Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 p1

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BUÔN ĐÔN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 1  1  1  1  1  1   a  b  c   64 Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình: x + y + z + 4 = 2 x2 + 4 y 3 + 6 z 5 Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:  xyz x  y  2  1  xyz 1  y z 5  xyz 1 1  x  z 2 Câu 4 (2 điểm): Cho x 2 1 2 1  1  1 2 1  1 Tính giá trị của biểu thức: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003 Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 120 0, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh: 1 1 4   2 2 AM AN 3 AB 2 Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ CH vuông góc với AD (H  AD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K. a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng. c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I  DK). Chứng minh CI = CB và DF là đường trung tuyến của tam giác ADC. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: TOÁN Câu 1 (3 điểm): Ta có 1  a 1 a abc 1 = = a a a (0,5 điểm) Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 2 a abc 1  2 a  2 bc = a a a  2 .2 a 2 . bc a = 4 4 a 2 bc a Vậy: 1  1 a 2 4  4 a bc (0,5 a điểm) Tương tự: 1 1  b 4 4 b 2 ac b (0,5 1 1  c 4 4 c 2 ab c (0,5 điểm) điểm) Từ đó, suy ra: 1  1  1  1  1  1   a  b  c   4 64. a 4b 4c 4 = 64 (đpcm) abc (1 điểm) Câu 2 (3 điểm): ĐK: x  2 ; y  3 ; z  5 Ta có: x + y + z + 4 = 2 x2 + 4 y 3 + 6 z 5  (x - 2 - 2 x  2 + 1) + (y - 3 - 2.2 y  3 + 4) + (z-5 - 2.3 z  5 + 9) = 0 (0,5 điểm) 2 2 2  ( x  2 -1) + ( y  3 - 2) + ( z  5 - 3) = 0 (0,5 điểm)   x  2 1  0    y 3 2  0   z 5 3  0 (0,5 điểm)  x 2 1    y 3  2   z 5  3  (0,5 điểm) x  2 1   y 3 4 z  5  9  (0,5 điểm) x  3   y  7  z  14  (0,5 điểm) Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình: x  y 1 1 1 1   xyz 2  yz  xz  2 (1)   y z 5 1 1 5      (2)    xyz 6  xz xy 6 x  z 2 1 1 2   (3)    xyz 3 yz xy 3    xyz x  y  2  1  xyz 1  y z 5  xyz 1 1  x  z 2 (1) + (2) + (3): 1 1 1    1 (4) xz xy yz (1 điểm) (0,5 điểm) Lấy (4) – (1): (4) – (2): (4) – (3): 1 1  xy 2 1 1  yz 6 (0,5 điểm) (0,5 điểm) 1 1  xz 3 (0,5 điểm) Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3 Ta có: (xyz)2 = 36  xyz = 6 hay xyz = -6 Trường hợp 1: xyz = 6. Ta có: x = 1, y = 2, z = 3 Trường hợp 2: xyz = -6. Ta có: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu 4 (2 điểm): Ta có 2 x 1 2 1  1  1 2 1  1 2 = 2 1 1  2 11 điểm) 2 1 1 (0,5 2  2 = 2 (0,5 điểm) 2 Ta lại có: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003 = điểm) Thay x = A= = 1 (0,5 điểm)  x  1  x 2  3  x  1  2003 vào A, ta được:  2 1 2 2  (0,5  2 1 2003 =   2 1  2 1 2003 = 12003 Câu 5 (4 điểm): Vẽ hình; viết GT, KL đúng (0,75 điểm)  Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 150, suy ra NAE = 900 (0,5 điểm)  DAE  BAM (g.c.g) (0,5 điểm)  AE =AM (0,25 điểm) Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH, 1 1 1   2 2 AE AN AH 2 1 1 1   suy ra: 2 2 AM AN AH 2 ta có: (0,5 điểm) (1) (0,5 điểm) (2) (0,5 điểm) Xét tam giác đều ADC, đường cao AH 3 4 ta có: AH2 = AD 2  Từ (1), (2) suy ra 3 AB 2 4 1 1 4   (Đpcm) 2 2 AM AN 3 AB 2 E D (0,5 điểm) Câu 6 (4 điểm): Vẽ hình và viết giả thiết kết luận đúng và đầy đủ F điểm) H A C I K (0,5 B a) Ta có CH  AD và BD  AD (gt)   1 2    HCA  DBA ( hai góc đồng vị) mà DKA  DBA  Sđ DA    HCA  DKA  Mà   HCA, DKA (0,5 điểm) cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm) 1 2  b) Ta có DKE  DAE  Sđ DE   FAC  DKC  1 SđFC do tứ giác AFCK nội tiếp. 2 (0,5 điểm)     Mà FAC  DAE (gt)  DKE  DKC vậy hai tia KC và KE trùng nhau Vậy K, C, E thẳng hàng   c) Ta có AD//IC (gt) suy ra DAB  ICA (đồng vị)  (0,5 điểm) 1 2  Mà DAB  DKB  Sđ DEB (0,25 điểm)    DKB  ICA      ICB  ICA  ICB  DKB  180 0 nên tứ giác KBCI nội tiếp 1 1  EKB  CIB  Sđ BC và DKE  IBA  Sđ IC    2   2 (0,25 điểm)  Mặt khác EKB  DKE ( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau)    IBA  CIB vậy tam giác BIC cân tại C nên BC = IC (0,5 điểm) * Ta có AD = BC và AD//IC (gt)  IC = AD và AD//IC nên tứ giác ADCI là hình bình hành  DF đi qua trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành ) Vậy DF là đường trung tuyến của tam giác ADC. (0,5 điểm) Ghi chú: Thí sinh có thể giải nhiều cách khác nhau nếu đúng, chặt chẽ, vẫn được điểm tối đa.