Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 3

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o Trêng THCS Yªn Hïng §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: NguyÔn Xu©n Hïng. Ngêi thÈm ®Þnh ®Ò: NguyÔn Xu©n Niªn II. Ma trËn ®Ò: Chñ ®Ò NhËn biÕt TNKQ TL C¨n bËc 1 hai,biÕn ®æi biÓu thøc,PT v« tØ,hÖ PT Hµm sè, 2 BÊt ®¼ng thøc. §êng trßn Th«ng hiÓu TNKQ TL VËn dông TNKQ TL 3 2 4 4 1 2 1 2 2 3 3 4 6 4 2 2 4 Tæng Tæng 6 3 4 5 6 8 11 10 20 §Ò bµi: C©u 1. (4®) Cho biÓu thøc: A x2 x x1  x 1 x x 1  1 x1 1. T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa. H·y rót gän A 2. TÝnh A khi x 33  8 2 3. Chøng minh r»ng: A  1 3 C©u2(2 ®) Cho c¸c ®êng th¼ng (d1): y = mx -5 (d2): y = -3x +1 a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d1) vµ (d2) khi m = 3 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó M(3; -8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) C©u 3. (4®) a) 1+ 3 x  16 3 x  3 b)  x    y    z    y z x    4 z  1 4 x  1 4 y  1 C©u 4: (6 ®) Cho hai ®êng trßn cã chung t©m lµ ®iÓm O vµ cã b¸n kÝnh lÇn lît lµ R vµ R . Tõ 2 mét ®iÓm A c¸ch t©m O Mét ®o¹n OA = 2R, ta kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC ®Õn ®êng trßn (O ; R). Gäi D lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AO víi ®êng trßn (O; R) vµ ®iÓm O thuéc ®o¹n th¼ng AD. a) Chøng minh ®êng th¼ng BC tiÕp xóc víi ®êng trßn (O ; R ) 2 b) Chøng minh tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu Chøng minh r»ng ®êng trßn (O ; R ) néi tiÕp trong tam gi¸c BDC 2 C©u 5. (2®) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn  O  , ®iÓm M thuéc cung BC kh«ng chøa A . Gäi MH , MI , MK theo thø tù lµ c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn BC , AB, AC . Chøng minh r»ng BC  AB  AC MH MI MK C©u6 (2 ®): Cho x> 0; y>0 vµ x+y 6 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 12 16 P = 5x + 3y + x  y §¸p ¸n –thang ®iÓm. Bµi 1. (4®)  x 0  x 0     x 1  x  1 0 1. (2®) A cã nghÜa khi vµ chØ khi * Rót gän A = = x2 x x  1 x x2     A x 1          3 x  x 1  2  0, 2 x (0,5®) x 4 2  1  (0,75®) x 1 4 21 (0,5®) 33  4 2 x hay x1 x1 (0,5®) x  3 x  x  (0,25®) x1  x 33  8 2  4 2  1 1 1  A 0 3 3 x  1  0; x 1  33  8 2  4 2  1  1  x 1   x  1  x  1  x  1 x  x  1 x  x x  1 x A x1 x 1   4 21 3.(1®) Ta cã V× 3 x   1  x 1 x  1  x  x 1 x  1 x  x 1 x 2.(1®) Theo gi¶ thiÕt Do ®ã  x 1  x  1 x x2 = x 1  (0,5®) x x 1  x2 x  1   3 x  x 1 v×  1 0 3     (0,25®)  x1 2   0 , ®óng 3 x  x 1 (0,5®) x 1 KÕt luËn: Víi 0 x 1 th× A  1 3 C©u2: a. Víi m 3 , ta cã (d1): y 3x  5 (0,25 ®) Gäi A( x, y ), hoµnh ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3 x  5  3 x  1  6 x 6  x 1 Thay x 1 vµo (0,5®) (d2); y 3.1  5   2 VËy A(1;-2) (0,25) b. V× M(3;-8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) tøc M(3;-8) thuéc ®êng th¼ng (d1): Thay x 3; y  8 ta cã: (0,5 ®) 3m  5  8  3m 3 m  1 VËy víi m  1 C©u 3 a. §Æt 3 (0,5 ®) th× M(3;-8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) x  3 a; 3 x  16 b (1)  a  b  x  3  x  16 19 Vµ 1  b a hay a  b 1 (2) 2 2 2 Tõ (1) vµ (2):  a  b  a  ab  b  19  a  ab  b 2 19 3 3 (0,25®) (0,5 ®) y mx  5 (0,5 ®)  a 2  a  6 0 (thay b a  1 )  a 3 hoÆc a  2 Víi a 3 ta cã: 3 x  3 3  x  3 27  x 24 Víi a  2 ta cã: 3 x  3  2  x  3 8  x  11 b. Ta cã x  y    y  z   z  x   4z  1 4x  1  4 y  1 2 x  2 y  2   2 y  2 z 2  2 z  2 x 2  4z  1 4x  1 4y  1 (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5®) Céng theo tõng vÕ ba pt cña hÖ trªn vµ biÕn ®æi ta ®îc: 4 x  2 4 x  1  4 y  2 4 y  1  4 z  2 4 z  1 0  4 x  1  2 4 x  1  1  4 y  1  2 4 y  1  1  4 z  1             4x  1  1 4x  4y  4z  1  1  1  2   1 0 1 0  1 0  4y  1  1        4x  4y  4z  2  1 1 1 1  1 1   4z  1  1 4 x  1 1  4 y  1 1  4 z  1 1 2  (0,25®) (0,25®) (0,25®)  2 4 z  1  1 0 0 4 x  4 y  4 z 2 2 2    x    y   z    (tm®k) 1 2 1 2 1 2   1 1 1 KL: HÖ pt cã nghiÖm duy nhÊt  x; y; z   ; ;  (0,5®) (0,25®)  2 2 2 C©u 4: a. ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng vµo tam gi¸c OBA, ta cã; OB2 =OE.OA => OE= OB 2 OA (0,5 ®) 2  R R  2R 2 (0,5 ®) VËy ®iÓm E n»m trªn ®êng trßn (O; R ) (0,5 ®) 2 MÆt kh¸c ta cã: OE BC=> BC tiÕp xóc víi ®êng trßn (O; R ) t¹i ®iÓm E (0,5 ®) 2 b. Trong tam gi¸c vu«ng ABO, ta cã (0,5 ®) AB 2 OA 2  OB 2 4 R 2  R 2 3R 2 (0,5 ®)  AB R 3 Trong tam gi¸c vu«ng BEO, ta cã: 2 3R 2  R EB 2 OB 2  OE 2  R 2     4  2  EB  (0,5 ®) R 3 2 Tõ ®©y ta cã: BC=AB=AC= R 3  Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu (0,5 ®) Tõ gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm nªn nã lµ h×nh thoi (0,25 ®) => AB=BD=CD=> BD=DC=CB=> Tam gi¸c BCD ®Òu (0,25 ®) c. Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu: OE= 1 ED nªn O lµ träng t©m cña tam gi¸c ®Òu (0,5 ®) 3 => OE=OF=OI= R => ®êng trßn (O; Bµi 5. (2®) Gi¶ sö AC  AB . 2 R 2 (0,5 ®) ) néi tiÕp trong tam gi¸c BCD (0,5 ®) Ta cã AB AC AI  BI AK  KC AI AK      MI MK MI MK MI MK (1) (0,5®) (V× MBI MCK  cot gMBI cot gMCK  BI KC  MI MK Do MAB MCB (cïng ch¾n cung MB ) nªn (0,25®) Suy ra AI  CH (2) MI MH Do MAC MBC (cïng ch¾n cung MC ) nªn (0,25®) Suy ra AK  BH (3) MK (0,25®) ) cot gMAB cot gMCB , (0,25®) cot gMAC cot gMBC , (0,25®) MH Tõ (1), (2), (3) suy ra AB AC CH BH BC     MI MK MH MH MH (0,25®) C©u 5: 12   16  12 16  P 2 x  y    3x     y   12  2 3x.  2 y. x   y x y  (¸p dông B§T Cosi) (0,5 ®) (0,5 ®) 12  12  8 32 16 DÊu “=” x¶y ra  3x 12 vµ y  y x  x 2 vµ y 4 VËy min P= 32 khi vµ chØ khi x 2; y 4 (0,5 ®) (0,5 ®)