Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 7

Trêng THCS §Þnh B×nh §Ò thi M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi : 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: §ç TuÊn Long C©u1 (3,5®iÓm) Cho biÓu thøc A = x x 3 2( x  3) x 3   x 2 x  3 x 1 3 x a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u2: (3 ®iÓm ) Cho ba ®êng th¼ng (d1) , (d2) vµ (dm) cã ph¬ng tr×nh lÇn lît lµ : (d1): x+2y = 3 (d2): 2x-y =1 (dm): 2mx +y = m + 1. a) Chøng tá khi m thay ®æi (dm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm cè ®Þnh ®ã. b) X¸c ®Þnh m ®Ó (d1) , (d2) vµ ( dm) ®ång quy. c) T×m m ®Ó (d1) , (d2) vµ (dm) c¾t nhau t¹o thµnh mét tam gi¸c vu«ng. C©u3(3 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3xy 2( x  y )  5 yz 6( y  z ) 4 zx 3( z  x)  C©u4(4 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) + =2 b) + =28- 4 C©u5(5 ®iÓm): Tõ ®iÓm C n»m ngoµi ®êng trßn t©m O,vÏ c¸c tiÕp tuyÕn CE, CF (E vµ F lµ c¸c tiÕp ®iÓm),vµ c¸t tuyÕn CMN tíi ®êng trßn.§êng th¼ng nèi C víi O c¾t ®êng trßn t¹i hai ®iÓm A vµ B.Gäi I lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF . a)Chøng minh r»ng: CM.CN = CI.CO   b) Chøng minh r»ng: AIM BIN c) MI kÐo dµi c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm D (kh¸c ®iÓm M). Chøng minh CO lµ  tia ph©n gi¸c cña MCD C©u6 (1,5 ®iÓm) : Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc d¬ng cã tæng b»ng 1 . Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 d2 1     a b b c c d d a 2 ------------------------HÕt------------------------- Häc sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu g×.  C¸n bé coi thi kh«ng giải thÝch g× thªm. Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o yªn ®Þnh Trêng thcs ®Þnh b×nh C©u kú thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2010 - 2011 §¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm M«n: To¸n Híng dÉn chÊm nµy cã 4 trang §¸p ¸n a) §KX§ : x 0 ; x 9 §iÓm 0,25® C©u1 A= x x 3 2( x  3)   ( x  1)( x  3) x 1 A= x x 3 2( x  3)( x  3) ( x  3)( x  1)   ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  3)( x  1) A= x 3 x 3 x x  3  2 x  12 x  18  x  4 x  3 ( x  1)( x  3) (3,5®iÓm) A = x x  3 x  8 x  24 = ( x  3)( x  8) = x  8 x 1 ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) x  1 9 x 1 9 9 9    x  1  x 1  2 b) A = x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9  0  ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã do x  1  0 vµ x 1 x 1  9 9 2 ( x  1). 2 9 6  A 6  2 4 x 1 x 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 4  x 1  9  ( x 1) 2 9  x 1 x  1 3  x 4(t / m) 2mx +y = m + 1  m( 2x – 1 ) +y – 1 = 0 Gäi I (x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ (dm) lu«n ®i qua. ThÕ th×: m( 2x0 -1 ) + y0 – 1 = 0 ,  m  0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,25® 0,5® 0,5® a) XÐt (dm) :  2 x 0  1 0   y 0  1 0 C©u2 (3®iÓm) 1   x   0 2   y 0 1 VËy (dm) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh I( 1 ;1) khi m thay ®æi. 2 b) Täa ®é giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh :  x  2 y 3  y 1 2 x  Gi¶i hÖ PT ta ®îc nghiÖm cña HPTlµ: (x,y)=(1;1)  giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) lµ ( 1;1) §Ó ba ®êng th¼ng (d1), (d2) vµ (dm) ®ång quy  (dm) ®i qua ®iÓm (1;1) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2)  2m+1= m+1  m=0. c) NhËn xÐt (d1) kh«ng vu«ng gãc, kh«ng trïng vµ kh«ng song song víi (d2) .  (d1), (d2),vµ (dm) c¾t nhau t¹o thµnh tam gi¸c vu«ng  (d1) hoÆc (d2) vu«ng gãc víi (dm) . 1   m  1 (  )(  2m)  1  ( d1 )  ( d m )       2   m 1  (d 2 )  (d m ) 2 (  2 m )   1 4   0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,5® 3xy 2( x  y )  Gi¶i hÖ PT : 5 yz 6( y  z ) 4 zx 3( z  x)   NÕu x=0 th× x=y=z=0 lµ mét nghiÖm cña HPT.  NÕu x 0 th× khi ®ã y 0 ; z 0, HPT ®· cho t¬ng ®¬ng víi: 0,5® C©u3 (3®iÓm) 1,5® x y 3 1 1 3   xy  x  y  2 (1) 2   1 1 1 11 y  z 5  1 1 5     (2)     (4)   y z 6 yz 6 x y z 6   zx 4 1 1 4      (3) zx 3  z x 3 LÊy PT(4) trõ lÇn lît cho c¸c PT(1), (2), (3) ta cã: 1 1 1 1 1  ; 1 ;   x=1; y=2; z=3 y 2 x z 3 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (x, y, z) = (0; 0; 0), (1; 2; 3) a) §K:  x 0  x 0  x 0     (1)  2 2  2  x  2  2  x 0 2 x 0,5® 0,5® 0,25® §Æt =y, (y ≥ 0) (2)  2- x2= y2. Do ®ã PT ®· cho t¬ng t¬ng víi hÖ: C©u4 (4®iÓm)  x 2  y 2 2  1 1  x  y 2   ( x  y ) 2  2 xy 2  x y  xy 2  0,25® §Æt s=x+y; P=x.y hÖ PT trë thµnh:  S 2  2 P 2  S 2  2 P 2     S  2  S 2 P P  S 2  2 P 2   S  2 P 0 Trõ theo tõng vÕ hai PT ta ®îc: S2- S =2  S2-S -2= 0 . PT cã a-b+c = 0  S1=-1 ; S2= =2 Suy ra : P1= ; P2=1  Thay víi S1=-1 ; P1= th× x, y lµ nghiÖm cña PT: t2+t- = 0  2t2+2t-1= 0. Gi¶i PT ta ®îc: t= . Do y≥0 nªn: x= ; y= (tháa m·n c¸c §K(1) vµ (2))  Thay víi S2=2 ; P2= 1 th× x, y lµ nghiÖm cña PT: t2-2t+1=0 . Gi¶i PT nµy ta ®îc t=1. Do ®ã: x=1; y=1(tháa m·n c¸c §K(1) vµ (2)) VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm: x= ; x=1 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® b) §K:  BiÕn ®æi PT vÒ d¹ng: 0,25® ( +4) + ( +) =28 ( +4) + ( +) =28 Víi x≥2, y≥1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng ta cã: +4 ≥ 2=2.12=24 + ≥ 2=2.2=4, Suy ra: ( +4) + ( +) ≥24+4=28 DÊu “=” x¶y ra    (tho¶ m·n§K). VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x,y) = (11; 5). 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® VÏ h×nh ®óng 0,25® E N M C C©u5 (5®iÓm) A I O a. Chøng minh hai tam gi¸c CEM vµ CNE ®ång d¹ngD =>F CE CN   CM.CN CE 2 (1) CM CE Chøng minh  CEO vu«ng t¹i E ,®êng cao EI => CI.CO = CE2 (2) B 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® Tõ (1) vµ (2) => CM.CN = CI.CO b) CM.CN CI.CO  CM CO  CI CN 0,25® Tõ ®ã chøng minh hai tam gi¸c CMI vµ CON ®ång d¹ng theo T.H (cgc) 0,25®   => CIM => Tø gi¸c MNOI néi tiÕp CNO    => MNO (cïng bï víi MIO ) AIM 0,25®   (2gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung NO) OMN BIN   (Tam gi¸c MNO c©n t¹i O) => MNO OMN 0,25®   AIM BIN 0,25® c) C/M: Hai tam gi¸c MIE va FID ®ång d¹ng => IM.ID =IE.IF Tam gi¸c CEO vu«ng t¹i E (c©u a) => IC.IO = IE2 = IE.IF => IM.ID = IC.IO => MI IO  IC ID Tõ ®ã chøng minh : MIC OID(c.g.c) => 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25®     hay OCM ICM IDO ODM 0,25®   => OCD (2 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung OMD OD)   (2 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung OCM ODM OM)   ( Tam gi¸c OMD c©n t¹i O) ODM OMD    => OCD => CO lµ tia ph©n gi¸c cña MCD OCM 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® => Tø gi¸c CMOD néi tiÕp ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : T¬ng tù : C©u6 (1,5®iÓm) a2 a b a2 a b  2 . a a b 4 a b 4 b2 b c  b b c 4 c2 cd  c cd 4 d2 d a  d d a 4 0,25® 0,5® Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : a b c  d a2 b2 c2 d2 a  b  c  d     2 a b b c c d d a 1 a2 b2 c2 d2     2 a b b c c d d  a ---------------- Hết ---------------- 0,5® 0,25®