Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 6

trêng thcs yªn trung ®Ò thi häc sinh giái líp 9 m«n : to¸n Thêi gian : 150 phót Gi¸o viªn ra ®Ò : TrÞnh ThÞ Giang Thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò : NguyÔn H÷u Dòng ®Ò bµi : C©u 1 : (4®) 1  Cho biÓu thøc A =   x 1  2 x 2    :  x  x  1   x x 1 x1  2   x  1  a. Rót gän A. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. C©u 2 : (2,5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  3  4 x  1 + x  8  6 x  1 =1 C©u 3 : (2,5®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : C©u 4 (4®) a. T×m cÆp sè tù nhiªn (x;y) tho· m·n hÖ thøc : x2 + y2 = x + y + 8. b. Cho ba sè thùc d¬ng x ; y ; z tho· m·n : x + y + z = 2  x 1      x  y 7 y 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x2 y2 z2   yz zx xy C©u 5 : (2®) Chøng minh r»ng cã duy nhÊt bé sè thùc ( x; y; z ) thâa m·n ®iÒu kiÖn : 1 x  2008  y  2009  z  2010  3012  ( x  y  z ) 2 C©u 6 : (5®) Tõ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®êng trßn ( O; R) vÏ hai tiÕp tuyÕn MA; MB vµ c¸t tuyÕn MCD . Gäi I lµ trung ®iÓm CD. Gäi E ; F ; K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AB víi MO; MD; OI. a. Chøng minh : R2 = OE. OM = OI . OK. b. Chøng minh r»ng 5 ®iÓm : M; A; B; O; I cïng n»m trªn mét ®êng trßn. c. Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD h·y chøng minh :  DEC = 2  DBC . HÕt. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm C©u Néi dung C©u 1  1   1 2 x 2 2  (4 ®) a) A=  x  1  x x  x  x  1  :  x  1  x  1    §iÒu kiÖn : x 0; x 1 A= =     1     x 1 1 x 1   2( x  1)    :  x ( x  1)  ( x  1)      :  ( x  1)( x  1)   2( x  1) 1 x1 1 x1   2   x  1  §iÓm 2   x  1  0,5 ® 0,5® x 1   x 1 2 x1 2( x  1) 2 : :  x1 2   x  1   0,5® x 1  2 x  1 x 1   x  1 2 1    :  ( x  1)( x  1)    x 1  2 = = 1     =   x1 x  1 x 1  0,5® =  x1 ( x  1) 2 .   x1  x 1 0,5® x1 x 1 = 0,5® x 1 VËy x 1 A= x 1 b) Ta cã A = x 0  V× x1 = x 1 x 1  2 x 1 2 x  1 1  x 1 2 =1  2 0,5® x 1 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=0 0,5®  A  1 Min A=-1 ®¹t ®îc khi x=0 C©u 2 ph¬ng Tr×nh : x  3  4 x  1  x  8  (2,5 §iÒu kiÖn : x 1 ®) pt (1)  x  3  4 x  1  4  x  8  6    x 1 2  2   x 1 2  x 1 3  2 6 x  1 1  1 0,5® x  1  3 1  x  1 2 3 x  1 0  x  1 2  3 HÖ Pt  x 1      x  y 7 §iÒu kiÖn §Æt y 0,25® 0,25® x 1 =1 0,25® 0,5® 0,5® 4  x  1   y 0  a    b  x  1 1 2  x  1 3  4  x  1 9  4  x  1 9  5  x 10 VËy nghiÖm cña pt lµ: 5 x 10 C©u 3: (2,5 ®) 0,25® x  1  9 1 ¸p dông tÝnh chÊt a  b  a  b DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a.b 0 Ta cã x  1  2  3  x  1  x  1  2  3  DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi  (1) ; x  1 0 y 0 a  b 4   2 2 2 a  b 8  a  b   2ab 8 a  b 4 Ta cã hÖ   a  b  4 a  b  4 a  2   2     a.b 4 b 2 4  2ab 8 Víi VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) = (3; 4) 0,25® 0,5® 0,5® a 2  x  1 2  x  1 4  x 3     b 2  y 2  y 4  y 4 0,5® 0,5® 0,25® C©u 4 (4®) a) (2®) - (x, y)  N ta cã x 2  y 2 x  y  8 0,5®  4 x 2  4 y 2 4 x  4 y  32      4 x 2  4 x  1  4 y 2  4 y  1 34 2 2  2 x  1   2 y  1  2 x  1 2   2 y  1 2 Do ®ã : -Víi 2 x  1 3  2 y  1 5 34 0,5® 3 2  5 2 2 x  1 5  2 y  1 3 HoÆc 2 x  1 3  2 y  1 5  2 x  1 5  2 y  1 3  x 2   y 3  x 3   y 2 - Víi VËy cÆp sè tù nhiªn (x,y) tho· m·n bµi to¸n lµ (2,3) ; (3,2)  0,5® 0,5® b) x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng tho· m·n : x + y + z = 2 Theo C« Si ta cã: x2 yz x2 y  z  2 . x yz 4 yx 4 y2 xz y2 x  z  2 . y xz 4 xz 4 z2 x y z2 x  y  2 . z xy 4 xy 4 Céng vÕ víi vÕ cña c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : x2 y2 z2 xyz    x  y  z yz xz x y 2 0,25 0,25 2  2 2 x y z x yz 2     1 yz xz xy 2 2 0,25  A 1 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi :            y x 2  y 2 x  z 2 x  z z y    y x  4  4 x  4 z z y 0,25 2  x  y z  3 VËy Min A = 1 ®¹t ®îc khi x  y z  2 3 0,5 0,25 0,5 0,25 C©u 5 2® x  2008  y  2009  z  2010  3012  §iÒu kiÖn  x   y  z   2008  2009  2010 1  x  y  z 2 0,25 x  2008  y  2009  z  2010  3012  Ph¬ng tr×nh 1  x  y  z 2  2 x  2008  2 y  2009  2 z  2010  6024  x  y  z           x  2008  2 x  2008  1  y  2009  2 y  2009  1  z  2010  2 z  2010  1 0  x  2008  1         x y z 2      2   y  2009  1 2 008  2 00 9 20 10   1 1 1  z  2010  1 0 0 0 2 0  x 2009    y 2010  z 2011  VËy tån t¹i duy nhÊt cÆp sè (x,y,z)= (2009;2010;2011) tho· m·n bµi to¸n 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 K A C F M I E C©u 6 5® D 0,25 O B a. Ta cã : IC = ID => OI  CD ; OM  AB => ∆OIM  ∆OEK => OI OM  OE OK => OI . OK = OE . OM (1) Ta l¹i cã : ∆ OMA vu«ng t¹i A nªn : OA2 = OE . OM = R2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : R2 = OI . OK = OE . OM b.Ta cã : = = = 1v  5 ®iÓm M; A; B; I; O cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh MO. d. ∆MAO vu«ng t¹i A nªn ta cã : MA2 = ME. MO Ta l¹i cã MA2= MC.MD  ME.MO  MC.MD MC MO   ME MD  MCE ~ MOD (c-g-c) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 0,5 ˆD  MEˆ C  MO 0,5 0,5 + = + =2V  OECD néi tiÕp = ( Cïng ch¾n ) Mµ = = 0,5 0,5