cña x: 1- 2 < x< 0 vµ 2 x < 1+ IV (5®) 2 + VÏ h×nh ®óng chÝnh x¸c , ®Ñp vµ ghi GT , KL ®óng chÝnh x¸c a) + OM // CD ( cïng vu«ng gãc víi AB) + Do O lµ trung ®iÓm cña BC vµ OM // CD  M lµ trung ®iÓm cña BD b) Do AH // DB ( cïng vu«ng gãc víi BC) theo (a) MD = MB, theo ®Þnh lÝ Ta lÐt AF FH  DM MB AF = FH hay F lµ trung ®iÓm cña AH. + ChØ ra E lµ trung ®iÓm cña AB.  EF lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c AHB hay EF// BC c) Gäi giao ®iÓm cña NH víi ®êng th¼ng BM lµ P. Do AH//MP vµ F lµ trung ®iÓm cña AH . ChØ ra B lµ trung ®iÓm cña MP. + Tam gi¸c HMD c©n t¹i ®Ønh H ( do HB võa lµ trung tuyÕn, võa lµ ®êng cao  HB lµ ph©n gi¸c gãc MHD + V× HA vu«ng gãc víi HB nªn suy ra AH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN d) + Chøng minh ®îc ABC =  BMO ( c.h- g.n) cã OB = 2cm; OM = 4cm + TÝnh ®îc BM = 2 3 ( cm) BC = 4cm; AC = BO = 2cm tÝnh AB = 2 3 + TÝnh ®îc chu vi ABC b»ng ( 6 + 2 3 ) cm V (2®) + VÏ h×nh ®óng, chÝnh x¸c , ®Ñp s¹ch AB.OH  AC.OH + DiÖn tÝch ABC lµ S, viÕt ®îc S = 2 + TÝnh ®îc S  8 + Do Smin = 8  AB = AC, AC = CI. VËy tam gi¸c ABC ph¶i vu«ng c©n t¹i A. Tõ ®ã cã c¸ch dùng ®iÓm A. 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0. 5 0. 5 0.5