Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 có đáp án (2)

NguyÔn V¨n Ch¬ng Trêng THCS NguyÔn Hµm Ninh Phßng GD - §T Qu¶ng Tr¹ch §Ò thi häc sinh giái tØnh m«n to¸n líp 9 N¨m häc: 2007 - 2008 (§Ò ®Ò xuÊt) Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1: (2 ®iÓm) Tæng sè häc sinh giái to¸n, giái v¨n cña hai trêng THCS ®i thi häc sinh giái lín h¬n 27. Sè häc sinh thi v¨n cña trêng thø nhÊt lµ 10; sè häc sinh thi to¸n cña trêng thø hai lµ 12. BiÕt r»ng sè häc sinh ®i thi cña trêng thø nhÊt lín h¬n hai lÇn sè häc sinh thi v¨n cña trêng thø hai vµ sè häc sinh ®i thi cña trêng thø hai lín h¬n chÝn lÇn sè häc sinh thi to¸n cña trêng thø nhÊt. TÝnh sè häc sinh ®i thi cña mçi trêng. (Mçi häc sinh ®Òu chi mét m«n hoÆc v¨n hoÆc to¸n) C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 + mx + 1 = 0 tho¶ m·n: x12 x22 + >7 x22 x12 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ìï x y + y x = 30 ïí ïïî x x + y y = 35 C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶ sö x vµ y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = 1 . H·y t×m gi¸ trÞ nhá 2 nhÊt cña biÓu thøc M = 2 æ 1ö æ 1÷ ö2 çx + ÷ ç ÷ ÷ +è ÷ ç çy + y ÷ è ø xø C©u 4: (1,5 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) C©u 5: (2,5 ®iÓm) a) Cho tam gi¸c ABC cã sè ®o c¸c ®êng cao lµ nh÷ng sè nguyªn vµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp b»ng 1. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC ®Òu. b) BiÕt c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp. T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c nÕu µ + 2B $ = 1800 3A --------***-------- C¸c tµi liÖu tham kh¶o: 1) 20 bé ®Ò thi to¸n khã 9 ( Båi dìng häc sinh giái to¸n 9) T¸c gi¶: Phan V¨n Phïng 2) To¸n båi dìng häc sinh líp 9 ®¹i sè T¸c gi¶: Vò H÷u B×nh - T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu NguyÔn V¨n Ch¬ng Trêng THCS NguyÔn Hµm Ninh Phßng GD - §T Qu¶ng Tr¹ch §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm ®Ò thi häc sinh giái tØnh m«n to¸n 9 N¨m häc 2007 - 2008 (§Ò ®Ò xuÊt) C©u Bµi gi¶i §iÓm Gäi sè häc sinh ®i thi häc sinh giái cña trêng thø nhÊt vµ trêng thø hai lÇn l- 1 ît lµ x, y ( x, y nguyªn d¬ng), ta cã x ³ 10; y ³ 12. Tõ c¸c ®iÒu kiÖn ®· cho, ta cã: x + y > 27; x > 2(y - 12); y > 9(x-10) Tøc lµ: x + y > 27 (1); 2y - x < 24 (2) ; 9x - y < 90 (3) * NÕu x = 10 th× tõ (1) ta cã y > 17, hay 2y - x > 34 - 10 = 24. §iÒu nµy m©u thuÉn víi (2). VËy x > 10 (4) Nh©n hai vÕ cña (3) víi 2 råi céng víi (2) ®îc 17x < 204 hay x < 12. KÕt hîp víi (4), ta cã x = 11. Thay vµo (1) ta cã y > 16. Thay vµo (2) ta cã 2y < 35 hay y < 18. Suy ra y = 17. Thö l¹i, ®óng. VËy sè häc sinh ®i thi häc sinh giái cña trêng thø nhÊt, trêng thø hai lÇn lît lµ 11 vµ 17. a) §Ó ph¬ng tr×nh x2 + mx + 1= 0 cã nghiÖm th× D ³ 0. Do D = m2 - 4 nªn D ³ 0 Û m2 - 4 ³ 0 Û |m| ³ 2 (1) Theo ®Þnh lý Vi - et ta cã: x1 + x2 = - m; x1.x2 = 1 2 2 x14 + x24 (x12 + x22 )2 - 2(x1 x2 )2 x1 ö æx2 ö ÷ ÷ *æ Û ç ç >7 Û >7 ç çx ø ÷ +è ÷>7 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 èx2 ø 1 [ (x1 + x2 )2 - 2 x1 x2 ] - 2(x1 x2 )2 0,25® 0,25® 0,5® 0,25® 0,5® 0,25® 0.25® 2 Û 2 (x1 x2 )2 >7 0.25® [ (- m)2 - 2.1 ] - 2.12 2 Û >7 12 Û (m 2 - 2)2 - 2 > 7 Û (m 2 - 2) 2 > 9 m2 - 2 > 3 ém 2 - 2 <- 3 Û m 2 <- 1 (lo¹i) Û ê 2 êm - 2 > 3 Þ m > 5 Þ m > 5 (2) ë KÕt hîp (1) vµ (2) cho ta m > 5 ìï x y + y x = 30 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ïí ïïî x x + y y = 35 §iÒu kiÖn: x ³ 0; y ³ 0 . HÖ ph¬ng tr×nh cã thÓ viÕt ìï x 2 y + y 2 x = 30 ïìï xy ( x + y ) = 30 ï í Û ïí ïï ( x ) 3 + ( y ) 3 = 35 ïï ( x + y ) é( x ) 2 - xy + ( y ) 2 ù= 35 ê ú ïî ïî ë û ìï xy ( x + y ) = 30 ï Û ïí ïï ( x + y ) é( x + y ) 2 - 3 xy ù= 35 ê ú ïî ë û §Æt u = x + y ; v = xy th× ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ìï u ³ 0,v ³ 0 (1) ïï  í u.v = 30 (2) ïï ïïî u(u2 - 3v) = 35 (3) 3 Tõ (3) cho ta u - 3uv = 35 thÕ (2) vµo th× u3 = 125 => u = 5 => v = 6. 0,25® 0,25® 0,25 ® 0,25 ® Theo (1) th× u = 5; v = 6 tho¶ m·n. Tõ ®ã ta l¹i cã hÖ ph¬ng tr×nh ïì x + y = 5 Û ïí ïïî xy = 6 0,25 ® Do ®ã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 - 5X + 6 = 0 Gi¶i ra ta ®îc: X1 = 3; X2 = 2. Nªn ìï x = 2 ìï x = 3 ïí ïí ; ïïî y = 3 ïïî y = 2 ì x =4 ìï x=9 Û ïí ; í ïîï y = 9 ïîï y=4 Hai cÆp nghiÖm nµy ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai cÆp nghiÖm : ìï x = 4 ìï x=9 ; í í ïîï y = 9 ïîï y=4 3 Ta cã: M = æ 1÷ ö2 æ 1 ö2 = çx + ÷ + çy + ÷ ÷ ç ç è ø è ø x÷ y÷ x2 + 1 1 + 2 + y2 + 2 + 2 2 x y x 2 + y2 1 = 4 + x + y + 2 2 = 4 + (x 2 + y 2 )(1 + 2 2 ) x y x y V× x vµ y lµ hai sè d¬ng nªn ta cã thÓ viÕt 2 ( x - y ) ³ 0 Û x + y ³ 2 xy mµ x + y = 1 nªn 1 ³ 2 xy 2 => 0,25 ® 2 1 ³ 16 x y 2 2 0,25 ® (1) . DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = 1 2 Ngoµi ra ta còng cã: (x - y)2 ³ 0 Û x 2 + y 2 ³ 2 xy Û 2(x 2 + y 2 ) ³ 2 xy + x 2 + y 2 Û 2(x 2 + y 2 ) ³ (x + y)2 Û 2(x 2 + y 2 ) ³ 1 1 Û x 2 + y2 ³ (2) 2 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = 1 2 Tõ (1) vµ (2) cho ta: 1 1 25 M = = 4 + (x 2 + y 2 )(1 + 2 2 ) ³ 4 + (1 +16) = 2 2 x y Do ®ã: M ³ 25 . 2 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi ®ång thêi (1) vµ (2) còng x¶y ra dÊu "=" nghÜa lµ khi x = y = 1 2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ 25 khi x = y = 1 . 2 2 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 4 x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) §Æt y2 + 3y = m th× ta cã: x2 = (y2 + 3y)(y2 + 3y + 2) = m (m + 2) = m2 + 2m Ta xÐt hai trêng hîp sau:  NÕu m > 0 th× m2 < x2 < (m + 1)2 suy ra x2 kh«ng chÝnh ph¬ng vµ kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.  NÕu m £ 0 hay y2 + 3y £ 0  -3 £ y £ 0 vµ y nguyªn, tøc lµ y cã thÓ b»ng -1; - 2; - 3; 0 Do ®ã khi y = 0 => x2 = 0 => x = 0 y =- 3 => x2 = 0 => x = 0 y = -2 => x2 = 0 => x = 0 y = - 1=> x2 = 0 => x = 0 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm nguyªn (0; 0); (0; -1); (0; - 2); (0; - 3) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 5 a) Chøng minh D ABC ®Òu A Trong D ABC ®Æt BC = a; CA = b; AB = c vµ gäi x, y, z lµ ®é dµi c¸c ®êng cao øng víi c¸c c¹nh a, b, c cña tam gi¸c. Gi¶ thiÕt cho x, y, z lµ nh÷ng sè nguyªn vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn néi tiÕp D ABC b»ng 1 nªn x, y, z > 2 x c Gi¶ sö x ³ y ³ z > 2. Ta cã diÖn tÝch D ABC lµ SABC = 1 ax = 1 by = 1 cz (1) 2 2 2 NÕu gäi O vµ r =1 lµ t©m vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn O z néi tiÕp D ABC th× diÖn tÝch D ABC lµ: y SABC = SOBC + SOCA + SOAB = 1 a.1 + 1 b.1 + 1 c.1 B 2 2 2 a 1 Do ®ã SABC = (a + b + c) (2) 2 Tõ (1) vµ (2) suy ra : ax = by = cz = (a + b + c) a b c a +b +c Þ a +b +c = + + = 1 1 1 1 1 1 + + x y z x y z 1 1 1 a +b +c Þ + + = =1 x y z a +b +c 1 1 1 3 V× x ³ y ³ z Þ + + £ Þ z £ 3 x y z z V× z lµ sè nguyªn vµ z > 2 nªn z = 3. 1 1 1 2 Þ + = 1 - = Þ 3(x + y) = 2 xy Þ 4 xy - 6 x - 6 y + 9 = 9 x y 3 3 Þ (2 x - 3)(2 y - 3) = 0 V× x, y lµ hai sè nguyªn vµ x, y > 2 nªn (2x - 3)(2y - 3) = 9.1 = 3.3 ìï 2 x - 3 = 9 ìï x = 6 *í Þ í ïîï 2 y - 3 = 1 ïîï y = 2 (lo¹i v× y > 2) b 0,25® C ìï 2 x - 3 = 3 ìï x = 3 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) *í Þ í ïîï 2 y - 3 = 3 ïîï y = 3 Do ®ã x = y = z = 3. Tõ (1) cho ta : a = b = c. VËy D ABC ®Òu. 0,25® 0,25® 0.25® 0,25® 0,25® C b) µ + 2B $ = 1800 , Trong tam gi¸c Gi¶ thiÕt cho 3A A B D µ +B µ +C µ = 1800 ABC cã: A µ = 2A µ +B µ => C µ > A, µ C µ >B µ. => C => AB > BC; AB > AC. Trªn c¹nh AB lÊy mét ®iÓm D sao cho AC = AD. Ta cã D ACD c©n t¹i A · · nªn ACD . = ADC Do ®ã µ 1800 - A · · µ + B) µ = ACB · CDB = 1800 - ADC = 1800 = 1800 - ( A 2 · · µ Ta cã CDB = ACB vµ B chung => D ABC : D CBD (g.g) 0,25® 0,25® 0,25® BC DB = => BC 2 = AB.DB => BC2 = AB(AB - AD) AB BC 0,25®  BC2 = AB(AB - AC) (1) Gi¶ thiÕt cho c¸c c¹nh cña D ABC lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp mµ c¹nh AB lín nhÊt nªn cã thÓ x¶y ra: AB - BC = 1 hoÆc AB - BC = 2 Trêng hîp 1: NÕu AB - BC = 1 => AB = BC + 1 vµ AC = BC - 1 thay vµo (1) cho ta: BC2 = (BC + 1)(BC + 1 - BC + 1) => BC2 - 2BC - 2 = 0 Ph¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn nªn lo¹i Trêng hîp 2: NÕu AB - BC = 2 => AB = BC + 2 vµ AC = BC + 1 Thay vµo (1) ta ®îc : BC2 = (BC + 2)(BC + 2 - BC - 1)  BC2 - BC - 2 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta ®îc BC = - 1 (lo¹i v× BC lµ ®é dµi nªn d¬ng) ; BC = 2 (tho¶ m·n) VËy BC = 2 th× AC = 3 vµ AB = 4 Tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp 2, 3, 4. => C¸c tµi liÖu tham kh¶o: 1) 20 bé ®Ò thi to¸n khã 9 ( Båi dìng häc sinh giái to¸n 9) T¸c gi¶: Phan V¨n Phïng 2) To¸n båi dìng häc sinh líp 9 ®¹i sè T¸c gi¶: Vò H÷u B×nh - T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu