Tài liệu đề thi học sinh giỏi môn toán 9 có đáp án

Trêng THCS Lª §×nh Kiªn §Ò thi m«n : To¸n Thêi gian lµm bµi : 150 phót (Kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò) Ngêi ra ®Ò : NguyÔn §øc H÷u. Ngêi thÈm ®Þnh ®Ò : TrÞnh V¨n KiÖn §Ò bµi: Bµi 1 (4 ®iÓm): Cho biÓu thøc P  2 x 9  x  5 x 6 x  3 2 x 1  x  2 3 x a/ Rót gän biÓu thøc P. b/ T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2 (3 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng täa ®é cho ®êng th¼ng  dm  :  m  1 x   m  2  y  1 0 (m lµ tham sè) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é ®Õn ®êng th¼ng  d m  cã gi¸ trÞ lín nhÊt. X¸c ®Þnh ®êng th¼ng ®ã. Bµi 3 (5 ®iÓm) a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2  x  12 x  1 36 2 2 x  y  xy 5 b/ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  3 3 x  y 5x  15y Bµi 4 (6 ®iÓm) Cho ®êng trßn  O;R  , hai ®êng kÝnh AH vµ DE. Qua H kÎ tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) c¾t AD vµ AE kÐo dµi lÇn lît t¹i B vµ C. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BH vµ HC. a/ Chøng minh r»ng DM, EN lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña  O;R  . b/ Chøng minh trùc t©m I cña tam gi¸c AMN lµ trung ®iÓm cña OH. c/ Hai ®êng kÝnh AH vµ DE cña  O;R  ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c AMN bÐ nhÊt. Bµi 5 (2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n abc=1.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: ab bc ca P 5  5 5  5 5 5 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Bµi 1 ( 4 ®iÓm) C©u a: (2,5 ®iÓm) Híng dÉn chÊm §K X§ x 0,x 4;9 0,5 P  2 x 9  x  5 x 6 x  3 2 x 1  x  2 3 x 2 x 9  x 3  2 x  9  x 2  x  3 2 x 1  x  2 3 x  x  3  2 x 1  x 3     x 3  x 2  x2  1,0  2 x  9  x  9  2x  x  4 x  2  x 3 x 2       x  x2  x  1 x  3  x 3   x  2  x  2 x 2 x 1 x3 KÕt luËn: Víi x 0,x 4;9 th× P  0,5 x 1 x 3 0,5 C©u b: (1,5 ®iÓm) x 1 x  34 4  1  x 3 x 3 x 3 Víi x  Z , ®Ó P  Z th× x  3 ¦ (4)  1; 2; 4 Gi¶i c¸c trêng hîp t×m ®îc x=1;16;25;49 KÕt luËn: VËy c¸c gi¸ trÞ cña x lµ 1;16;25;49 Víi x 0,x 4;9 Ta cã P  0,5 0,5 0,5 Bµi 2 (3 ®iÓm) NÕu m=1 th× d(1) lµ ®êng th¼ng y=-1 nªn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn d(1) lµ 1. 0,5 NÕu m=2 th× d(d) lµ ®êng th¼ng x=1 nªn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn d(2) lµ 1. 0,5  1  NÕu m 1;2 th×  d m  c¾t trôc hoµnh t¹i A  ;0  vµ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm  m 1  1   0,5 B  0; .  m 2 Gäi OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®êng th¼ng AB. Ta cã 1 1 1 2 2    m  1  m  2     OH 2 OA 2 OB 2 0,75 2 3 1 1  2 2m  6m  5 2  m     2 2 2   OH 2 2  OH  2  max OH  2 khi m  3 2 0,5 VËy kho¶ng c¸ch lín nhÊt tõ O ®Õn  d m  lµ 2. cã ph¬ng tr×nh lµ x-y-2=0 Khi ®ã ®êng th¼ng  d m  Bµi 3 (5 ®iÓm) C©u a (2,5 ®iÓm) §KX§ x  1 §Æt t  x  1 , t 0  x t 2  1 Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh  t 2  1 t 2  12t  36 0 0,25 0,25 0,25 0,25  t 4   t 2  12t  36  0 0,5 2  t   t  6  0 4     t 2  t  6 t 2  t  6 0   t  2   t  3  0 V× t 2  t  6 0 v« nghiÖm  t 2 (v× t 0 ) Víi t=2 suy ra x=3 (t/m) KL: vËy nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ x=3 C©u b (2,5 ®iÓm) 2 2 x 2  y 2  xy 5 x  y  xy 5   3 2 2 3 x  y 5x  15y  x  y  x  xy  y 5  x  3y   0,5 0,25 0,25 0,25  x 2  y 2  xy 5  x  y x  35 x 2  y 2  xy 5  y 0 x  5 x  5 hoÆc   y 0 y 0 1,5 0,5   KL: vËy nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh lµ  x;y   5;0 ,  5;0 Bµi 4 (6 ®iÓm) C©u a (2,0 ®iÓm) Ta cã ODH OHD (V× DHO c©n t¹i O) MDH MHD (V× MDH c©n t¹i M) 0,5 Mµ OHD  MHD 90 0 0,5  ODH  MDH 90 0 MD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R) 0,5  Chøng minh t¬ng tù ta cã NE lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R) 0,5 C©u b (2,0 ®iÓm) ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH 0,5 A E O I D B  M H N C  AH 2 BH.CH 0,5 AH CH   BH AH AH CH 0,5 OH HN  2  2   BH AH BH AH  BHO AHN  c.g.c   OBH NAH Mµ NAH IMH (Cïng phô víi víi gãc ANM)  OBH IMH  OB // MI L¹i cã M lµ trung ®iÓm cña BH nªn I lµ trung ®iÓm cña OH. VËy trùc t©m I cña tam gi¸c AMN lµ trung ®iÓm cña OH. C©u c (2,0 ®iÓm) Ta cã AH.MN R S AMN  R.MN   BH  HC  2 2 R  .2 BH.HC R AH 2 R. 4R 2 2R 2 2 S AMN 2R 2  BH HC  ABC vu«ng c©n t¹i A  AH  DE VËy AH  DE th× diÖn tÝch tam gi¸c AMN nhá nhÊt Bµi 5 (2 ®iÓm) Ta cã a 5  b 5  a 3b 2  a 2 b 3 a 3  a 2  b 2   b 3  a 2  b 2  0,5 0,25 0,25 1,0 0,75 0,25 2  a 3  b 3   a 2  b 2   a  b   a 2  ab  b 2   a  b  0 víi a,b  0  a 5  b 5 a 3b 2  a 2 b 3 ab ab 1  5  3 2  2 5 2 3 a  b  ab a b  a b  ab a b  ab 2  1 abc c    1 ab  a  b  c  a  b  c T¬ng tù ta còng cã bc a (2)  b 5  c5  bc a  b  c ca b (3)  5 5 c  a  ca a  b  c Tõ (1),(2) vµ (3) Suy ra P 1 Ta cã víi a=b=c=1 th× P=1 nªn gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ 1. VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ 1. 0,5 0,5 0,5 0,5