Tài liệu đề thi học sinh giỏi toán 9

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1. 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x 2  7 2. 4 4  x 2  4 x 4  16  4 x  1  x 2  y 2  2 y  3  5  y 3. x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để n  18 và n  41 là hai số chính phương. 2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. Bài 3: (3,25 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm). 2 2 1. Chứng minh rằng MN  MP  MA.MB 2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. 3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d. Bài 4: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 19b 3 - a 3 19c3 - b 3 19a 3 - c3 + +  3(a + b + c) ab + 5b 2 cb + 5c 2 ac + 5a 2 Hết./ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010. MÔN THI: to¸n (Thời gian làm bài 150 phút) Câu Ý Nội dung Điể m 1.1 (0,75 đ)  2 2 ;x  2 2 x 2  4 x  4  2 x 2  1  2 2 x 2  1. 7  7 = 0 Giải, xác định đúng điều kiện: x    ( x  2) 2  ( 2 x  1  7)  0  x  2 x  2  0       x  2  x  2 (Thỏa mãn) 2  2x 1  7  0  x  2  1.2 (1.0đ) 1 (2,5đ) 1.3 (0,75 đ) 2.1 (1,0đ)  4  x2  0 (1)  2 (2)  x  16  0 Điều kiện :  (3)  4x 1  0  x2  y 2  2 y  3  0 (4)  Từ (2)  (x2 – 4)(x2 + 4)  0  x 2  4  0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y2 – 2y + 1  0 ; Đúng với mọi giá trị của y. Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0  x2 – 2y – 5 = 0  x2 = 2y2 + 5  x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( k  Z )  4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5  2y2 = 4k2 + 4k – 4  y2 = 2(k2 + k – 1)  y chẵn Đặt y = 2n; (n  Z )  4n2 = 2(k2 + k – 1)  2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp)  (*) vô nghiệm  pt đã cho vô nghiệm Để n  18 và n  41 là hai số chính phương 2  n  18  p 2 và n  41  q  p, q  N  p 2  q 2   n  18    n  41  59  0,25 0,25 0.5đ 0,5 0,25 0,25 0,25  p  q   p  q   59  p  q  1  p  30   Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:   p  q  59  q  29 2 2 Từ n  18  p  30  900 suy ra n  882 Thay vào n  41 , ta được 882  41  841  292  q 2 . Vậy với n  882 thì n  18 và n  41 là hai số chính phương 2 2.2 (2,0đ) (1,0đ) 0,25 0,5 0,5 Gọi số cần tìm là : ab  10a  b (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a  b  a  b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 2 2 Ta có: 10a  b  a  b  10a  b  a  2a b  b  2a 5  b  a     0,5  2 5  b  a (vì a  0 ) Do đó a phải là số chẵn: a  2k , nên 5  b  k Nếu b  1  a  8  81  8  1  9 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b  4  a  6  64  6  4  8 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b  9  a  4  49  4  9  7 (thỏa điều kiện bài toán) 0, 5 3 3,25đ ) 3.1 (1,0) D 0.25 N A E B L M d I H d' O P Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng. MA MN   MN 2  MP 2  MA.MB Suy ra: MN MB 0.5 0.25 3.2 (1,25) 3.3 (1,0) Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM  ON 2  R 2 Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M. Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có MN  MO 2  ON 2  R , nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông. Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM  R 2  R + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên M, N, O, P cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác ba điểm M, N, P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là H. + Kẻ OE  AB , thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ HL  (d ) thì HL // OE, 1 nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: HL  OE (không đổi). 2 + Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE cố định 4 (1,5đ) 0,25 0,25 0,50 0,25 0,5 0,25 0.25 y 1 P 0.25 K C B A M N a Q c b O x Nối AO, xét tam giác vuông POM có OA là đường cao Theo Pi-ta-go ta có: PO2 = PM . PA PO 2 PO 2 1 PA     2 2 PM PO  OM 1 a2 Áp dụng Pi-ta-go vào: POM và PON lại có: PA .PM = PB . PN ( = PO2) PA PB AP AB mà góc APB chung   APB ~  NPM(c.g.c)    PN PM NP MN a b AP.NM  AB   NP (1  a 2 )(1  b 2 )  Tương tự tính được : AC = 5. (0,75) ac ( a 2  1)(c 2  1) ; BC = Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab ۳ (a + b)(a 2 + b 2 - ab) ab(a + b) ۳ a 3 + b 3 ۳ a + 20b  3 3 3 19b + ab(a + b) bc 0,25 0,5đ 0,5đ (b 2  1)(c 2  1) ab(a + b) 3 20b - ab(a + b) 19b 3 - a 3 0.25 ۳ b(20b 2 - ab - a 2 ) 19b 3 - a 3 ۳ b(20b 2 - 5ab + 4ab - a 2 ) 19b 3 - a 3 ۳ b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b 3 - a 3 ۳ b(4b - a)(a + 5b) 19b 3 - a 3 ۳ (4b - a)(ab + 5b 2 ) 19b 3 - a 3 19b 3 - a 3  ab + 5b 2 4b - a 0,25 19c3 - b 3 19a3 - c3  4c - b;  4a - c cb + 5c2 ac + 5a 2 Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Tương tự với a, b, c > 0 thì: Các cách giải khác nhưng đúng yêu cầu đề ra vẫn cho điểm tối đa, phần hình học phải có hình vẽ Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc 2005 – 2006 Së GD-§T NghÖ an Bµi 1: a. b. c. Bµi 2: M«n: To¸n Líp 9 B¶ng A ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ). T×m sè tù nhiªn A biÕt r»ng trong ba mÖnh ®Ò sau th× cã 2 mÖnh ®Ò ®óng vµ mét mÖnh ®Ò sai. A + 51 lµ sè chÝnh ph¬ng. Ch÷ sè tËn cïng bªn ph¶i cña sè A lµ sè 1. A – 38 lµ sè chÝnh ph¬ng. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x2  y2 x   2 xy  8 2  y 4 Bµi 3: Cho hai sè thùc x; y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x > y vµ xy < 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = (x y) 2  ( x  y  1 1  ) x y 2 Bµi 4: Cho ®êng trßn t©m I néi tiÕp tam gi¸c ABC ( cã gãc C tï). A’; B ’; C ’ lÇn lît lµ tiÕp ®iÓm cña ®êng trßn (I ) víi c¸c c¹nh BC,CA, AB cña tam gi¸c. Nèi AA’ c¾t ®êng trßn (I) t¹i E, kÐo dµi C ’B ’ vµ BC c¾t nhau t¹i K. a. Chøng minh KE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (I ) . b.Tõ A’ kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AA’, ®êng th¼ng nµy c¾t C’B’ kÐo dµi t¹i F. Chøng minh ®êng th¼ng BC ®i qua trung ®iÓm cña AF. =================== Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh NghÖ an N¨m häc 2005 – 2006 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng B ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ). Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x 2 + xy + y2 = 4 x+ xy + y = 2 Bµi 2: T×m sè tù nhiªn A biÕt r»ng trong ba mÖnh ®Ò sau th× cã 2 mÖnh ®Ò ®óng vµ mét mÖnh ®Ò sai. a. A + 51 lµ sè chÝnh ph¬ng. b. Ch÷ sè tËn cïng bªn ph¶i cña sè A lµ sè 1. c. A – 38 lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3: : Cho hai sè thùc x; y tho· m·n ®iÒu kiÖn: x>y vµ xy < 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ( x  y )2  ( x  y  1 1 2  ) x y Bµi 4: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O. M lµ ®iÓm thuéc cung nhá BC ( M ≠ B; C ), E lµ giao ®iÓm cña BC víi AM. a. Chøng minh: 1 1 1 .   ME MB MC b. Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AB vµ CM; Q lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AC vµ BM. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá BC ( M kh«ng trïng víi B vµ C) th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®inh. Së GD-§T NghÖ an Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc 2005 – 2006 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng C ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ). Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 0,25 x 2 + xy + y2 = 4 x + xy + y = 2 Bµi 2: Cho hai sè a; b nguyªn d¬ng tho· m·n ®iÒu kiÖn: a 1 b 1 lµ mét sè  b a nguyªn d¬ng. Gäi d lµ íc sè cña a vµ b. Chøng minh: d Bµi 3: Cho biÓu thøc:  P a b  2x  4x  1  2x  4x  1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P vµ tËp gi¸ trÞ x t¬ng øng. Bµi 4: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O. M lµ ®iÓm thuéc cung nhá BC ( M ≠ B; C ). a. Chøng minh: MA = MB + MC. b. Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AB vµ CM; Q lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AC vµ BM. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá BC (M kh«ng trïng víi B vµ C) th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Së GD-§T NghÖ an Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc 2006 – 2007 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng A ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ). Bµi 1: Chøng minh r»ng: a. Víi mäi sè tù nhiªn n > 1 th× sè A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. b. C¸c sè a vµ b ®Òu lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× tÝch a.b còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 2: a. H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ x;y ®Ó cã ®¼ng thøc: 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 b.Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: 2x + 3y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng S = 3x 2 + 2y 2. Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 7 x 3  11x 2  25x  12 = x2 +6x -1 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän ( AB < AC) , kÎ ®êng ph©n gi¸c AD cña gãc BAC vµ ®êng trung tuyÕn AM ( D;M  BC). VÏ hai ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ADM , hai ®êng trßn nµy c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai lµ I, ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADM c¾t hai c¹nh AB vµ AC theo thø tù t¹i E vµ F. Tia AD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i J. a. Chøng minh: 3 ®iÓm I, M,J th¼ng hµng. b. Gäi K lµ trung ®iÓm cña EF, tia MK c¾t AC vµ tia BA theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh tam gi¸c PAQ c©n. Së GD-§T NghÖ an Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc 2006 – 2007 M«n: To¸n Líp 9 B¶ng B ( Thêi gian: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ). Bµi 1: Chøng minh r»ng: a. Víi mäi sè tù nhiªn n > 1 th× sè A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. b. C¸c sè a vµ b ®Òu lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× tÝch a.b còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 2: H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ x;y ®Ó cã ®¼ng thøc: 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 Bµi 3: Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: 2x + 3y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng S = 3x 2 + 2y 2. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän ( AB < AC) , kÎ ®êng ph©n gi¸c AD cña gãc BAC vµ ®êng trung tuyÕn AM ( D;M  BC). VÏ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADM , ®êng trßn nµy c¾t c¸c c¹nh AB vµ AC cña tam gi¸c ABC theo thø tù t¹i E vµ F. Gäi K lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh: MK // AD. Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc 2006 – 2007 Híng dÉn chÊm M«n: To¸n Líp 9 B¶ngA Së GD-§T NghÖ an TT Bµi1 4®iÓm Bµi 2 6 ®iÓm Lêi gi¶i a.Gi¶ sö n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = k 2 , k  Z <=> n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2 <=> (n + 1) n 2(n 3 – n2 +2) = k 2 <=> ( n+ 1)2 n2( n – 1) 2 + 1 = k 2 =>( n – 1) 2 + 1 ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. Nhng ta cã: (n – 1) 2 < ( n- 1) 2 + 1 = n 2 + 2 (1 – n) < n 2 do n >1 suy ra ( n- 1) 2 + 1 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. VËy A= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. b. Gi¶ sö a = m2 + n 2 vµ b = p2 + q2 m;n;p;q Z. Ta cã: a.b = (m2 + n 2 )( p2 + q2 ) = m2p 2 + m2q 2 +n2p2 +n2q2 = m2p 2 + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq =(mp +nq)2 + (mq – np)2 §.p.c.m a. ( 3 ®iÓm) 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 (1) (1) <=> 25x 2 + 25y 2 + 40xy + 10y – 10x + 10 = 0 <=>25 x2 + 16 y2 + 1 + 40 xy – 10 x – 8 x + 9y2 +18 y +9 = 0 <=> ( 5x + 4y – 1) 2 + 9 (x – 1) 2 = 0 5x  4y  1  0  y  1  0 VËy x = 1, y = - 1 cã ®¼ng thøc (1). b.¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã: (2x + 3y) 2 = ( 2 3 .x 3  3 2 .y 2 ) 2  ( 4 9  ) (3x2 + 2y2 ) 3 2 35 ( 3x2 + 2y2 ) 6 6 Suy ra: 3x2 + 2y2  35 = §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khÝ: x 3: Bµi 3 4 ®iÓm 2 3 y 2: 3 2 vµ 2x + 3y = 1 2 x  3 y  1  4 9  3x 2 y => x  35 ; y  35 2  3  Ta cã: 7x3 – 11x2 + 25x – 12 = 7x3 – 7x2 + 21x – 4x2 + 4x – 12 =7x( x 2 – x +3) – 4( x2 –x + 3) = ( 7x – 4)( x2 –x + 3) Ph¬ng tr×nh: 2 (7 x  4)( x  x  3) = x 2 +6x –1 2 §iÒu kiÖn: x  2 4 11 ( do x2 –x +3  ) 7 4 (7 x  4)( x 2  x  3)  (7x – 4) +( x2 –x +3) = x2 +6x – 1 = VP §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi: 7x – 4 = ( x2 –x +3) <=> x2 – 8x + 7 = 0 x = 1 vµ x = 7 tho· nm·n bµi to¸n §iÓm Bµi 4 6 ®iÓm VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = 1 vµ x = 7 a. (4 ®Óm)Tø gi¸c AEDM néi tiÕp =>BE.BA = BD.BM =>BE = BD.BM/BA (1) T¬ng tù: CF = CM.CD/CA ¸p dông tÝnh chÊt cña ph©n gi¸c BD/ BA = CD/CA (2) Theo gt: BM = CM Thay vµo (1) ta cã: BE = CF EBI = ICF( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) AEI = AFI => IEB = IFC Suy ra:BEI = CFI => IB = IC => IM  BC (v× M lµ trung ®iÓm cña BC) => IM ®i qua J §.p.cm. b.( 2 ®iÓm) ( gi¸m kh¶o tù vÏ h×nh) Gäi G, H theo thø tù lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. I DÔ dµng cã tø gi¸c KGMH lµ h×nh thoi. =>KM lµ ph©n gi¸c gãc GKH => KG// AD. A =>Chøng minh ®îc tam gi¸c PAQ c©n. E B B B B B Sôû Giaùo duïc - Ñaøo taïo TP.Hoà Chí Minh F D J M J C J KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9-THCS CAÁP THAØNH PHOÁ Naêm hoïc 2007 – 2008 MOÂN TOAÙN Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà) ÑEÀ CHÍNH THÖÙC 2 Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : 2 x  (6m  3) x  3m  1  0 ( x laø aån soá) a) Ñònh m ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm. b) Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 2 2 Ñònh m ñeå A= x1  x2 ñaït giaù trò nhoû nhaát. Caâu 2 : (4 ñieåm) a b c d    2 abc bcd cd a d a b b) Cho a  1 ; b  1 . Chöùng minh : a b  1  b a  1  ab Caâu 3 : (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình : 2 2 2 a) ( x  3x )  6( x  3x )  7  0 a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: 1  b) 8  x  3  5  x  3  5 c) x  x 2  x  x 2  x  1 Caâu 4 : (2 ñieåm) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2  n  1 khoâng chia heát cho 9. Caâu 5 : (4 ñieåm) Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H. a) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh. b) Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng. Caâu 6 : (2 ñieåm) Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD. ÑAÙP AÙN Caâu 1: (4 ñieåm) Cho phöông trình : 2 x  (6m  3) x  3m  1  0 ( x laø aån soá) a) Ñònh m ñeå phöông trình treân coù hai ngieäm phaân bieät ñeàu aâm. b) Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình treân. 2 2 Ñònh m ñeå A= x1  x2 ñaït giaù trò nhoû nhaát. 2 Giaûi: 2 2 a)   (6m  3)  8(3m  1)  (6m  1) 6m - 3  6m - 1  x1;2  4 1  x1  3m - 1 v x 2   2 Ñeå hai nghieäm phaân bieät ñeàu aâm thì  3m  1  0   1  3m  1   2   m    m   1 3 1 6 2 2 2 b)Ta coù A= x1  x2 = (3m  1)   1 khi m  4 3 Caâu 2 : (4 ñieåm) 1 1  4 4 A ñaït GTNN laø a b c d    2 a bc bc  d c d a d a b b) Cho a  1 ; b  1 . Chöùng minh : a b  1  b a  1  ab a) Cho a, b, c, d laø caùc số dương. Chứng minh: 1  Giaûi : a) Ta coù : ( vôùi a, b, c, d laø caùc soá döông) a a  abc a bc d b b  bc d a bc d c c  c d a a b c d d d  d a b a b c d Coäng boán BÑT treân ta ñöôïc : 1  Ta laïi coù : a b c d    a bc bcd cd a d a b a a  abc ac c c  cd a ac a c   1 abc c d a vaø b b  bcd bd d d  d a b d b b d   1 bcd d ab Töø ñoù ta coù ñpcm. b)Ta coù a  1  1(a  1)  1  a 1 a (a, b  1)  2 2 ba ( 1) 2 ab Töông töï : a b  1  (2) 2 Coäng (1) vaø (2) ta coù ñpcm. Caâu 3 : (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình : 2 2 2 a) ( x  3x )  6( x  3x )  7  0 b) 8  x  3  5  x  3  5 c) x  x 2  x  x 2  x  1 Suy ra : b a  1  Giaûi: 2 2 2 a) ( x  3x )  6( x  3x )  7  0 2 Ñaët t  x 2  3x , ta coù phöông trình : t  6t  7  0  t  1 v t  7 3 5 2 3  37 2 2 Vôùi t  7, x  3x  7  x  3 x  7  0  x  2 Vôùi t  1, x 2  3x  1  x 2  3x  1  0  x  b) 8 x 3  5 x 3  5 Ñaët u  8  x  3 ۳ u 0, u 2  8  x  3 Ñaët v  5  x  3 ۳ v 0, v 2  5  x  3 u  v  5 u  2 u  3   v  Ta coù heä phöông trình:  2 2 v  2  u  v  13  v  3 Töø ñoù ta tìm ñöôïc nghieäm x = 4 c) x  x 2  x  x 2  x  1 ( Ñieàu kieän : 0  x  1 Ta thaáy x  0 khoâng thoûa neân ta chia hai veá cho x : x  x2 x  x2 1 1   x  1 x  1 x  x  x x x x 1  2 vaø daáu baèng xaûy ra khi x = 1. Xeùt veá phaûi : x  x ( 1  x  1  x )2  ( 1  x )2  ( 1  x )2  2 2 Suy ra veá traøi : 1  x  1  x  2 vaø daáu baèng xaûy ra khi x = 0. Ta coù : Vaäy hai veá khoâng baèng nhau. Phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm. Caâu 4 : (2 ñieåm) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì n 2  n  1 khoâng chia heát cho 9. Giaûi: Giaû söû n 2  n  1 chia heát cho 9 thì ta coù : n 2  n  1  k .9 (k  N ) n 2  n  1  k .9  0 ( 1)   1  4(1  k .9)  36k  3  3(12k  1) Ta thaáy  chia heát cho 3 vaø khoâng chia heát cho 9 neân khoâng laø soá chính phöông, do vaäy phöông trình (1) treân khoâng theå coù nghieäm nguyeân. Vaäy n 2  n  1 khoâng chia heát cho 9. ( ñpcm) Caâu 5 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O) vaø coù tröïc taâm laø H. a)Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M thu ộc cung BC không chứa điểm A sao cho töù giaùc BHCM laø moät hình bình haønh. b)Laáy M laø ñieåm baát kyø treân cung BC khoâng chöùa A. Goïi N vaø E laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø AC. Chöùng minh ba ñieåm N , H , E thaúng haøng. Goïi Mo laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua taâm O cuûa ñöôøng troøn. Ta coù CMo song song vôùi BH vì cuøng vuoâng goùc vôùi AC. BMo song song vôùi CH vì cuøng vuoâng goùc vôùi AB. Vaäy töù giaùc BHCMo laø moät hình bình haønh. Ñieåm Mo chính laø vò trí cuûa M maø ta caàn xaùc ñònh. a) Ta coù N vaø M ñoái xöùng qua AB neân : ANB=AMB= ACB. H laø tröïc taâm tam giaùc ABC neân AHB + ACB = 180o Suy ra : ANB + AHB = 180o. Töù giaùc AHBN noäi tieáp ñöôïc cho ta : NHB = NAB. Maø NAB = MAB neân NHB = MAB. ( 1) Töông töï ta cuõng coù : EHC = MAC ( 2 ) Coäng (1 ) vaø (2 ) ta coù : NHB + EHC = BAC. Maø ta laïi coù : BAC + BHC = 180o Neân : NHB + EHC + BHC = 180o Vaäy N, H , E thaúng haøng. Caâu 6 : (2 ñieåm) Cho töù giaùc ABCD coù O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø dieän tích tam giaùc AOB baèng 4 , dieän tích tam giaùc COD baèng 9. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích töù giaùc ABCD. Giaûi : Ñaët S BOC  x , S AOD  y S AOB OB S BOC   Ta coù S AOD OD SCOD 4 x Suy ra :   xy  36 y 9 Ta laïi coù S ABCD  4  9  x  y  13  2 xy  13  2.6  25. Daáu baèng xaûy ra khi x = y = 6. Vaäy dieän tích töù giaùc ABCD ñaït giaù trò nhoû nhaát laø 25. së gi¸o dôc - ®µo t¹o kú thi chän häc sinh giái tØnh qu¶ng ninh líp 9 n¨m häc 2004-2005 -------- -------(b¶ng A) Bµi 1: 1) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n: n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng. 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2  x 2  2  = 5 x 3  1 Bµi 2: Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: y  1 + y2 x  1 + x2 = x2  5 + y2  5 + Chøng minh r»ng: x = y Bµi 3: Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 . 2 3ax2  x1  3a a2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =  2 3ax1  x 2  3a a2 Bµi 4: Gäi O lµ t©m ®êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña tø gi¸c ABCD. Qua A, B, C, D lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng dA, dB, dC, dD sao cho dA  OA, dB  OB, dC  OC, dD  OD. C¸c cÆp ®êng th¼ng dA vµ dB, dB vµ dC, dC vµ dD, dD vµ dA t¬ng øng c¾t nhau t¹i c¸c ®iÓm K, L, M, N. 1) Chøng minh r»ng ba ®iÓm K, O, M th¼ng hµng. 2) §Æt OK = k, OL = l, OM = m. TÝnh ®é dµi ON theo k, l, m. híng dÉn chÊm thi HSG tØnh n¨m häc 2004-2005 m«n to¸n líp 9 - b¶ng a ------------------S¬ lîc lêi gi¶i Bµi Bµi 1.1 3 ®iÓm Bµi 1.2 3 ®iÓm Gi¶ sö tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng th× n2 + 2006 = m2 víi m lµ sè tù nhiªn => (m-n)(m+n) = 2006 (*). Khi ®ã: - nÕu m vµ n kh¸c tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) lÎ . M©u thuÉn víi (*) - nÕu m vµ n cïng tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) chia hÕt cho 4, nhng 2006 kh«ng chia hÕt cho 4. Còng m©u thuÉn víi (*) Tãm l¹i gi¶ sö trªn kh«ng ®óng. VËy kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng. §K: x3 + 1  0 (*). BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho (1) <=> 2  x 2  2  = 5 1,0 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® ( x  1)( x 2  x  1) §Æt ( x  1) = u; ( x2  x 2 + v2) = 5u.v Khi ®ã (1) trë thµnh: 2(u => u = 2v ; u = v/2  1) = v (1) => u2 + v2 = x2 + 2. Thay vµo (1); gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh; t×m ®îc: x = 5  Thö vµ thÊy c¸c gi¸ trÞ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm: x = 5  Bµi 2 3 ®iÓm Cho ®iÓm 2 2 37 vµ x = 5  37 vµ x = 5  37 2 37 0,5 ® 0,75 ® 1,0 ® 0,25 ® 2 Gi¶ sö cã x, y tho¶ m·n y 1 + x  1 + x2 = x2  5 + y2  5 + 2 y => x  1; y  1 - NÕu x=1=y th× x = y (®pcm !) - NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th× b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hîp, ®îc: x  1 + x2 = y  1 + y2 <=> x2  5 + y2  5 + <=> ( x 2  5 y  1 ) + (x2 - y2) = 0 x 1 y2  5 ) + ( <=>(x2- y2)/( x 2  5 + y 2  5 ) +(x - y)/( x  1 + y  1 )+(x2-y2) = 0,25 ® 1,0 ® 1,0 ® 0 <=> (x - y).((x+y)/( x 2  5 + y 2  5 ) +1/( x  1 + y  1 ) +x+y)= 0 <=> x - y = 0 <=> x = y (v× : (x+y)/( x 2  5 + y 2  5 ) + 1/( x  1 + y  1 ) + x + y > 0) VËy nÕu x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc trªn th× x = y Chó ý: Cã thÓ ch/m x = y b»ng c¸ch lo¹i trõ c¸c kh¶ n¨ng x < y; x > y Bµi 3 4 ®iÓm Bµi Do ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) S¬ lîc lêi gi¶i Khi ®ã: A = 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 1,0 ® Cho ®iÓm 2 3ax 2  x1  3a a2 =  2 3ax1  x 2  3a a2 0,5 ® a2 9a 2  4a  9a 2  4a a2 Theo (1) th× 9a2 + 4a > 0 nªn ¸p dông B§T C«si, ta ®îc A  2. A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2. DÔ kiÓm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2 VËy Anhá nhÊt = 2, ®¹t ®îc khi a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2 Bµi 4 4. 1) 4 ®iÓm 4. 2) 3 ®iÓm 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® H×nh vÏ: DÔ thÊy AKBO, BLCO, CMDO vµ DNAO lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. vµ c¸c ®o¹n th¼ng OA, OB, OC, OD t¬ng øng lµ ph©n gi¸c c¸c gãc A, B, C, D cña tø gi¸c ABCD. Cã KOL + LOM =  - OKB - OLB +  - OLC - OMC =  - BAO - BCO +  - CBO - CDO = 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 -  =  Tõ ®ã suy ra c¸c ®iÓm K, O, M th¼ng hµng Chøng minh t¬ng tù nh trªn, ta ®îc N, O, L th¼ng hµng. Ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp. ThËt vËy, cã: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = 2 Tõ ®ã chøng minh ®îc OK.OM = ON.OL Do ®ã ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l Sôû Giaùo duïc - Ñaøo taïo TP.Hoà Chí Minh KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9-THCS CAÁP THAØNH PHOÁ Naêm hoïc 2006 – 2007 MOÂN TOAÙN Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà) ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Caâu 1 : (3 ñ)Thu gọn các biểu thức: a) A  6  2 5  29  12 5 1,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 0,25 ® 1,25 ® 1,0 ® 0,5 ® b) B  8 c) C  ( 8 15 6 1  20  40 4 6 2  12 3 6 )( 6  11) Caâu 2 : (3 ñ) 2 2 2 2 a) Chứng minh : ( x  y  z )  3( x  y  z ) , x, y, z  R 1 1 1 , y , z b) Cho x  y  z  1 , x  . 4 4 4 Chứng minh : 4 x  1  4 y  1  4 z  1  21 . Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu? Caâu 3 : (4 ñ) Giải hệ phương trình và phương trình:  xy 12 x  y  5   yz 18  a)  yz 5   zx 36    z  x 13 b) x2  4 x2  4  8  x2 Caâu 4 : (2 ñ) Cho phương trình : ax 2  bx  c  0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ. Caâu 5 : (4 ñ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D. a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M. b)Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD. c)Giả söû CD cắt AB tại K. Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK. Caâu 6 : (4 ñ) Tam giaùc ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ACB = 45o. Đöôøng troøn ñöôøng kính AB caét AC vaø BC laàn löôït taïi M vaø N. Chöùng minh MN vuoâng goùc OC vaø MN = AB 2 ============================= Bµi 1: Rót gän biÓu thøc : 4  10  2 5  4  10  2 5 Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Bµi 3:  5x  1  3 y  1     xy 1  x 1 XÐt ph¬ng tr×nh: mx2 - (m + 2)x + 1 = 0 (1) víi m lµ tham sè. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ a vµ b. Chøng minh r»ng: Bµi 4: a  b >1 Cho ®êng trßn (O ; R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, M lµ mét ®iÓm tuú ý thuéc ®êng trßn (M  A, M  B). Tõ A vµ B kÎ c¸c tiÕp tuyÕn Ax vµ By víi ®êng trßn (O ; R). TiÕp tuyÕn t¹i M cña ®êng trßn (O ; R) c¾t Ax t¹i C, c¾t By t¹i D. §êng th¼ng BM c¾t Ax t¹i E. a) Chøng minh AD  OE. b) T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng trßn (O ; R) ®Ó tæng diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ACM vµ BDM lµ nhá nhÊt. kú thi chän häc sinh giái tØnh Bµi 1: Rót gän biÓu thøc : 4  10  2  5 4  10  2 5  5 Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x 1     x y  8  y  y ( x  1)  3 Bµi 3: XÐt ph¬ng tr×nh: mx2 - (m + 2)x + 1 = 0 (1) víi m lµ tham sè. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ a vµ b. Chøng minh r»ng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2  Bµi 4: ( m  2 )2 2 . Cho ®êng trßn (O ; R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, M lµ mét ®iÓm tuú ý thuéc ®êng trßn (M  A, M  B). Tõ A vµ B kÎ c¸c tiÕp tuyÕn Ax vµ By víi ®êng trßn (O ; R). TiÕp tuyÕn t¹i M cña ®êng trßn (O ; R) c¾t Ax t¹i C, c¾t By t¹i D. §êng th¼ng BM c¾t Ax t¹i E. a) Chøng minh AD  OE. b) T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng trßn (O ; R) ®Ó AE = BD . ------------------------ HÕt -----------------------ĐỀ THI HỌC SINH TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 1978-1979 (Vòng 1) Bài 1. 1. a, b và c là 3 số khác nhau. Chứng minh rằng : bc ca ab 2 2 2      ( a  b)( a  c ) (b  c )(b  a ) (c  a )(c  b) a b bc ca 2. Phân tích biểu thức thành thừa số : a 2 (b  c )  b 2 (c  a )  c 2 ( a  b) Bài 2. Làm thế nào để đem 6 l nước từ sông về, nếu trong tay chỉ có hai cái thùng, một thùng dung tích 4 l, một thùng dung tích 9 l và không có thùng nào có vạch chứa dung tích. Bài 3. Đang dạo chơi trong thành phố, bốn học sinh nhận thấy một chiếc xe đã vi phạm luật giao thông. Không ai trong các em nhớ số hiệu ghi trên biển xe, nhưng vì tất cả đều là học sinh yêu toán nên mỗi em đã nhớ được đặc tính của số hiệu ấy. Một em nhớ lại rằng số hiệu đó là AB tiếp theo là một số có bốn chữ số. Em thứ hai nhớ lại rằng hai chữ số đầu giống hệt nhau. Em thứ ba nhớ lại rằng hai chữ số cuối cũng giống hệt nhau. Còn em thứ tư đã quả quyết rằng ta có bốn chữ số đó là một số chính phương. Căn cứ vào những bằng chứng ấy, hãy tìm ra số hiệu chiếc xe. Bài 4. Cho ΔABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn luôn đi qua A. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy. 1. Trong trường hợp xy cắt BC tai G, hãy chứng minh rằng : AG(BE+CF)=2S 2. Đường thẳng xy phải có giá trị nào để tổng BE+CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó. së gi¸o dôc - ®µo t¹o qu¶ng ninh -------- -------- kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 9 n¨m häc 2004-2005 (b¶ng b) Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( x 1) ( x  2) + ( x 1) ( x  3) = 2 ( x  1) ( x  4) Bµi 2: Bµi 3: Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : Chøng minh r»ng x = y. x 1 + x2 = y 1 + y2 Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 . 3ax2  x12  3a a2 1) TÝnh theo a gi¸ trÞ biÓu thøc A =  2 3ax1  x 2  3a a2 2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A . Bµi 4: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. Qua A vÏ c¸t tuyÕn MAN víi M thuéc (O) ; N thuéc (O') vµ M, N kh«ng trïng víi A. TiÕp tuyÕn t¹i M cña ® êng trßn (O) c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn (O') ë I. 1) Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n th¼ng MN lµ lín nhÊt khi c¸t tuyÕn MAN song song víi ®êng th¼ng OO'. 2) Chøng minh r»ng bèn ®iÓm B, M, I, N n»m trªn mét ®êng trßn. ------------------------ HÕt ------------------------híng dÉn chÊm thi HSG tØnh n¨m häc 2004-2005 m«n to¸n líp 9 - b¶ng B Bµi Bµi 1 5 ®iÓm Bµi 2 5 ®iÓm Bµi 3 3. 1) 2 ®iÓm S¬ lîc lêi gi¶i §iÒu kiÖn: (x-1)(x-2)  0; (x-1)(x-3)  0; (x-1)(x-4)  0 (*) * NÕu x  4 th× ¸p dông c«ng thøc A.B  A B víi A, B  0, ta ®îc: (1) <=> x  1 . x  2 + x  1 . x  3 = 2 x  1 . x  4 <=> x  2 + x  3 = 2 x  4 (1a) Gi¶i (1a) víi x  4, ®îc kÕt qu¶ (1a) v« nghiÖm. * NÕu 1< x < 4 th× (x-1)(x-4) < 0, kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) => kh«ng cã x nµo thuéc kho¶ng (1 ; 4) lµ nghiÖm cña (1) * NÕu x = 1, thö trùc tiÕp vµ thÊy x = 1 lµ nghiÖm cña (1) * NÕu x < 1th× ¸p dông c«ng thøc A.B   A.  B víi A, B  0, ta ®îc: (1) <=> 1  x . 2  x +. 1  x 3  x = 2 1  x 4  x <=> 2  x + 3  x = 2 4  x (1b) Gi¶i (1b) víi x < 1, ®îc kÕt qu¶ (1b) v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho (1) cã duy nhÊt nghiÖm x = 1. y  1 +y2 => x  1; y  1 x  1 + x2 = Gi¶ sö cã x, y tho¶ m·n - NÕu x = 1 = y th× cã ngay x = y (®pcm!) - NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th× b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hîp, ®îc: y  1 + y2 <=> ( y  1 ) + (x2 - y2) = 0 x  1 + x2 = x 1 2-y2) = 0 <=> (x - y)/( x  1 + y  1 ) + (x <=> (x - y).(1/( x  1 + y  1 ) + x + y) = 0 <=> x - y = 0 (v× 1/( x  1 + y  1 ) + x + y > 0) <=> x = y VËy nÕu cã x, y tho¶ m·n y  1 + y2 th× x = y (®pcm!) x  1 + x2 = Chó ý: Cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch xÐt c¸c trêng hîp: - NÕu x > y, CM ®îc y  1 + y2 x  1 + x2 > - NÕu x < y, CM ®îc x  1 + x2 < y  1 + y2 - VËy nÕu y  1 + y2 th× x = y x  1 + x2 = Cho ®iÓm 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 0,5 ® 0,5 ® 1,5 ® 1,5 ® 1,0 ® 0,5 ® Do ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a 1,0 ® => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a 0,5 ® 2 2 3ax 2  x1  3a a 0,5 ® Khi ®ã: A = =  2 3ax1  x 2  3a a2 a2 9a 2  4a  9a 2  4a a2 3. 2) 2 ®iÓm Theo (1) th× 9a2 + 4a > 0 nªn ¸p dông B§T C«si, ta ®îc A  2. A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2. DÔ kiÓm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2 VËy Anhá nhÊt = 2, ®¹t ®îc khi a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2 Bµi 4 4 .1) 2,5 ®iÓm H×nh vÏ Gäi H, K lÇn lît lµ trung ®iÓm AM, AN => MN = 2 HK Chøng minh ®îc HK  OO', ë ®ã OO' kh«ng ®æi => MN  2OO' , dÊu = x¶y ra <=> HK//OO' <=> MN//OO' Suy ra MN lín nhÊt <=> MAN // OO' (®pcm !) Chøng minh ®îc : - nÕu A ë gi÷a M vµ N th× MIN + MBN = 1800. - NÕu N (hoÆc M) ë gi÷a AM (hoÆc AN) th× MIN = MBN Tõ ®ã suy ra bèn ®iÓm B, M, I, N thuéc mét ®êng trßn 4. 2) 3,5 ®iÓm 1,0 ® 0,75 ® 0,25 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 1,5 ® 1,5 ® 0,5 ® Bµi 4: Gäi O lµ t©m ®êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña tø gi¸c ABCD. Qua A, B, C, D lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng dA, dB, dC, dD sao cho dA  OA, dB  OB, dC  OC, dD  OD. C¸c cÆp ®êng th¼ng dA vµ dB, dB vµ dC, dC vµ dD, dD vµ dA t¬ng øng c¾t nhau t¹i c¸c ®iÓm K, L, M, N. 1) Chøng minh ba ®iÓm N, O, L th¼ng hµng. 2) Chøng minh r»ng OK.OM = OL.ON S¬ lîc lêi gi¶i Bµi Bµi 4 4 .1) 3 ®iÓm 4. 2) 3 ®iÓm H×nh vÏ: DÔ thÊy AKBO, BLCO, CMDO vµ DNAO lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. vµ c¸c ®o¹n th¼ng OA, OB, OC, OD t¬ng øng lµ ph©n gi¸c c¸c gãc A, B, C, D cña tø gi¸c ABCD. Cã NOK + KOL =  - ONA - OKA +  - OKB - OLB =  - ADO - ABO +  - BAO - BCO =  - ( A + B + C + D )/2 = 2 -  =  Tõ ®ã suy ra c¸c ®iÓm N, O, L th¼ng hµng Tríc hÕt ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp. ThËt vËy, ta cã: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = 2 Tõ ®ã chøng minh ®îc OK.OM = ON.OL Cho ®iÓm 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 ® Bµi 4: Cho ®êng trßn (O ; R) vµ ®iÓm A n»m ngoµi ®êng trßn, tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC tíi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Trªn cung nhá BC cña ®êng trßn (O ; R) lÊy ®iÓm M tuú ý ( M kh¸c B, C ), tiÕp tuyÕn qua M c¾t AB ë E, c¾t AC ë F. a) BiÕt AO = a. TÝnh chu vi tam gi¸c AEF theo a vµ R. b) §êng th¼ng BC c¾t OE vµ OF ë P vµ Q. H¹ OH  BC (H  BC). Chøng minh r»ng: Bµi 4 4 .1) 2 ®iÓm 4. 2) 4 ®iÓm PQ OH = EF R H×nh vÏ: Chøng minh ®îc chu vi AEF = 2 AB TÝnh ®îc AB = AO 2  OB 2 = a 2  R 2 (do A n»m ngoµi (O) nªn a>R) Suy ra chu vi AEF = 2 a 2  R 2 . H¹ OH  BC V× EB vµ EM lµ tiÕp tuyÕn nªn OEB = OEM = 900 - (AEF)/2 T¬ng tù ABC = ACB = 900 - (BAC))/2 Do ®ã BPE = 1800-ABC-OEB =(AEF +BAC)/2 = 900-AFE/2 = OFE . Hay OPQ = OFE 1,0 ® 1,0 ® 1,0 ® 2,0 ® Suy ra OPQ ®ång d¹ng OFE Do vËy PQ/EF = OH/OM = OH/R ( ®pcm !) së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o qu¶ng ninh Bµi 1. 1 1 5 + 1 5  9 b) B = x - 3x + 2000 víi x = 3 Bµi 3. Bµi 4. kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 9 n¨m häc 2005-2006 b¶ng A Rót gän c¸c biÓu thøc sau : a)A = Bµi 2. 1,0 ® 1 + 3 9  3  2 13 2 + ..... + 3 1 2001  3  2 2005 1 + 2005  2009 2 Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy xÐt ba ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh : (d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 = 0 T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè k ®Ó ba ®êng th¼ng ®ã ®ång quy.  x y    Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  y  z   zx   4z  1 4x  1 4y  1 Cho ®êng trßn (O;R) cã hai ®êng kÝnh AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau. §iÓm M thay ®æi trªn cung nhá BC (M kh¸c B vµ C) vµ ®iÓm N thay ®æi trªn cung nhá CD sao cho gãc MAN = gãc MAB + gãc NAD. D©y AM c¾t d©y BC t¹i E, d©y AN c¾t d©y CD t¹i F. 1) Chøng minh r»ng ta lu«n cã : - Gãc AEB = gãc AEF. - §êng th¼ng EF lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh. 2) §Æt gãc MAB = , tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AEF theo R vµ .  1   1   + 3.  b    80 víi a  3, b  3. Bµi 5. Chøng minh r»ng: 21.  a    b  a      DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ? ------------------------ HÕt ------------------------híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n to¸n líp 9 - b¶ng a. n¨m häc 2005-2006. Bµi S¬ lîc lêi gi¶i Bµi 1.a ¸p dông c«ng thøc (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), víi a= 3 1,5 vµ biÕn ®æi => x3 = 6 + 3x ®iÓm Suy ra A = 2006 Bµi 1.b 5 1 9 5 13  9 Cã A = + + +...+ 2,5 5 1 95 13  9 ®iÓm Cho ®iÓm 3  2 2 , b= 3 2005  2001 2005  2001 3  2 2 + 2009  2005 2009  2005 Rót gän, ®îc A = 2009  1 . 4 1,25 ® 0,25 1,0 ® 1,5 ® Bµi 2 3 ®iÓm Chøng minh ®îc (d2) lu«n c¾t (d1) t¹i ®iÓm M0(0 ; 1) Khi ®ã M0(0 ; 1)  (d3) <=> k = 5 VËy ba ®êng th¼ng ®ång qui <=> k = 5 1,5 ® 1,0 ® 0,5 ® Bµi 3 4 ®iÓm §iÒu kiÖn cña Èn : x, y, z  1/4. Nh©n vÕ-vÕ c¶ ba ph¬ng tr×nh víi 2 råi céng l¹i, ta ®îc ph¬ng tr×nh: 4x + 4y + 4z = 2 4 x  1 + 2 4 y  1 + 2 4 z  1 (*) BiÕn ®æi (*) <=> ( 4 x  1 -1)2 + ( 4 y  1 -1)2 + ( 4 z  1 -1)2 = 0 <=> 4 x  1 = 4 y  1 = 4 z  1 = 1 <=> x = y = z = 1/2 tháa m·n ®/kiÖn. Thö l¹i, thÊy x = y = z = 1/2 tháa m·n hÖ. VËy hÖ ®· cho cã duy nhÊt nghiÖm lµ (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2). 0,5 ® 1,5 ® 1,5 ® 0,5 ® Bµi 4 4. 1) 4 ®iÓm 4. 2) 2 ®iÓm 0,5 ® Tríc hÕt tõ gi¶ thiÕt suy ra MAN = 450. Gäi DB, c¾t AN, AM t¹i P, Q. Chøng minh ®îc: ABEP vµ ADFQ lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp => EPF = EQF = 900 => tø gi¸c PQEF néi tiÕp. Tõ ®ã ch/minh ®îc AEB = APB = AEE => AEB = AEF. KÎ AH  EF (HEF). Chøng minh ®îc AEH = AEB => AH=AB Suy ra EF lu«n tiÕp xóc víi ®êng trßn cè ®Þnh lµ (A;a) víi a =AB=R 2 . DÓ chøng minh ®îc SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD TÝnh ®îc SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R 2 . R 2 .tg = R2. tg vµ SAFD = ... = R2. tg(450-) Suy ra SAEF = R2.(tg + tg(450-)) 1,0 ® 0.75 ® 0,75 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® Chó ý: Cã thÓ tÝnh theo c¸ch kh¸c: * SAEF = (1/2).AF.EP = ... = SAEF = (R2/ 2 .cos.cos(450-)) * HoÆc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2. (1  tg ) 2  (1  tg ( 45 0   )) 2 ®Òu lµ ®¸p sè ®óng vµ còng cho ®iÓm tèi ®a. Bµi 5 3 ®iÓm 3 a . + (62.3/3) = 64 (1) a 3 a 3 Ta cã: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3  2 0,75 ® 0,5 ® DÊu b»ng x¶y ra <=> (3/a) = a/3 vµ a = 3 <=> a = 3. 21 7b . + (2.3/3) = 16 (2) b 3. b 3 L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3  2 0,75 ® 0,5 ® DÊu b»ng x¶y ra <=> (21/b) = 7b/3 vµ b = 3 <=> b = 3. Tõ (1) vµ (2) suy ra B§T cÇn chøng minh ! DÊu b»ng x¶y ra <=> a = b = 3. Bµi 5. 0,25 ® 0,25 ® C¸ch gi¶i kh¸c: Tríc hÕt chøng minh B§T: (21/b) + (3b)  16 (*) víi  b  3. Víi b  3 th× (*) <=> 3b2 - 16b + 21  0 <=> (b - 3)(3b - 7)  0. Do b  3 nªn (b - 3)  0 vµ (3b - 7)  3.3 - 7 = 2 => (b - 3)(3b - 7)  0. DÊu b»ng x¶y ra <=> b = 3 . T¬ng tù, chøng minh ®îc: 21a + (3/a)  64 víi  a  3. (<=> (a-3)(21a-1)  0). DÊu b»ng x¶y ra <=> a = 3. Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. C¸c chó ý khi chÊm: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng a, b, c tháa m·n : a3 + b3 + c3 = 2001. (Lo¹i trõ , thö => ra ®¸p sè) 2  Bµi 1. b) B = Bµi 1.b 2,5 ®iÓm 6  3 2  3 2  - 6  3 2  Nh©n c¶ tö vµ mÉu c¸c ph©n thøc víi = (2  3) 12  4  2 (2  2 3  2 3) ( 2 .(( 2  3 - 2 (3 12  = 3  1) 2 3 )(3 (2  3 2 , råi biÕn ®æi, ta ®îc: A = 3) 2 4  2 (2  3 3) 2 3  1 3  1)  ( 2  3  1)(3 3 = 3 )(3 (2  2 3  - c) T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m cã 4 nghiÖm x1, x2, x3, x4 tháa m·n 1 1 1 1    = -1. x1 x2 x3 x4 2 (1  (2  3  1)) 3  1) 3) 3 3) 2 3) 3 1 2 1,0 ® - 1,5 ® = = 7 2 13 Cho ph¬ng tr×nh x4 - (m2 + 2)x2 + 1 = 0 víi m lµ tham sè. 4 4 4 4 Gäi c¸c nghiÖm cña pt lµ x1, x2, x3, x4, h·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x1 + x 2 + x3 + x 4 Bµi 5. Chøng minh r»ng víi x  R, y  R ta cã :