Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p2

§Ò thi häc sinh giái líp 9 N¨m häc: 2010 – 2011 M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót. Phßng GD & §T Hµ Trung Trêng THCS Hµ Yªn ®Ò ®Ò xuÊt Bµi 1 (3.0®) BiÕn ®æi ®¬n gi¶n c¸c biÎu thøc. a. A = b. B = 1 14 34 .2 .2 16 25 81 1 1  1 2 2 3 3 1  ...  98  Bµi 2: (4.0®) Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. a. C= b a a b ab : 99  1 99  100 1 a b 11 20 2003 Víi a = b = 18 11 2003 b. T×m c¸c c¨p sè (x,y) nguyªn d¬ng tháa m·n x2 - y2 = 2003 Câu 3 : ( 5điểm ) giải phương trình a) b) 6x  3 x  1 x =3+2 x  x2 ( x  1 )4 1  ( x 2  3 )4   3x 2  2 x  5 2 2 2 ( x 3) ( x 1 ) Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I a. Tính góc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó. Bài 5 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : AM BN CP + +  9 OM ON OP Bµi 6 (2®iÓm). Cho 3 sè a, b, c tháa m·n 0  a, b, c  2 vµ a+b+c=3. Chøng minh a 3  b3  c3  9 . ®¸p ¸n vµ thang ®iÓm C©u 1 2 §¸p ¸n a. KÕt qu¶ 196 k 45 b. 9 a. Rót gän : a - b TÝnh ®îc kÕt qu¶: 2 b. x2 - y2 = 2003 (x - y)(x + y)=2003 => x -y vµ x+ y lµ íc cïng dÊu cña 2003 Mµ ¦(2003)   1;2003 v× x, y d¬ng nªn x+y> x-y Ta xÐt hai trêng hîp x y 1 x 10 2    x y  20 3 y 10 1 x y  20 3 x  10 2    x y  1 y 10 1 a) §K 0 < x < 1 vµ x  0.25® 0.25® 0.25® 0.5® 0.5® VËy cÆp sè (x,y) nguyªn d¬ng th¶o m·n x2 -y2 = 2003 lµ (x,y) = (1002,1002) 3 Thang ®iÓm 1.5 ® 1.5 ® 1.0® 1.0® 1 2 Khử mẫu ở vế trái ta được phương trình: 3( x  1  x ) = 3 + 2 x  x 2 0.25® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® §Æt x  1  x = t  ®k : 0 < t < 2 Phương trình viết thành : t2 - 3 t + 2 = 0 0,5® Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho b) 0,5® 0,5® x  1 x   3 0,5® điều kiện:  Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3 Phươngtrình ( x  1 )4 1  ( x 2  3 )4   3x 2  2 x  5 2 2 2 ( x 3) ( x 1 ) 0,5® trở thành: 4 a2 1  b 4   a  2b 2 b a 2 a 1 a 2 b 4 1 ( a  b 2  1 )2 Ta có : 2  b 4   2     a  b 2  1  a  2b b a b 1 a a  b2 1 0,5®  a  b2  1  Dấu = xãy ra khi  b  1 khi đó x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 C E F H A I B 1® - BE, AF là hai đường cao của ABC  CI là đường cao 1® thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp  HIF = HBF hay CIF = EBF . - EOF đều nên EOF = 600. -  EF = 600  CIF = EBF = 300. - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE - được: AC AI   AC. AE  AB. AI AB AE - Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: 5 BC BI   BC.BF  BA.BI BA BF 1® - Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const. - Chứng minh ABC đồng dạng với FEC. 2 2 S  EF   R  1 - FEC       S ABC  AB   2 R  4  S ABFE  3 S ABC 4 - Để S ABFE lớn nhất  S ABC lớn nhất  CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I  O  CAB cân  EF // AB. - Lúc đó S ABC  2.R.R 3 3R 2 . 3  R 2 . 3  S ABFE  2 4 0,5đ A 0,5đ P 6 N O B H K M C Từ A và O kẻ AH  BC OK  BC (H, K  BC)  AH // OK OM OK  (1) AM AH 1 S BOC 2 OK .BC OK   S ABC 1 AH .BC AH 2 (2) S BOC OM (1) , (2)  S  AM ABC Nên 1đ S AOC S AOB S ABC ON BN OP  CP ON OP Tương tự : S OM ABC  1đ S BOC S AOC S AOB Nên AM  BN  CP  S  S  S  1 (3) ABC ABC ABC Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được: 1 1 1   )  9 a b c OM ON OP AM BN CP   )(   )  9 (4) Nên ( AM BN CP OM ON OP 0,5® (a+ b + c) ( 0,5® Từ (3) ,(4) suy ra : AM BN CP    9 (đpcm) OM ON OP V× vai trß cña a, b, c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö: a  b  c . Khi ®ã v× 0  a, b, c  2 vµ a+b+c=3 nªn ta cã 0  a  1  a3  a 1  c  2  (c-1)(c-2)(c+3)  0  c3  7c  6 XÐt hai trêng hîp cña b +NÕu 0  b  1  b3  b . Khi ®ã ta cã a 3  b 3  c 3  a  b  7c  6 Mµ a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6  3+6.2-6=9  a 3  b3  c3  9 + NÕu 1  b  2  b3  7b  6 Khi ®ã ta cã a 3  b3  c3  a  7b  6  7c  6  7  a  b  c   6a  12  9  6a  9 (v× -6a  0) KÕt luËn a 3  b3  c3  9 (®pcm) 0,5® 0,5®