Mô tả:
Trêng THCS Quý Léc: N¨m häc 2010 – 2011
®Ò thi häc sinh giái m«n to¸n 9
Thêi gian: 150 phót.
Ngêi ra ®Ò: TrÇn V¨n Thanh
Ngêi thÈm ®Þnh: Lª TiÕn Long
C©u 1: (1®) Cho biÓu thøc:
A=
1
x
y
3 xy
x x y y
1
x
y
3 xy
x y
:
x x y y x xy y
1. T×m ®iÒu kiÖn x, y ®Ó A cã nghÜa.
2. Rót gän A.
1
3. Khi x = y . Chøng minh r»ng 0 < A 1
C©u 2: (4®) Cho ®êng th¼ng (d) y = mx – m +2 vµ parabol (P): y = x2
1. Chøng minh (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña m.
2. Chøng minh (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm víi mäi gi¸ cña m.
3. Gäi x1, x2 lµ hoµnh ®é giao giao ®iÓm cña (d) vµ (P). H·y t×m GTNN vµ GTLN cña biÓu
thøc
A=
2 x1 x 2 5
x x 22 2( x1 x 2 1)
2
1
C©u 3: (4®) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O). Hai ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau ë
E, hai ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i F.
Chøng minh r»ng : EA.ED + FA.FB = EF2.
C©u 4: (6®) Cho nöa ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa
®êng trßn, vÏ hai tiÕp tuyÕn Ax, By cña nöa ®êng trßn. Trªn Ax lÊy ®iÓm C, trªn By lµ ®iÓm D
sao cho: AC + BD = CD.
a) Chøng minh r»ng: CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O), vµ AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng
kÝnh CD.
b) T×m vÞ trÝ cña C trªn Ax ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c ABCD nhá nhÊt.
C©u 5: (2®) Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
x2 + 3y2 + 4xy + 2x +4y – 9 = 0
Híng dÉn chÊm
C©u 1:
1. §K:
x 0; y 0; x y
1
2. Rót gän ®îc: A = x xy y
3. Tõ x =
1
y
y = 1 thay vµo A ta ®îc:
(0,5®)
(2®)
A=
y > 0 (x.y = 1
y
2
y 1
y
y
y y 1
(0,5®)
2
y 0, x 0)
1
2
2
MÆt kh¸c: 1 – A = 1 -
3
4
0
A
(0,5®)
0
y
( y 1) 2
y 2 2 y 1
0
= 2
= 2
y y 1
y y 1
y y 1
2
(DÊu “=” khi y = x = 1)
1 – A 0 A 1
VËy 0 < A 1
C©u 2:
1. Gäi (x0, y0) lµ täa ®é ®iÓm cè ®Þnh. Tøc lµ:
y0 = mxo – m + 2 cã nghiÖm, m
m(x0 – 1) – y0 + 2 = 0
m
x 0 1 0
x 1
0
y 0 2 0
y 0 2
VËy (d) lu«n ®I qua ®iÓm cè ®Þnh A(1;2) víi mäi gi¸ trÞ cña m.
2. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
x2 = mx – m + 2 x2 – mx + m -2 = 0
(1)
2
Ta cã:
= m – 4(m – 2)
= m2 – 4m + 8
= m2 – 4m + 8
= m2- 4m + 4 + 4
= (m – 2)2 + 4 > 0 m m 2 2 0
VËy pt (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
C©u 2: Ta cã x1, x2 lµ hai nghiÖm cña (1)
Mµ (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m
Theo Vi – Ðt ta cã:
A
(1®)
(1®)
x1 x 2 m
x1 x 2 m 2
2 x1 x 2 5
2 x1 x 2 5
2m 1
A
2
2
2
x x 2 2( x1 x 2 1)
( x1 x 2 ) 2 m 2
(1®)
2
1
Am2- 2m + 2A – 1 = 0
(2)
1
2
NÕu A = 0 m =
NÕu A 0 pt (2) cã nghiÖm m
’ = 1 – A(2A – 1) 0
1 + A – 2A2 0
(1 – A)(1+2A) 0
1
A 1
2
A = 1 thay
2
vµo ’ vµ (2) m = -2
A = 1 thay vµo ’ vµ (2) m = 1
VËy GTNN cña A = 1 khi m = -2
2
GTNN cña A = 1 khi m = 1
C©u 3:
*VÏ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC , c¾t EF t¹i ®iÓm M
*DÔ dµng chøng minh ®îc: FA.FB = FM.FE
(1)
1®
(2®
E
A
c1
D
B
M
C
F
Ta cã: EDF ABE ( Cïng bï ABC )
1
ABE AME (cïng = SdAE )
2
Suy ra: EDF AME
XÐt EAM vµ EFD cã: E chung, EDF AME
Do ®ã: EAM ~ EFD (g.g)
Suy ra:
EA EM
EA.ED EM .EF
EF
ED
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
C©u 4:
(2)
FA.FB + EA.ED = EF(FM + EM) = EF.EF = EF2 (®pcm) (2 ®)
* KÐo dµi DE c¾t tia ®èi cña tia Ax t¹i K.
* KÎ OM CD ( m CD)
1) Chøng minh OAD = OAK
CKD c©n t¹i C
( AC + BD = CD AC + AK = CD CK = CD)
CO KD ; ( trung tuyÕn lµ ®êng cao, ®êng ph©n gi¸c)
2. Chøng minh AOC = MOC ( c¹nh huyÒn, gãc nhän)
AB
AB
)
OM = OA =
CD lµ tiÕp tuyÕn ( O ;
2
2
3. LÊy N lµ trung ®iÓm cña CD.
xÐt tø gi¸c ABCD cã AC // BD ( cïng vu«ng gãc AB)
(1,5®)
(2®)
mÆt kh¸c OA = OB; NC = ND ON lµ ®êng trung b×nh cña tø gi¸c ABDC
CD
)
ON = (AC + BD) : 2 = CD : 2 O (N;
2
MÆt kh¸c ON = AC ON AB
AC BD AB AB.CD
4. Ta cã SABDC =
2
2
SABDC nhá nhÊt CD nhá nhÊt.
Mµ CD AD CD = AB ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt.
AB
. VËy C Ax sao cho AC = AB . VËy C Ax sao cho AC =
AC = BD =
2
2
SABDC nhá nhÊt.
C©u5: ViÕt lµ ph¬ng
x2 + 2(2y + 1)x + 3y2 + 4y – 9 = 0
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi vµ chØ khi:
’ = (2y + 1) 2 – (3y2 + 4y – 9) = v2 (v nguyªn)
y2 + 10 = v2
(2)
V× v, y cïng tÝnh ch½n, lÎ.
§Æt v = y + 2u, thay vµo (2) ta ®îc.
2(u2 + u) = 5
(3)
Ta thÊy hai vÕ cña (3) kh¸c tÝnh ch½n, lÎ (3) v« nghiÖm (1) v« nghiÖm.
Chó ý: - HS kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh ®ã.
- HS lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
AB
2
(1)
- Xem thêm -
.DOC 
4 
26 
64 
