Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 có đáp án

Ngêi ra ®Ò: Mai V¨n Phó Trêng THCS Qu¸ch Xu©n Kú ®Ò giíi thiÖu thi HS giái to¸n 9 Bµi 1( 1,5®iÓm): Cho bèn sè nguyªn d¬ng a, b, c vµ d tháa m¶n a2 + b2 = c2 + d2 Chøng minh r»ng a + b + c + d lµ hîp sè. Bµi 2(1,5 ®iÓm): Gi¶ sö y  0 vµ y 1 . BiÕt r»ng: x1  y1 ; y 1 x2 x1  1 ; x1  1 x3  x2  1 ; ... x2  1 T×m y nÕu x2007 = 2008 Bµi 3(1,5 ®iÓm): T×m phÇn nguyªn cña: A 1  1 2  1 3  1 4  ...  1 20082 Bµi 4(2,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ hai lÇn sè ®o diÖn tÝch b»ng ba lÇn sè ®o chu vi. Bµi 5(3,5 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) víi d©y BC cè ®Þnh (BC < 2R) vµ ®iÓm A trªn cung lín BC ( A kh«ng trïng víi B, C vµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung). Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC, E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B vµ C trªn ®êng kÝnh AA’. a, Chøng minh HE vu«ng gãc víi AC. b, Chøng minh  HEF ®ång d¹ng víi  ABC. c, Khi A di chuyÓn, chøng minh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp  HEF cè ®Þnh. *C¸c tµi liÖu tham kh¶o: 1. 2. 3. 4. 5. TuyÓn tËp to¸n chän läc THCS TuyÓn tËp ®Ò thi to¸n THCS Chuyªn ®Ò båi dìng HSG To¸n C¸c bµi to¸n hay ®¹i sè 9, h×nh häc 9 TuyÓn c¸c bé ®Ò chuyªn, chän, HSG §¸p ¸n Bµi 1(1,5®) Víi mäi sè nguyªn n th× n2 - n = n(n - 1) lµ sè ch½n. Do ®ã a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) lµ sè ch½n. V× a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (a2 + b2) lµ sè ch½n. VËy a + b + c + d lµ sè ch½n. V× a, b, c, d  Z+ nªn a + b + c + d lµ hîp sè Bµi 2(1,5®) x2  x1  1  y  1   x1  1  y  1   y 1   2 2y  2 y 1 1 1   1      y   y 1  y 1 y 1 y 1 2 y T¬ng tù ta ®îc: y 1 x3  ; 1 y x4= y  x5 = x1; x6 = x2; x7 = x3;..... V× 2007 = 4 501 + 3 nªn x 2007  x3  y 1 2008 1 y Do ®ã y 2007 2009 . Bµi 3 (1,5 ®) Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Víi n  1 th×:  2 n 1  2  n  n 1  n  1 n ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn víi: * n = 1 cã 1 = 1 1 * n = 2 ta cã: 2( 3  2 ) < 2 * n = 3 ta cã: n = 20082 ta cã:  2 4  3   2 20082  1  1 3 2  2( n  n  n 1 2   2 3  20082  n  1)  21 2  ............ 1 2008 2   2 20082  Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn theo vÕ ta ®îc: 1 + 2 2008 2  1  2   A  1  2 2008 2  1 4015 Do 1 + 2 20082  1  2   1  2 20082  2   1  4016  VËy 4014 < A < 4015 Suy ra: [A] = 4015 20082  1  9 4014 Bµi 4(2®) Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè ®o c¸c c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c. Theo bµi ra ta cã hÖ ph¬ng tr×nh x 2  y 2 z 2   xy 3 x  y  z  1  2 Rót z tõ (2) ta cã: 3z = xy - 3x - 3y, Khi ®ã: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2 vµ tõ (1) ta cã: 9z2 = 9x2 + 9y2 Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2 BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh nµy, cuèi cïng ®îc: (x - 6)(y - 6) = 18 Do x, y nguyªn d¬ng nªn (x - 6)  -5; (y - 6)  -5 XÐt c¸c trêng hîp x¶y ra ta cã c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng tho¶ m·n ®Ò bµi lµ (7; 24; 25), (18; 15; 17) vµ (9; 12; 15) Bµi 5 (3,5®): a, V× tø gi¸c ABHE néi tiÕp nªn  EHC =  BAA’; mµ  BAA’ =  BCA’ Suy ra:  EHF =  HCA’ hai gãc nµy l¹i ë vÞ trÝ so le trong do ®ã HE // CA’. mµ A’C  AC (V×  ACA’ =1v) VËy HE  AC. b, Tø gi¸c AHFC néi tiÕp. Suy ra:  ACB =  HFE (1) Tø gi¸c ABHE néi tiÕp, suy ra:  ABC =  HEF (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: HEF ~ ABC (g.c.g) c, Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, AB, AC. V× MN // AC vµ HE  AC nªn MN  HE, Mµ NA = NB = NH = NE, suy ra: MN trung trùc cña HE. Chøng minh t¬ng tù ta cã MP trung trùc víi HF. VËy M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HEF. mµ M thuéc trung ®iÓm cu¶ BC cè ®Þnh, cã ®pcm. ---------------------//-------------------