Tài liệu đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án 25

Trêng THCS Yªn Ninh §Ò thi m«n : To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ngêi ra ®Ò: TrÞnh ThÞ Ên Thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: TrÇn V¨n Hïng §Ò thi Bµi 1( 3 ®iÓm). Cho biÓu thøc:  a2 a 1  a1 A    . Víi a  0; a 1  : 2  a a  1 a  a 1 1  a  a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng 0 < A < 2. Bµi 2( 4 ®iÓm) Cho ba ®êng th¼ng: x  y 1 (d1 ); x  y 1 (d 2 ) (k  1) x  (k  1) y k  1; k 1 (d 3 ) 1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó: a) ( d1 ) vµ (d3 ) vu«ng gãc víi nhau b) Ba ®êng th¼ng (d1 ); (d 2 ); (d 3 ) ®ång quy t¹i mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é. 2)Chøng minh r»ng khi k thay ®æi th× ®êng th¼ng (d3 ) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy. Bµi 3 ( 3 ®iÓm);  x  ay 1 ax  y 2 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt? Bµi 4( 4 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) x  4 x  4  x  4 x  4 4 b) 9 x 2  6 x  2  45 x 2  30 x  9  6 x  9 x 2  8 Bµi 5( 6 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O; R), ®êng kÝnh AB. Qua A vµ B vÏ hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By víi (O). Mét ®êng th¼ng qua O c¾t Ax vµ By t¹i M vµ P. Tõ O vÏ mét tia vu«ng gãc víi MP c¾t By t¹i N. a) Chøng minh OM = OP vµ tam gi¸c MNP c©n b) Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn cña (O). c) Chøng minh AM. BN kh«ng ®æi d) T×m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c AMNB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. ------------HÕt--------------- Bµi 1 ý a) b) Híng dÉn chÊm( cã 2 trang) Néi dung KÕt qu¶ 2 a  a 1 V× a > 0 nªn a  a  1  1  0  A  2 2 a  a 1 §iÓm 1,5 1,5 1a) Tõ x  y 1  y  x  1 (d1 ) (k  1) x  (k  1) y k  1  y  2 0,5 k 1 k 1 x (k 1) (d 3 ) k1 k1 0,5 k 1 ( 1)  1  k 0 k1 1b) Hai ®êng th¼ng (d1 );(d 2 ) c¾t nhau t¹i ®iÓm M (1; 0). §Ó (d3 ) còng ®i qua M (1; 0) ta cã (k  1).1  (k  1).0 k  1  k 0 ( v× nÕu k =0 th× (d3 ) (d1 ) ) 0,5 2) 0,5 (d1 )  (d3 )   Gäi M ( x 0 ; y0 )  (d3 ), k ta cã 0,5 (k  1) x0  (k  1) y0 k  1  ( x0  y0  1)k  x0  y0  1 0 cã nghiÖm víi  x  y  1 0  x 1  0 mäi k   0 0 . VËy víi k ®êng th¼ng (d3 ) lu«n  x0  y0  1 0  y0 0 0,5 ®i qua diÓm M (1; 0 ) cè ®Þnh a) 3 b)  x 1   y 0 2 x  y 2 NÕu a = 0 hÖ trë thµnh x = 1; y = 0 nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.  a 0 1 a   2  a  1 a 1  Tãm l¹i hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi a 1 §K x 4 NÕu a 0 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  a) 1,5  x  2 y 1 Khi a = 2 hÖ ph¬ng tr×nh lµ:  a)   NÕu NÕu  x  4 2 x 4 2  2   x 4 2 x  4  2 4  2  a 0  a 1 4 1 (*) 0,5 x  4  2 0  x 8 th× (*)  2 x  4 4  x 8(t / m) x  4  2  0  4 x  8 th×(*) 0,5 x  4 4  4 4(t / m) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 4  x 8  4 b) x 4 22 a) b) c) d) 1 b)  (3 x  1) 2  1  5(3 x  1) 2  4  9  (3 x  1) 2 VÕ tr¸i  1  4 3 VÕ ph¶i  9 3 . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  3x  1 0  x  5 1,5 1 3  O  ; OA OB nªn Tõ gi¶ thiÕt ta cã MA  AB; PB  AB; O 1 2 MAO PBO ( g  c  g ) .VËy OM = OP (1) MÆt kh¸c, NO  MP (2) . Tõ (1) vµg (2) suy ra NMP c©n ®Ønh N.  N  (doa )) nªn Tõ O kÎ OC  MN . Ta cã N 1 2 NCO NBO  OC OB R vµ C thuéc ®êng trßn (O). VËy MN lµ tiÕp tuyÕn cña (O) Ta cã AM.BN = MC.NC = OC 2 ( tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng). VËy AM.BN = R 2 ( kh«ng ®æi) 1 2 Ta cã S AMNB  AB.( AM  NB) R.( MC  CN ) R.MN VËy S AMNB nhá nhÊt khi vµ chØ khi MN nhá nhÊt  MN / / AB vµ MN tiÕp xóc víi (O) t¹i ®iÓm C chÝnh gi÷a cung AB 1 1,5 1,5 1,5 1,5 P O A 2 B 1 1 M C 2 N