Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp tỉnh có đáp án

®Ò thi: ®Ò xuÊt thi häc sinh giái cÊp tØnh n¨m häc 2007-2008 M«n To¸n §Ò 1 Bµi 1: Cho ba sè x, y, z sao cho x.y.z = 1 tÝnh biÓu thøc: 1 1 1 + 1  y  yz + 1  x  xy 1  z  zx Bµi 2: Cho a 1 , b 1 Chøng minh r»ng: a b  1 + b a  1  a.b Bµi 3: Cho hai ph¬ng tr×nh: x 2 + 3x + 2a = 0 (1) vµ x 2 + 6x + 5a = 0 (2) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó mçi ph¬ng tr×nh ®Òu cã 2 nghiÖm ph©n biÖt vµ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy cã ®óng 1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kia. Bµi 4: Gäi a, b, c lµ 3 c¹nh cña tam gi¸c vµ h a, hb, hc lµ 3 ®êng cao t¬ng øng. Chøng minh hÖ thøc: (a + b + c) .( 1 + 1 + 1 ) = (ha + hb + hc).( 1 + 1 + 1 ) a b c ha hb hc Bµi 5: Cho ®êng trßn t©m O B¸n R vµ I Lµ trung ®iÓm cña d©y cung MN. Hai gi©y cung bÊt kú EF vµ PQ ®i qua I víi EF < PQ ( E vµ P Thuéc cïng mét cung AB ). EQ vµ PF lÇn lît c¾t MN t¹i A vµ B. Chøng minh r»ng IA= IB. ®¸p ¸n - BiÓu ®iÓm ®Ò 1 1 1 Bµi 1: §Æt S = + 1  y  yz + 1  z  zx ( Tö vµ mÉu nh©n cïng mét lîng ) z xz 1 = z  xz  xyz + xz  xyz  xyzz + 1 1  x  xy = = z z  xz  1 z  xz  1 z  xz  1 xz xz 1  z + ( 0.5 ®) ( 0.5 ®) 1  z  xz 1 1  z  xz + ( 0.5 ®) =1 ( 0.5 ®) §¸p sè: S =1 Bµi 2: BÊt ®¼ng thøc chøng minh t¬ng ®¬ng víi: a b 1 + b a  1 1  b 1 + a  1 1 (1) ( 0.5 ab ab b a ®) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«Si cho 2 sè a – 1 vµ 1 ta ®îc ( 0.5 ®) a  1 1 a 1 a 1 ( a  1).1  (2)  a 1    2 2 2 a DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi a – 1 = 1 vµ a = 2 T¬ng tù ta còng cã: b  1  1 (3) ( 0.5 ®) 2 b Céng vÕ víi vÕ bÊt ®¼ng thøc (2) vµ (3) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi a = b = 2 ( 0.5 ®) Bµi 3: Gäi f(x) = x 2 + 3x + 2x vµ g(x) = x 2 + 6x + 5x Mçi ph¬ng tr×nh ®Òu cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ gi÷a hai nghiÖm ph¬ng tr×nh nµy cã ®óng mét nghiÖp cña ph¬ng tr×nh kia th× ta ph¶i cã: ( 0.5 Víi x1, x2 lµ nghiÖm cña f(x) = 0 ®)  9 9 a a  ( 0.5 ®) 8   8  1 9  8a  0   g ( x1 ).g ( x 2 )  0 ( x 2  6x  5a).( x 2  6x  5a)  0  1 1 2 2 (x x )2  6(x  x ).x x  5a (x  x )2  2x x  36x x  30a(x  x )  25a2  0  12 1 2 12 1 2 12 12 1 2 ( 0.5 ®) ( Víi x1 + x2 = -3; x1.x2 = 2a )  9  a  8   9a (a  1)  0  a  ( 0, 1) (0.5®) §¸p sè: a  ( 0, 1) Bµi 4: Gäi S lµ diÖn tÞch cña tam gi¸c Do a = 2 S ; b = 2 S ; c = 2 S ha Nªn (a + b + c).( Bµi 5: hb 1 + 1 a b = (ha + hb + E = ( h a + hb + M hc + 1 ) = (a + b + c). ha  hb  hc c 2S a b c hc). P 2S hc).( 1 I+ 1 + 1 ) ha hb B hc N O Q K F G (0.5 ®) (0.5 ®) (0.5 ®) (0.5 ®) (0.25®) VÏ QG // MN ( G  ®êng trßn) OI  QG t¹i K vµ KQ = KG (0.5®)   IQG c©n t¹i ®iÓm I.   PQG +  PFG = 1800 Mµ  NIG =  IGQ ( So le),  IQG =  IGQ (  IGQ c©n)   NIG =  IQG Do ®ã suy ra:  NIG +  BFG = 1800 Tø gi¸c IBFG néi tiÕp (0.5®) (1)   IGB =  BFI (2)  EQP =  EFP Tõ (1) vµ (2)   IGB =  IQA (0.25®) (0.5®)   AIQ =  BIG (g.c.g)  IA = IB  §Ò 2 Bµi 1: T×m a ®Ó biÓu thøc: ( a  1).x 2  2( a  1).x  3a  3 cã nghÜa víi mäi x Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: x 2  15 x  16 3x Víi x > 0 Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  y  z 0  x   yz  xz   xy  xyz  2  3 Bµi 4: Cho  ABC néi tiÕp trong ®êng trßn O. Gäi H lµ trùc t©m; I lµ trung ®iÓm cña BC, G lµ träng t©m  ABC. Chøng minh r»ng O, G, H th¼ng hµng vµ OG = 1 GH. 2 Bµi 5: Cho  MNK cã  M = 450;  N = 15 0 Trªn tia MK lÊy ®iÓm P sao cho KP = 2MK. TÝnh Gãc  MPN §¸p ¸n - biÓu ®iÓm ®Ò 2 Bµi 1: BiÓu thøc (a  1.x  2(a  1).x  3a  3 cã nghÜa víi mäi x (0.5®)  (a + 1)x2 – 2(a-1)x + 3a -3  0  x (0.5®)   x ( lo¹i) (0.5®) 2 a  1 0   2( a  1) x  3a  3 0 a  1  0  ' 2  ( a  1)  (a  1).(3a  3)  0  a   1  2  2 a  2 a  4  0   a  2  a 1   a 1 §¸p sè: a 1 2 x  15 x  16 = x  8 x  16  23x 3x 3x 2 > 0 nªn ( x  4)  0 3x Bµi 2: V× x 2 = ( x  1) 3x 2 + 23 3 (0.5®) (0.25®) ( §¼ng thøc xÈy ra khi x = 4) (0.25®) 23 khi vµ chØ khi x= 4 (0.5®)  Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 3 Bµi 3: (2)  x(y + z) + yz = -3 (4) (0.25®) (1)  y + z = -x (5) (0.25®) (3)  yz = - 2 ( do x # 0) (6) (0.25®) x Thay (5); (6) vµo (4) ta cã: x(-x) - 2 = - 3 x  -x3 -2 = -3x (7) (0.5®)  x3 -3x + 2 = 0 Ph¬ng tr×nh (7) cã hai nghiÖm x = -2 vµ x = 1 (0.25®) . NÕu x = -2 thay vµo (5), (6) ta cã: (0.25®) . NÕu x=1 th× hoÆc  (0.25®) VËy hÖ ®· cho cã 3 nghiÖm: (-2, 1, 1); (1, 1, -2); ( 1, -2, 1) (0.25®) Bµi 4: A  y  z  1   yz   2 H O    y  z y  z 1 yz 1 1  2  y  2   z 1 (0.25®) Nèi A Víi 0 c¾t ®êng trßn ë K G . Tø gi¸c BHCK h×nh b×nh B hµnh( hai cÆp c¹nh ®èiC song song); I lµ trung ®iÓm BC  I lµ trung ®iÓm HK hay H,I I, K th¼ng hµng. IO ®êng trung b×nh  AHK  IO = 1 AH (0.5®) K 2 Gäi giao ®iÓm cña OH vµ AI lµ G; (  AGH ~  IGO) Ta cã: OG = OI = 1 (1) (0.25®) GH GI GA = AH OI AH = 2 1 2 (2) (0.25®)  G  Trung tuyÕn AI; GI GA = 1 2 (0.25®) (3)  G lµ träng t©m tam gi¸c Tõ (1), (2), (3)  O, G, H th¼ng hµng GO = 1 GH 2 x Q Bµi 5: (0.5®) M 450 K 150 N LÊy Q ®èi xøng P qua NK. Ta cã  NKP =1800 – (450 + 150) = 600 (0.25®) Q, P ®èi xøng qua NK. Nªn  QKP c©n P 0 (1)   QKN =  NKP = 60 (0.5®)   QKM = 600 KÕt hîp MK = 1 KQ 2  QM  MK   QMN =  NMK= 450 (2) (0.25®) Tõ (1) vµ (2)  MN, KN lµ hai tia ph©n gi¸c, mµ chóng giao nhau t¹i N (0.5®)  QN lµ ph©n gi¸c  xQK 0 0   KQN = 180  30 = 750 2  KQN =  KPN = 750 Hay  MPN = 750 (0.25®) ** Häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i kh¸c ®óng vÉn chÊm ®iÓm tèi ®a. * Ngêi ra ®Ò: Tr¬ng Thanh Bê. Trêng trung häc c¬ së Qu¶ng S¬n * Tµi liÖu tham kh¶o: To¸n n©ng cao, To¸n båi dëng häc sinh giái, häc tèt líp 8, 9, 10.