Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 4

Trường THCS Yên Thọ Đề thi môn: Toán Thời gian: 150 phút GV ra đề: Phạm Thị Thanh GV thẩm định đề: Lê Thị Hoà I. Đề bài Câu 1(4 điểm) Cho biểu thức 2 x 9 A= x 5 x 6 x 3   x 2 2 x 1 3 x Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A a) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Câu 2: (5 điểm) a) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất x2 x 1  x m x 1 b) Tìm giá trị của n để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất nx + 2y = n+1 2x + ny = 2n -1 Câu 3: (3 điểm) Tìm các số nguyên dương:a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện: a bc = a - b + c 1 a và + 1 b + 1 c =1 Câu 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn(O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD b) Cho AB = 8 cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28 cm, khi đó tính diện tích của phần tứ giác ngoài (O). Câu 5: (2điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và 2 lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. II. Hướng dẫn chấm Câu 1: (4điểm) a) Điều kiện x  0; x  4 ; x  9 2 x 9 A = = = = = - x 5 x 6 2 x 9 x 3 x 2   x 3 x 2 x 3 x 2 - 2 x 1 + 2 x 1 3 3 0,5đ 0,25đ x 0,25đ x 2 x  9  ( x  3)  (2 x  1)( x  2) 0,25đ ( x  3)( x  2) 2 x  9  x  9  2x  x 4 x 2 0,25đ ( x  3)( x  2) x x 2 ( x  3)( x  2) b)Ta có A = x 1 x 3 = = ( x  1)( x  2) ( x  3)( x  2 x  34 x 3 = 1+ = 4 x 3 x 1 x 3 0,5đ 0,5đ Để A  Z thì x  3  ư (4) ư(4) =   4; 2; 1;1;2;4 0,25đ Lập bảng: -4 x Loại x={1; 16;25;49} thì A  Z -2 -1 1 4(loại) 0,5đ x 3 Câu 5: (5 điểm) a, Điều kiện x  m; x 1 x2 x 1   x  2 x  1  x  1 x  m  Khi đó = x m 1 16 2 25 4 49 0,25đ Vậy với 0,5đ 0,25đ x 1  x 2  x  2 = x 2  mx  x  m  mx 2  m 0,25đ Vậy phương trình trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 0 m   m  x  x  1  m  m m   m 0  m  2   m  m  2   m   1 0 m  2 m  2 m 2  m m  1,5đ 0  1   m 2 b,Hệ phương trình: nx  2 y n 11  2 x  ny  2n  1 2  Từ 1 suy ra y 1  n  1  nx  2 1  n  1  nx  2n  1 2 4 x  n 2 x  n 3n  2 4  n 2 x  n 2  3n  2 Thay vào  2  ta được:   2x  n 0,25đ  0,25đ 0,25đ  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi: 4  Khi đó: 0,5đ n 2 0  n  2 n  1 3   x  n  2 1  n  2   2 n  1 3 y  2   n  2 n  2  x,y nguyên khi ( n  2 )  ư (3)={ 1; -1; 3;-3 }  n {-1; -3; 1;-5} Câu 3: (3 điểm) Có a  b  c  a    0,5đ 0,5đ b c a  bc  b  a  c a  b  c  2 b a  b c   b a  c  2 ac  b a  b  c   ac   a  b  b  c  0  a b    b c 0,25đ 0,25đ 0,25đ Nếu a=b và a,c dương. Ta có: 1 1 1 2 1   1   1 a b c a c  2c  a ac   a  2 c  1 2 0,5đ 0,25đ 0  Vì a ,b ,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: 0,25đ a  2  2 a  4 b    c  1 1 c 2 Trường hợp 2: Nếu b=c va b, c dương. Ta có: 0,25đ a  2 1  a c 3 b  c  1  2 1 1 1 1 2   1   1 a b c a b  2a  b ab   b  2 a  1 2 0,25đ Vì a ,b ,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: 0,25đ b  2  2  a b 3 c  a  1 1 Trường hợp 2: 0,25đ b  2 1 b 4 c    a  1  2 a  2 Vậy, các cặp số nguyên dương(a; b;c) thoả mãn là: (3; 3; 3) và (2; 4; 4) và (4; 4; 2) 0,5đ Câu 4: (6 điểm) a) ∆OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác của hai góc kề bù), 0,5đ I là trung điểm của CD 0,5đ thì IO=IC=ID và IO vuông góc với AB tại O, 0,5đ y nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD 0,5đ b) Đặt AC= x(cm) và BD= y(cm) x I M D CABCD = AB+2(AC+BD) = 28  x+y = 10 0,5đ Mặt khác, OM = MC.MD Giải hệ:  xy=16 y 10 x    xy 16 C 0,5đ 0,5đ A B ta được hoặc O 0,5đ Vậy, C cách A một đoạn AC= 2cm và BD= 8cm hoặc AC= 8cm và BD= 2cm 0,5đ Cả hai trường hợp trên hình thang vuông ABCD có cùng diện tích: S1=40 cm 2 0,5đ Diện tích nửa hình tròn (O): S2= 8π cm 2 0,5đ Vậy, phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngoài đường tròn: S= S1- S2= 40- 8π ( cm 2 ) 0,5đ  x 2   y 8  x 8   y 2 Câu 5: (2 điểm) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài cạnh huyền và hai cạnh góc vuông của tam giác vuông Khi đó, a, b, c  N và a 5; b  3; c 3 Ta có hệ phương trình a 2 b 2  c 2 1  bc 3 a  b  c  2  (1) 0,25đ 2 2 a 2 b 2  c 2  b  c   2bc  b  c   6 a  b  c  2  a 2  6a  9  b  c   6 b  c   9 2   a  3  b  c  3 0,25đ 2  a  3 b  c  3  a b  c  6 Vì a 5  b+c 9 (2) 0,25đ bc 3 a  b  c  3 b  c  6  b  c  3 2b  2c  6    b  6 c  6  18 Nên ta có các trường hợp sau: Nếu b  6 1 và c  6 8 thì b = 7, c =24 và a =25 Nếu b  6 2 và c  6 9 thì b = 8, c =15 và a =17 Nếu b  6 3 và c  6 6 thì b = 9, c =12 và a =15 Hết 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ