Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 có đáp án chi tiết

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề  a 1   1 2    :    a 1 a a   a  1 a1 Bài 1 (1,5 điểm) Cho biÓu thøc K   a)Rót gän K. b) TÝnh gi¸ trÞ cña K khi a  3  2 2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho K< 0. Bài 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: a) x 2  4x  5  2 2x  3 b) 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Bài 5 (2 điểm) Cho ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Sơ lược lời giải và thang điểm Bài 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 1  4 1  4 1  4 1   4  2   4   6  ......100   4  4  4 4  S   4 1  4 1  4 1   4 1  1   3   5  ...... 99   4  4  4  4  Giải:  n  N, ta có: 2 1 1 1 1  1   n   n 4  n 2   n 2   n 2    n 2   n 2  n   n 2  n   (1) 4 4 2 2  2   (0,5 điểm) 1 1 1 Mặt khác: n 2  n   (n 2  2n  1)  (n  1)   (n  1) 2  (n  1)  (2) 2 2 2 (0,5 điểm) Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được: 4 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2  2  2   2  2   4  4   4  4  ... 100  100  100  100   2  2  2  2  2  2 S  1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  1  1  1   3  3   3  3  ...  99  99   99  99   2  2  2  2  2  2  1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2  2  2   1  1   4  4   3  3  ... 100  100   99  99   2  2  2  2  2  2 S  1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  2 1  1   0  0   3  3   2  2  ...  99  99   98  98   2  2  2  2  2  2  1 1002  100  2  2. 1002  100  1   20201 S   1 2  2 (0,5 điểm) Bài 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ 0  (a + b)2 ≥ 4ab  –4ab ≥ –(a + b)2. Áp dụng vào biểu thức A, ta có: A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = 8 – 6xy + 2xy = 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)2 = 8 – 4 = 4 Dấu “=” xảy ra  x = y mà x + y = 2 (gt)  x = y = 1 Vậy: min A = 4  x = y = 1 Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) a) x 2  4x  5  2 2x  3 (1) b) 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 Giải: 3 (0,5 điểm) 2 Ta có: (1)  (x 2  2x  1)  (2x  3  2 2x  3  1)  0 (0,5 điểm) x  1  0 (x  1) 2  ( 2x  3  1) 2  0    x  1 (thỏa mãn)  2x  3  1  0  Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm) a) (1,5 điểm). Điều kiện: x   b) (1,5 điểm). Ta có: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9 Do đó: 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  9  2  3  5 Dấu “=” xảy ra  x = –1 (1) (0,5 điểm) 2 2 Mặt khác: 4 – 2x – x = 5 – (x + 1) . Dấu “=” xảy ra  x = –1 (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) suy ra: 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2  x = –1. Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1 (0,5 điểm) Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Giải: – Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N  BCND là hình bình hành B C Suy ra: BC = DN (1 I điểm) E F – Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM Do đó: M là trung điểm của AN A M D N (0,5 điểm) – Vì CN // BC mà BD  AC  CN  AC Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến  2CM = AN. Hay: CM = AM Vậy: ∆AMC cân tại M (0,5 điểm) Bài 5 (2 điểm) Cho ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: – Kẻ MF  AB, MG  AC A  AFMG là hình chữ nhật. (0,5 E F G điểm) D – Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG (tính chất đường xiên, hình chiếu) (0,5 điểm) B M C 1 1 Do đó: SDME  MD.ME  MF.MG  Const 2 2 Dấu "=" xảy ra  D ≡ F và E ≡ G (0,5 điểm) Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích của DME đạt giá trị nhỏ nhất. (0,5 điểm) Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên.