Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp huyện

Phßng gi¸o dôc Qu¶ng Ninh §Ò thi ®Ò xuÊt thi HSG To¸n líp 9 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1(1 ®iÓm): Trong c¸c ph¬ng ¸n A, B, C, D cña c¸c c©u sau chØ cã mét ph¬ng ¸n ®óng; h·y chän vµ ghi vµo bµi lµm ph¬ng ¸n ®óng. C©u 1(0,25 ®iÓm): C©u nµo ®óng? C©u nµo sai? 0 (I) sin2300 + co s2300 = 1; (II) tg280= sin 28 0 sin 62 A. (I) ®óng, (II) ®óng; B. (I) sai, (II) sai; C. (I) ®óng, (II) sai; D. (I) sai, (II) ®óng. C©u 2(0,25 ®iÓm): Cho ®êng trßn(O; R) ®êng kÝnh AB. Trªn cung AB lÊy ®iÓm M sao cho MA = R, vÏ MH vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®êng trßn(O). TÝch MH . AB b»ng: A. 4R2; B. 2R2; 2 D. 3R . C. R2; 2 C©u 3(0,25 ®iÓm): §Ó ®Æt ®iÒu kiÖn cho biÓu thøc A= sau: A cã nghÜa khi    a 0  a  1 0   a 0  a  1  a  a 2 a a 1 cã nghÜa, b¹n H©n ®· thùc hiÖn nh (1) (2) 0 1 (3) VËy víi th× biÓu thøc A cã nghÜa (4) B¹n H©n ®· thùc hiÖn sai ë bíc nµo? A. (1); B. (2); C. (3); a  a 0 1 D. H©n thùc hiÖn kh«ng sai. C©u 4(0,25 ®iÓm): C©u nµo ®óng? C©u nµo sai? (I) 7  3 >3 2 . (II) §êng cao tam gi¸c ®Òu c¹nh 6 cm cã ®é dµi lµ 3 2 cm. A. (I) ®óng, (II) sai; B. (I) sai, (II) ®óng; C. (I) ®óng, (II) ®óng; D. (I) sai, (II) sai. Bµi 2(3 ®iÓm): C©u 1(1,5 ®iÓm): Cho A = 2007  2006 ; B = 2008  2007 . Kh«ng sö dông m¸y tÝnh so s¸nh A vµ B. C©u 2(1,5 ®iÓm): Cho ba ®iÓm A(2; 3), B(-2; -1) vµ C(4; 1) trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é vu«ng gãc xOy. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Bµi 3(3 ®iÓm): C©u 1(1,5 ®iÓm): H·y t×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn vµ mét c¹nh ®o ®îc b»ng 7 ®¬n vÞ. C©u 2(1,5 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: 20 x  x x  x 22 Bµi 4(3 ®iÓm): C©u 1(1,5 ®iÓm): Trªn d©y cung AB cña ®êng trßn(O) lÊy hai ®iÓm C vµ D sao cho AC = CD = DB. KÎ b¸n kÝnh OE qua C vµ b¸n kÝnh OF qua D. Chøng minh cung AE nhá h¬n cung EF. C©u 2(1,5 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã ba ®Ønh n»m trªn ®êng trßn (O), AH lµ ®êng cao. Chøng minh r»ng:  OAH =  ABC -  ACB. ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm : To¸n 9 yªu cÇu chung: PhÇn tr¾c nghiÖm : Häc sinh chØ ®îc phÐp chän mét ph¬ng ¸n, nÕu kh«ng chän, chän sai hoÆc chän 2 ph¬ng ¸n trë lªn th× kh«ng cho ®iÓm. PhÇn tù luËn: * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy v¾n t¾t mét lêi gi¶i cho mçi bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ râ rµng vµ lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc. *Trong mçi bµi, nÕu thÝ sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i tiÕp theo cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi. * §iÓm thµnh phÇn nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iÓm. §èi víi ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tïy tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm. * §èi víi bµi 4, nÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng th× cho ®iÓm 0 ë bµi ®ã. * Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n(nÕu ®óng) vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. * §iÓm cña toµn bµi lµ tæng cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c c©u(bµi), kh«ng quy trßn. Bµi 1(1,0 ®iÓm): Chän vµ ghi ®óng mçi c©u tr¶ lêi cho: 0,25 ®iÓm 1 2 3 4 C©u A C C A §¸p ¸n Bµi 2(3 ®iÓm): C©u 1(1,5 ®iÓm): Gi¶ sö: A > B  2007  2006  2008  2007 0,5 ®iÓm  2 2007  2008  2006  2 2007  2   2008  2006  2  4.2007  2008  2 2008.2006  2006  2.2007  2 (2007  1)(2007  1)  2007 2  2007 2  1 (BÊt ®¼ng thøc ®óng). VËy: A > B. C©u 2(1,5 ®iÓm): 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm §iÓm A, ®iÓm B cã hoµnh ®é kh¸c nhau, tung ®é kh¸c nhau nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB cã d¹ng: y = ax + b. Ta cã: A  AB; B  AB Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB lµ: y = x + 1. 0,5 ®iÓm T¬ng tù: §iÓm A, ®iiÓm C cã hoµnh ®é kh¸c nhau, tung ®é kh¸c nhau nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AC cã d¹ng: y = a’x + b’. Ta cã: A  AC; C  AC Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AC lµ: y = - x + 5. 0,5 ®iÓm ’ Ta cã: a. a = 1.(-1) = -1  AB  AC. VËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. 0,5 ®iÓm Bµi 3(3 ®iÓm): C©u 1(1,5 ®iÓm): Gäi a, b, c lµ sè ®o c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A(víi a, b, c  Z+ ) Ta cã: b2+c2 = a2 (1) Gi¶ sö c¹nh ®o ®îc 7 ®¬n vÞ lµ c¹nh huyÒn. Ta cã: b2+c2 = 49 (2) Tõ (2), ta suy ra: b2+c2 7 (3). 0,5 ®iÓm 7 lµ sè nguyªn tè cã d¹ng: 4k + 3, k  N. Tõ (3) ta cã: b 7 vµ c 7; 0 a - c > 0 vµ a + c, a - c  Z+ 0,5 ®iÓm Do ®ã ta cã: VËy tam gi¸c vu«ng ph¶i t×m cã sè ®o ba c¹nh lµ: 25, 7, 24. 0,5 ®iÓm C©u 2(1,5 ®iÓm): Víi ®iÒu kiÖn: x > 0, ®Æt y = x , y > 0.  3  2 a  b   1   2 a  b  4 a  4  b 1  a 1  b 1 ' ' ' '    3 2a  b 2a  2  a  1       ' ' ' ' '    1 4a  b 3 2a  b b 5 a  c 49 a 25    a  c 1 b 24 Ph¬ng tr×nh ®· cho: 20 x  x x  x 22 trë thµnh: 20  y 3  y 2 22 y 0,5 ®iÓm  y4 + y3 - 22y + 20 = 0  (y - 1)(y3 + 2y2 + 2y - 20) = 0  (y - 1)(y - 2)(y2 + 4y + 10) = 0   y  1 0  y  2 0    y 1  y 2      x 1 x 2 0,5 ®iÓm   x 1  x 4  VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm sè, ®ã lµ: x1 = 1; x2 = 4. 0,5 ®iÓm Bµi 4(3 ®iÓm): C©u 1(1,5 ®iÓm): VÏ ®êng kÝnh AM, nèi M víi D. 0,5 ®iÓm E F Khi ®ã OC lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ADM A B Suy ra: OC // DM   O1=  M1(®ång vÞ) C D  O2 =  D1 (so le trong) 0,25 ®iÓm O M C©u 2(1,5 ®iÓm): E A O B H D MÆt kh¸c: OD < OE = OM   M1 <  D1 Suy ra:  O2 >  O1 VËy cung AE nhá h¬n cung EF. 0,75 ®iÓm KÐo dµi AH c¾t ®êng trßn(O) t¹i D, vÏ ®êng kÝnh DE. 0,5 ®iÓm Khi ®ã ta cã:  AEB =  ACB(cïng ch¾n cung AB)  ABE =  ADE(cïng ch¾n cung AE)  OAD =  ODA(  AOD c©n t¹i O) 0,5 ®iÓm Suy ra:  OAH =  ADE =  ABC -  ECB C =  ABC -  AEB =  ABC -  ACB 0,5 ®iÓm