Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 26

Trêng: THCS Yªn Phong §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: Vò ThÞ Mü Hßa. §Ò bµi:  x y x y  x  y  2xy  P   Bài I: (4 điểm) Cho biÓu thøc: .   :  1  1  xy  1  xy    1  xy a) Rót gän thức P. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña P Bài II: (4 điểm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx  y 2m   x  my m  1 a) X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. b) Khi hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x;y). T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x;y ®éc lËp víi m. c) Tìm m  Z đÓ x, y  Z d) Chứng tỏ (x,y) lu«n năm trªn mét đương thăng cè định Bµi III (4 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x  2  3 2 x  5  x  2  2 x  5 2 2 b) x  x 2  x  x 2 x  1 Bài IV: ( 6 §iÓm) 1. H×nh chữ nhật ABCD cã M, N lần lượt là trung điểm c¸c cạnh AB, CD. Trªn tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đương thăng qua O song song vơi AB cắt QM tại H. a. Chứng minh HM = HN. b. Chứng minh MN là ph©n gi¸c của gãc QMP. 2. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m A, b¸n kÝnh R víi R nhá h¬n AH. Tõ B vÏ tiÕp tuyÕn BM víi ®êng trßn (A;R) víi M lµ tiÕp ®iÓm. §êng th¼ng HM c¾t ®êng trßn (A:R) t¹i ®iÓm thø hai lµ N. a) Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC vµ MAN ®ång d¹ng víi nhau. b) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng CN lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A;R) Bµi V: ( 2 ®iÓm) Cho x,y,z lµ 3 sè thùc d¬ng tho¶ m·n x+y+z=2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A x2 y2 z2   yz zx x y Híng dÉn chÊm Bà §¸p ¸n i I §KX§: x 0; y 0; xy 1. a) §iÓm 0,5 P   b) II a) b) c) ( x  y)(1  xy)  ( x  1  xy y)(1  xy) 1  xy  x  y  2xy : 1  xy x x y  y y x  x  x y  1  xy yy x . 1  xy 1  x  y  xy 2( x  y x) 2 x (1  y) 2 x   (1  x)(1  y) (1  x)(1  y) 1  x (1) mx  y 2m  (m 2  1) x 2m 2  m  1  (2)  x  my m  1 (m  1)(m  1) x (2m  1)( m  1) (3) Vơi m ± 1 thi hÖ pt có nghiÖm duy m 1 m 1 §Ó x, y  Z th× Suy ra m+1 lµ íc cña 1  m=0;m=-2 m = 0  x = 1; y = 0 m = - 2  x = 3; y = 2 Tõ c©u 2 ta cã (x;y) thuéc ®êng th¼ng x-y=1 cè ®Þnh. d) III. 5 §K: pt ®· cho t¬ng ®¬ng víÝ x  a) 2  2 x  5  3  2 x  5  1 4  2x  5 5  x 7 2 5 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 7 2 2  x  x 0 §K  2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho 2 sè kh«ng ©m ta cã  x  x 0 x  x 2 1 x  x 2 1 x  x2  x  x2   x 1 2 2  b) 2 x  5  3 3  2 x  5  3 0  2 x  5 3  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2 x  4  6 2 x  5  2 x  4  2 2 x  5 4 ( 2 x  5  3) 2  ( 2 x  5  1) 2 4 0,5 1,0 0,5 1 z m 1  0,5 0,5 nhÊt Trõ vÕ víi vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho ph¬ng tr×nh (2) ta cã (m-1)x- (m-1)y=m-1 V× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt nªn m 1 nªn ta cã x-y=1 lµ hÖ thøc gi÷a x vµ y ®éc lËp víi m. 2m  1 1 m 1 x 2  (4) ; y 1  (5) m 1 0,5 0,5 VËy víi x 0; y 0; xy 1 th× P= 2 x 1 x DÔ thÊy x 0 nªn P 0 víi mäi x 0 , P=0 khi x=0. Vµ 1+x- 2 x = (1  x )2 0 víi mäi x 0 hay 1+x 2 x víi mäi x 0 Hay P 1 víi mäi x 0 , P=1 khi x=1. VËy mon P=0 ®¹t ®îc khi x=0; maxP=1 ®¹t ®îc khi x=1 m 1 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 2  x  x 1 ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi  2  x  x 1 HÖ v« nghiÖm nªn ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. IV. Chứng tỏ MBND là hình bình hành  O là trung điểm của MN. 1a) - OH // AB  OH  MN. 0,75 - HMN cân tại H (Trung tuyến vừa là đương cao)  HM = HN. 1b) - OH // BM được: - ON // BP được:  HQ NQ  HM NP HQ OQ  HM OB OQ NQ  OB NP A M H  NH//PM B O Q   HNM =  NMP   HMN =  NMP  MN là phân giác của góc QMP C D 1,25 N P 2a) Tø gi¸c AMBH lµ tø gi¸c néi tiÕp nªn 1,0  AMN=  ABC L¹i cã  AMN c©n ®Ønh A,  ABC c©n ®Ønh A nªn ta cã ®iÒu ph¶i c/m 2b) Theo chøng minh trªn  AMN vµ  ABC ®ång d¹ng nªn  ANM=  ACB mµ  ANM+  ANH=1800 nªn  ACB+  ANH=1800 A Suy ra tø gi¸c ANHC lµ tø gi¸c néi tiÕp. M 0 0 L¹i cã  AHC=90 nªn  ANH=90 hay CN  AN nªn CN lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A;R) N B V ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã x2 yz x2 y  z x2 yz  2 .  x  yz 4 yz 4 yz 4 y2 z  x z2 x y y  ; z  zx 4 x y 4 x yz Do ®ã A  1 . ®¼ng thøc x¶y ra khi x=y=z=2/3. 2 T¬ng tù VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 1 ®¹t ®îc khi x=y=z=2/3 H C 1,0