Tài liệu Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 trường thpt tam quan năm 2015 - 2016

TRƯỜNG THPT TAM QUAN TỔ TOÁN Bài 1: a) Cho tan ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN K11. Năm học 2015-2016. THỜI GIAN: 150 phút (không kể thời gian phát đề). b a ba 3sin a  4 tan . Chứng minh: tan  . 2 2 2 5  3cos a 1 1 4   . 0 cos 290 3 sin 2500 3 1 7 35 c) sin 8 x  cos8 x  cos 8 x  cos 4 x  . 64 16 64 b) Chứng minh : Bài 2: a) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 2m sin x  cos x  m  1 . ( m là tham số) b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  5  2 cos 2 x.sin 2 x Bài 3 Giải các phương trình sau: a) sin6 x  3sin 2 x cos x  cos6 x  1 b) 12 cos x  5sin x  5 8  0. 12 cos x  5sin x  14 1  cot2x. tan x 1  1  6(1  sin 2 2 x ) ; 2 cos x 2 Bài 4: Tìm các giá trị  để phương trình: (cos   3sin   3)x 2  ( 3 cos   3sin   2)x  sin   cos   3  0 có nghiệm x =1.  Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 .  Hãy xác định phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v . b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình : x 2  y 2  2x  4y  4  0 .Tìm  ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5). c) HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN b a tan  tan ba a b 2 2  3t  Bài 1: a) Đặt tan = t thì tan = 4t ,do đó : tan a b 1  4t 2 2 2 2 1  tan tan 2 2 2t 3 ba 3sin a 1  t 2  3t . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.   Mặt khác : tan 1  t 2 1  4t 2 2 5  3cos a 53 1 t2 1 1 1 1    0 0 0 cos 70 sin 20 3 sin 70 3 cos 200  3  1 0 0 2 cos 20  sin 20   2 2 3 cos 200  sin 200 4sin 400 4    = = ( đpcm).  0 0 0 3 sin 20 cos 20 3 3 sin 40 3 0 sin 40 2 c) VT = (sin 4 x  cos 4 x) 2  2sin 4 x cos 4 x = (1  2sin 2 x cos 2 x) 2  2sin 4 x cos 4 x b)VT = 2 1  cos 4 x 1  1  cos 4 x    = 1  4 sin x cos x  2 sin x cos x = 1   =…. 2 8 2  1 7 35 cos8 x  cos 4 x  = 64 16 64 m  0 2 2 2 Bài 2: a) Pt có nghiệm  4m  1  (m  1)  3m  2m  0   m  2 3  1 9 1 3 2 b) 5  2 cos 2 x sin 2 x  5  sin 2 2 x   5  sin 2 2 x  5   y 5. 2 2 2 2  3 2   ymax  5 khi x  k ; ymin  khi x  k 2 2 4 6 2 6 Bài 3: a) sin x  3sin x cos x  cos x  1  (sin 2 x  cos 2 x )3  3sin 2 x cos 2 x (sin 2 x  cos 2 x )  3sin 2 x cos x  1 k  3sin 2 x cos 2 x  3sin 2 x cos x  0 giải phương trình này ta được nghiệm x  . 2 5 b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y   6  0 giải phương trình này ta được y y 5 =1vày =5. Do đó : 12 cos x  5sin x  8  0 12 cos x  5sin x  14 12 cos x  5sin x  13 (1) 12 cos x  5sin x  14  1     12 cos x  5sin x  9 (2) 12 cos x  5sin x  14  5 12 5  9 Giải (1) và (2) ta được : x      k2 ; x    arccos     k2 với cos   và sin   . 13 13  13  cos x 1  1  cot2x.tan x  1  6  3sin 2 2 x  1  6(1  sin 2 2 x )  c)ĐK: x  k ; 2 sin 2 x.sin x.cos 2 x cos x 2 2 2 2 4 4 2  5  3sin 2 2 x  3t 2  5t  2  0 (t  sin 2 2 x) 2 sin 2 x    x    k  4 2  sin 2 2x  1   cos 2 2x  0     2   x  k sin 2x  2 cos 4x   1  cos   4 2  3 3    x    k  4 2   Bài 4: x= 1 là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ta có đẳng thức 3 cos   sin   2 3 1  cos   sin   1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    k2 . 2 2 6  Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d .Khi đó M '  Tv (M)  (2; 2)  d ' . Vì d’ song song với d nên d’ có hay phương trình dạng : 2x-3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 . Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0. b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I '  Tv (I)  (1;3) và ( C’) là ảnh của ( C) qua phép tịnh  tiến theo vectơ v thì ( C’) có tâm I’ bán kính R’= 3 có pt : (x  1) 2  (y  3) 2  9