Trêng THCS §Þnh T©n
§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
n¨m häc 2010-2011
M«n : To¸n 9
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Gi¸o viªn ra ®Ò : Lª V¨n Yªn.
§Ò bµi
C©u 1 (4 ®iÓm): Cho biÓu thøc: A =
x
x 2 4x
x
x 2 4x
x
x 2 4x
x
x 2 4x
a). T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa.
b). Rót gän A.
c). T×m x ®Ó A< 5 .
C©u 2 (3 ®iÓm): Cho hai ®êng th¼ng d1 vµ d2 lÇn lît cã ph¬ng tr×nh lµ : y = x + 2 (d1) vµ
y = (2m2 - m)x + m2 + m (d2).
a). X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó d1//d2.
b). BiÕt A thuéc ®êng th¼ng d1 cã hoµnh ®é b»ng 2. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d3 ®i
qua A vu«ng gãc víi d1 vµ d2.
c). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a d1 vµ d2.
C©u 3 (2 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
3
2
2
x xy y
2
x 2010 y 2010 2 2011
x
y
1
2
C©u 4(3 ®iÓm): Cho a,b,c > 0, Chøng minh r»ng:
5b 3 a 3
5c 3 b 3
5a 3 c 3
a b c.
ab 3b 2
bc 3c 2
ca 3a 2
C©u 5 (4 ®iÓm): Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A b»ng 120o. Tia Ax t¹o víi tia AB gãc
BAx b»ng 15o vµ c¾t c¹nh BC t¹i M, c¾t ®êng th¼ng DC t¹i N.
Chøng minh r»ng:
1
1
4
2
2
AM
AN
3 AB 2
.
C©u 6 (4 ®iÓm): Gi¶ sö tø gi¸c ABCD cã ®êng trßn ®êng kÝnh AB tiÕp xóc víi ®êng
th¼ng CD. Chøng minh r»ng nÕu AD//CB th× ®êng trßn ®êng kÝnh CD tiÕp xóc víi ®êng
th¼ng AB.
(Ghi chó: Gi¸m thÞ kh«ng ®îc gi¶i thÝch g× thªm).
Híng dÉn chÊm
C©u
§¸p ¸n
1
a). A cã nghÜa
(4 ®)
x 4 hoÆc x < 0.
VËy ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña A lµ: x < 0 hoÆc x
2
4 x 0
x
x2
x
Sè
®iÓm
0,25
4x
4 0
x x
2
x2
4x
x
4
0,5
0,5
0,25
b). Rót gän A:
x x
x
A=
2
x2
=
x
x
4 x
.x
2
4x
x 2 4x x
x 2 4x
x 2 4x
0,25
2
0,25
x 2 4x . x
x
=
2
x
2
x 2 4x x
x 2 4x
4x
0,25
0,25
0,25
2. x 2 4 x . 2 x
4x
= x 4x
VËy víi x < 0 hoÆc x 4 th× A = x 4 x
c). x 4 x < 5 x 4 x 5
(x + 1)(x - 5) < 0
-1 < x < 5.
KÕt hîp víi §KX§ cña biÓu thøc A ta cã : -1 < x < 0 hoÆc 4 x < 5
th× A < 5 .
a). d1//d2
2
2
2
2
2
m 1
2m
2
m 2
m
m=-
VËy víi m = -
1
2
1
2
th× d1//d2 (khi ®ã d2: y = x -
1
4
).
1
y x
4
y x 6
2
23
25
2
4
8
8
, täa ®é cña B( 25
8
2
;
23
).
8
9 2
8
3
2
2
x xy y
2
x 2010 y 2010 2 2011
3
2
2
x y 2
x
xy
y
4
x y 0
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
(1)
0,5
0,25
x
y
1
2
0,25
1
x y 2 0
4
x y 0
3
x y 0
(2 ®) Thay x = y 0 vµo ph¬ng tr×nh (2) ta ®îc:
2.x2010 = 22011 x 2010 2 2010
x = 2 ( v× x 0 ).
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = 2.
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
4
V× a,b d¬ng nªn ta cã: (a + b)(a - b) 0
(3 ®)
a3 + b3 - a2b - ab2 0
5b3 - a3 6b3 - a2b - ab2
5b3 - a3 (ab + 3b2)(2b - a)
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
25
x
8
y 23
8
Kho¶ng c¸ch gi÷a d1 vµ d2 chÝnh lµ ®é dµi ®o¹n th¼ng AB :
AB =
0,25
0,25
0,5
b). A thuéc d1 cã hoµnh ®é b»ng 2 nªn täa ®é cña A(2 ; 4).
d3 vu«ng gãc víi d1 nªn d3 cã d¹ng: y = -x + b
d3 ®i qua A(2 ; 4) nªn ta cã : 4 = -2 + b b = 6.
2
Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d3 lµ : y = -x + 6.
(3 ®) c). Gäi B lµ giao ®iÓm cña d3 vµ d2 th× täa ®é cña B lµ nghiÖm cña hÖ hai
ph¬ng tr×nh:
0,25
0,25
0,5
5b 3 a 3
2b a
ab 3b 2
(1)
0,25
Hoµn toµn t¬ng tù ta cã:
5c 3 b 3
2c b
bc 3c 2
(2)
5a 3 c 3
2a c
ca 3a 2
(3)
0,25
Céng theo tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc (1), (2), (3) ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn
chøng minh:
5b 3 a 3
5c 3 b 3
5a 3 c 3
a b c.
ab 3b 2
bc 3c 2
ca 3a 2
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
0,5
0,5
(1)
XÐt tam gi¸c ®Òu ADC, ®êng cao AH, tao cã:
AH2 = 3 AD2 = 3 AB2
4
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trªn c¹nh DC lÊy ®iÓm E sao cho DAE = 150,
suy ra NAE = 900
DAE = BAM (g.c.g)
5
(4 ®) AE = AM.
XÐt tam gi¸c EAN vu«ng t¹i A, ®êng cao AH ta cã:
1
1
1
,
2
2
AE
AN
AH 2
suy ra 1 2 1 2 1 2
AM
AN
AH
0,25
4
0,5
(2)
1
1
4
2
2
AM
AN
3 AB 2
6
(4 ®)
Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. KÎ NH, MK lÇn lît vu«ng
gãc víi AB, CD.
NÕu AB//CD th× ABCD lµ h×nh thang cã MN lµ ®êng trung b×nh nªn:
MN//AB//CD.
Suy ra SMAD = SNAD ; SMBC = SNBC
SNAB = SABCD - SNAD - SNBC
= SABCD - SMAD - SMBC = SMCD
0,5
1
2
. AB . NH =
1
2
.CD.MK
MÆt kh¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB tiÕp xóc víi CD nªn
MA = MB = MK = 1 AB.
2
1
2
Suy ra NH = .CD = ND = NC.
H thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh CD.
Ta l¹i cã NH vu«ng gãc víi AB nªn AB tiÕp xóc víi ®êng trßn ®êng kÝnh
CD.
(Ghi chó: Häc sinh lµm theo c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a)
- Xem thêm -
.DOC 
4 
32 
139 
